考研数学（数学二）模拟试卷5（共221题）

考研数学（数学二）模拟试卷5（共9

套）

(共221题)

考研数学（数学二）模拟试卷第1套

一、选择题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

1、当X—>0时，f（x尸x—sinax与g（x）=x2]n（l—bx）是等价无穷小，则（）

(A)a=l,6=~o(B)o=l,6=—0

(C)a=-1,6=—~(D)a=-1,6=4-

oo

A、

B、

D、

标准答案：A

知识点解析：本题可采用排除法。当x-0时，ln(l-bx)与-bx为等价无穷小，则

../(x)x-sinaxx-sinax

lim—■■--=lim-.................=lim-z--------

*7g(%)<-，ox2ln(l-6x)x-^x2(-bx)

2•

搭1-acosax*asinax

=hm--------：—=hm———

z

工-*o—36x-6bx

—•ax

所以f=-6b,故排除

-acosax

lim

B、另外i-3bz2是存在的，即满足1-acosxax—>0(x—>0),故a=l,排除

Do故本题选A

/(«)=XX

1-cosG,

2、“妾°，则f（x）在x=0处（）

A、极限不存在

B、极限存在，但不连续

C、连续但不可导

D、可导

标准答案：C

知识点解析:

/，力1-/⑴力。）r

"⑼二部二那一7-2

…、/(*)V(0).In(1-?).1_「.1_n

/.(0)=rhm----------=lrim-----:-----sin—=-limxsin-=0,

I-x-0I-XXD・Xf+，(0),f

_(0)都存在，则f(x)在x=0处右连续和左连续，所以f(x)在x=0处连续；但f+，(0/f

-70),所以f(x)在x=0处不可导。故本题选C。

u/=IIn(sinx)dx,J=|In(cotx)dx,/C=|In(cosz)dx,

3、设000则I,J,K

的大小关系为（）

A、I<J<K

B、I<K<J

C、J<I<K

D、K<J<h

标准答案：B

7T

0<x<--

知识点解析:当4时,因为OVsinxVcosx,所以ln(sinx)Vln(cosx),因此

/=JIn(sinx)dx<fIn(cosx)dx=K0

Jo"同时，又因为

■.

In(cotx)dx=In(cosx)dx-JIn(sinx)dx,

ooJo

In(sinx)dx<0t

o所以

J=fIn(cotx)dz>Iin(cosx)dx=Ko

J。J。综上可知，故本题选

Bo

4、具有特解yi二e「，y2=2xe-，y3=3e'的三阶常系数齐次线性微分方程是()

A、y"'一y"一y'+y=O。

B、y，”+y”一y，—y=0。

C、y"'-6y"+lly'—6y=0。

D、y'"-2y"-y'+2y=0。

标准答案：B

知识点解析：由y尸e-x,y2=2xe-x,y3=3e、是所求三阶常系数齐次线性微分方程

的三个特解可知，Xl=—1,入2=—1，九3=1是所求方程的三个根，其特征方程为(人一

l)(X+l)2=0,即)?+九2一入一]=0,其对应的微分方程为y，“+y"-y」y=O0故本题选

Bo

5、设f(x)和(p(x)在(-8,加0)上有定义，f(x)为连续函数,且Rx)和,(p(x)有间断

点，则()

A、(p[f(x)]必有间断点

B、(p2(x)必有间断点。

C、f[(p(x)]必有间断点。

D、/(“)必有间断点。

标准答案：D

rl,

夕(父)=(

知识点解析：取f(x)=l,xe(-oo,+oo),则f(x),(p(x)满足题设

条件。由于(p[f(x)]=l,(p%)=l,f[(p(x)]=l都是连续函数，故可排除A、B、Co故

本题选Do

"1)力1”.

lim-----------------=-1,

6、周期函数y=f(x)在(-8,+8)内可导，周期为4,且一0则

y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为()

1

A、石

B、0

C、—1

D、-2

标准答案：D

知识点解析：因为产f(x)在(一oo,+8)内可导，且f(x)=f(x+4k),其中k为整数，故

有r(x)=「(x+4k)。取x=l,k=l可得，f(l)=f(5)o又因为

”1)于(lr)_../11+(-x)]-/(1).?

I力5所以Ir因此r(l)=-

2o故本题选D0

p00、02、

(A)A=002,B=000

、o00J(000,

'21OA52)

(B)A=-132,B=-340

-25J234,

f\00(100、

(C)A=040，B=040O

、00-2100-3,

(\0、1-n

(D)A=01,B=0i□

00

7、下列矩阵中,A和B相似的是()、010

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析:A项，！•(A)Wr(B)；B项，tr(A)¥tr(B)；C项，|A罔B|；由矩阵相似的必

要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。实际上，对于D

项，r(A)=3,特征值为1(三重)，r(A—E)=2；r(B)=3,特征值为1(三重)，r(B—

E)=2,所以矩阵A和B相似。

8、设二次型f(xi，X2,X3)=(x]+X2-2x3)2+L3xi+(a—1)X2+7X3产+(x]+ax3)2正定,

则参数a的取值范围是()

A、a=-2o

B、a=-3o

C、a>0<.

D、a为任意值。

标准答案：D0

知识点解析：方法一：f(Xl，X2，X3)是平方和的形式,所以f(Xl，X2，X3)>0o

XI+X2-2XJ=0,

f(xt,x2,x3)=0<=^-3x1+(a-l)X2+7%J=O,

X|+ax3=0T上述方程组的系数行列式为

11-211-2

-3a-170Q+21=(a+2)2+l>0,

I0a0-Ia+2所以a取任意值，上述方

程组都有唯一零解，即对任意的X#),都有f(X|,X2,X3)>0,f正定。故本题选

Do方法二：

'XI+X2-2X3

/[/+3-2X3,-3。+(。-1)42+7/，/+93]-3x1+(a-l)x2+7xJ

加+用

I-2孙

Tr

Q-17x2=xBfix=x'Ax,

0a

=(a+2)2+l>0,

其中a为任意

值，所以对任意的a,矩阵B均可逆,则A=BTB正定,即f(X|,X2，X3)是正定二

次型。故本题选D.

二、填空题(本题共6题,每题1.。分，共6分。)

9、曲线'=的渐近线为。

1

片"7

标准答案：x=0和2

知识点解析：曲线y=/(e；-l)的可能间断点为x=0,贝！

limx2(e~-l)=lim--=lim——=«,

一所以x=0为曲线的垂直渐近线。因

lim[x2(e~-l)-x]=limfx2[~~1

«-•—ILxy=x+-

为所以2

limx2(e~-l)=»,/一1、

为曲线的斜渐近线。又因为L-所以曲线y-4(e1)无水平

渐近线。

10、与曲线。一2y二x相切，且与曲线在点(1,3)的切线垂直的直线方程为

X-常

标准答案：8

y*=―--0

知识点解析：曲线方程(y-2)2:x对x求导得2(y-2))y=l,即，2G-2)当

1

y=3时，/=2'即曲线在(|,3)处的法线斜率为一2。因为所求直线与曲线在点

，-1-17

y_一_29.——y—"

(1,3)的法线平行，所以直线斜率为2(厂2)解得16'4'则所求

(1,1],厂工=_2(「)

直线方程与曲线的切点为口64因此所求直线方程为4116/'即

、15

y=-2x+—o

O

K=-9

11、已知凹曲线产f(x)在曲线上的任意一点(x,f(x))处的曲率为(1+%)'且

«0)=0,f(0)=0,则f(x)=。

-1X2

标准答案：2

K二——二_L—

人工2.，

知识点解析：根据曲率公式“+[/'(%)]”‘(1+—A因为函数y二f(x)

—r(x)_1

为凹曲线，所以r(x)>o,则有微分方程“+[/'(#)]r(1+%户令

")2二1_12

r(x)=p，则(">(1+,产解微分方程可得“")一2"°

d2z_

12、设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，z=f(xy,y),则所町°

标准答案：fr+xyfH"+yf|2"

匹=力；=/；+#M+娓。

知识点解析：因为放'所以aay

13、设函数f(x,y)连续，则交换积分次序

L"L，(4，)"=o

fdy[f(x,y)dx

标准答案：J。]r

知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D,如右图阴影部分所

/dx(/(x,y)dy+fdxjf(x,y)dy=^f(xty)dxdyo

示，则有"•zXw换积

1/(x,y)(bcdy=1盯jf(xty)dxo

分次序D

14、设A是一个n阶矩阵，且A2—2A—8E=O,则r(4E—

A)+r(2E+A)=o

标准答案：n

知识点解析：已知A2-2A—8E=O,所以(4E—A)(2E+A)=O。根据矩阵秩的性质可

知r(4E-A)+r(2E+A)<n,同时r(4E-A)+r(2E+A)>r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n,因

止匕r(4E—A)+r(2E+A)=nc

三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

11

；lim

22

15、求极限sinxIn(1+x)

标准答案：刈极限式先通分，然后再利用麦克劳林公式展开得

..111_..In(l+42)-sir?一

1ns京Tin(1+>)1=-In(1+/)

--%(£).

"一/0(r)]

x

x:--+o(x4)-x2-^-+o(x4)

=lim--------------------------

ix

知识点解析：暂无解析

“xe(°»y)o

16、证明不等式3xVtanx+2sinx,'2，

/(%)=tanx+2sinx-3x,xG(0,三),

标准答案：设\27贝J有「(X尸sec1+2cosx—

3,f'(x)=2sec2xtanx-2sinx=2sinx(sec\-1),由于当\2/时，sinx>0,

sec3x—I>0,所以F(x)>0,所以函数f(x)=scc2x+2cosx—3为增函数，旦

xe(0,y)

f(0)=0,因此当\2/时，f(x)>0,所以f(x尸tanx+2sinx—3x为增函数，

xe10,|,3x<tan%+2sine|o

f(x)=tanx+2sinx—3x>f(0)=0,'2，即有\2/

知识点解析：暂无解析

17、设函数z=x(x,y)具有二阶连续导数，变量代换u=ax+y,v=x+by把方程

六1六心n

犷4犷化为切切-'求ab。

标准答案：刈函数z=z(x,y)求偏导数得

Hzdzdudzdvdzdz

=+=Q+

dxdudxdvdxdudv

dzdzdudzdvdz,dz

—=-----+=—+D-

dydudydvdydudv

d2z_Id2zdu^d2zdv\/d2zdud2zdv

dx2\du2dxdudvdx)\dudvdx^v1dx

-22

dz12aaz

---S—,

dudvdv所以

由题意得

所以ab=-1。

知识点解析：暂无解析

18、设函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内二阶可导，x=l是f(x)的极值点，且

3/7(x)dx=/(1)o

证明：存在美(0,1),使得「«)=0。

标准答案:由于x=l是f(x)的极值点,所以『(1)=0。因为f(x)在［0,1］上连续,在

B3使得

(0,1)内二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在

31/(#)&="(加[业=/(可)，/(T?)=/(y)o

J。J。即有又因为f(x)在

卜日上连续，在("'5)内可导，所以由罗尔定理可知，存在“(7万卜使得

「(，尸0。再由「(X)在1]上连续，在61)内可导，且F《尸「(1)=0可知，存在

氏《，l)U(o,1),使得『@=0。

知识点解析：暂无解析

19、求函数f(x,y)=x?+xy+y2在闭区域D=｛(x,yMx^+y%]｝上的最大值和最小值。

标准答窠：由于所给的区域D是闭区域，故先考虑函数f(x,y)在区域D内部｛(x,

r/；=2x+y=0,

y)|x2+y2Vl)的极值，这属于无条件极值，解线性方程组尸0,所以

x=0,y=0o在(0,0)点，有fxx“=2>0,fxy"=bfyy"=2,所以fxx“fyy"-(fxy")2>

0,所以(0,0)点是函数的极小值点，极小值为f(0,0)=0。然后考虑函数f(x,y)

在区域D边界｛(x,y)*+y2=l)的极值，这属于条件极值，构造如下的拉格朗H函

数L(x,y,X)=x2+xy+y2—X(x2+y2—1),对上式求偏导得如下方程组

产=(2-24)奸尸0,

£；=x+(2-2A)r=0,

I4=x2+/-l=0,将上述方程组化简得4九2—8入+3=0.解得

131131

人一，”=万。当人产亍时，x-C；当2万时，x=y,2°

因为连续函数在闭区间上必可取得最大值和最小值，所以f(x,y)在边界上的最大

二,L

值为彳'最小值为2°综上所述，f(x,y)在闭区域D上的最大值为2'最小值为0。

知识点解析：暂无解析

Ilx[e-(1'*2)2+e'y2]dxdy,

20、计算二重积分2其中D是由直线y=l、曲线y=x2(x20)

以及y轴所围成的区域。

标准答案：二重积分的积分区域D如下图阴影部分所示。

(HB2)2y2(|p)2

Jx[e'4-e-](hdr=Jxe--(kdy+Jxe^ckdy,

%%%其中，被积函

数xe"Lx2)2适合先y后X的积分次序，被积函数xC丫2适合先X后y的枳分次

jjj(ixd片J'xe-(,->2)2dxJ^dy

=[，(l-x2)xeH,-J,i>2dx=-4-/(l-/)e""d(l-%2),

序，则k2Jo令口]一*2,则

同理可得

因此

3r2)2.e'2]d#dy=;一；。

/)22e

知识点解析：暂无解析

2x

21、设f(u,v)具有连续偏导数，且满足fu'(u,v)+fv*(u,v)=uv,求y(x)=ef(x,

x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

标准答案：方法一：y(x)=e2xf(x,x)对x求导得y，=-2e2xf(x,x)+e2xfr(x>

2x2x,,2x，

x)+ePxf2，(x,x)=-2e-f(x,x)+e_[fI(x,x)+f2(x,x)]=-2y+e_[fi(x,

x)+f2'(x,X)],因为「u(U,v)+fv'(u,V)=UV,即f|'(u,v)+f2'(u,v)=uv,所以

f「(x,x)+f2'(x,x)=x2,因比y，=—2y+x2°—2x,即y(x)满足一阶微分方程y，+2y=x%

"2Xo由一阶线性微分方程的通解公式得

y=e-J24l(pe-2Me/24,(k+C)=+C)

=e%(pdx+C\+C).

[J1曰13/其中C为任意常数。

2x,

方法二：由y(x)=ef(x,x)得f(x,x尸e?Xy(x),因为fu'[u,v)+fv(u,v)=uv,即

、T-/(X,X)=X,

ff(u,v)+f2*(u,v)=uv,所以f「(x,x)+f2'(x,x)=x2,即ox将其代

入f(x,x)=e2Xy(x)有［e2Xy(x)］，=x2,即2e"y(x)+e2Xy，(x)=x2,化简得

yXx)+2y(x)=x2e-2xo由一阶线性微分方程的通解公式得

y=e小卜'""eJ2dldx+C)=e_21(Jx2e_2*elldx+C)

=e-2,Qx2clx+C)=e-2,(y+cj,

其中C为任意常

数。

知识点解析•：暂无解析

(22)

A=20,

22、设Ui

x是三阶矩阵。求当a为

何值时，方程AX—B二BX无解；当a为何值时,方程AX—B二BX有解，有解时,

求出全部解。

-21A

4-3二0

；

标准答案：由题意得，矩阵方程为(A—B)X=B,且1a+1

将矩阵B和X写成分块矩阵(按列分)的形式,则B=(pi，p2»。3)，X=(xi，X2»

X3)，所以矩阵方程为(A—B)X=(A—B)(X],X2，X3)=(P1，p2»p3)>则有(A—

B)Xj=Pi，i=l,2,3。对增广矩阵(A—B,B)作初等行变换

<1-21：112\p-21：112)

(4-兄8)=011；2110—►011；210

1a+1；aa+1a+2.、03a*a-1aa/

p-21：112、

011\210

—►o

、00a-3；a-7a-3a,

当a=3时,r(A-B尸2,r(A-B,B)=3,则r(A-B)Vr(A-B,B),此时方程AX-

B=BX无解。当a#3时，1'(.4一8尸1'(人一8,B)=3,此时方程AX-B二BX有唯一

12,4,4\T

与=2+工,1+--,1------;

解。(A-B)xE的解为、°-3(A-B)X2邛2的解为

(A—B)X3=p3的解为综上，方程AX—B=BX的解为

知识点解析：暂无解析

设二次型f(X|,X2，X3)=x/+X2’+X32—2X|X2—2xiX3+2aX2X3通过正交变换化为标准

形f=2yi2+2y22+by32o

23、求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q；

标准答案：由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为

1-1-n(2

A=-11a,B=2,

IT。"”由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2,

2,bo矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b,所以b=-l。由于2是矩阵A的二重特征值，

而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特

征向量有2个。于是矩阵A—2E的秩为1,而

11)

A-2E=00Q+1

0a+\0，所以a=—I。由(A—九E)x=0

得，特征值为九|=九2=2,入3=-1，对应的特征向量分别为a1=(l,0,-1)T,

a2=(0,1,—1)丁，。3=(1,1,1)、由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正

交，所以先将ai，(X2正交化得

TT

=(1,0,-1),/52=a2-^^j4^|=y(-l,2,-1),

IIPlIIL再将Bi，p2»a?

”产尸(1,0,-1)1W2:尸(7,2,7),,小二尚(1,1」)‘，

单位化得CJ6V3则正交

(111、

21

O

一

0=，

v673

11

万

痣

变换矩阵

知识点解析:暂尢解析

24、求f在xTx=3下的最大值。

T222

标准答案：二次型f=xAx在正交变换x二Qy下的标准形为f=2yi+2y2-y3o条件

XTX=3等价于yTQTQy=y12+y22+y32=3»此时f=2y[2+2y22-y32=6—3y32的最大值为

6,所以f在x】x—3下的最大值为6。

知识点解析：暂无解析

考研数学(数学二)模拟试卷第2套

一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

1、下列命题中正确的个数是①若f(x)在X=XO存在左、右导数且f+，(xo)*「(xo),

则f(x)ffix=xo处连续②若函数极限」2f(x尸A,则数列极限"：,f(n尸A③若数

列极限⑵一)=」”■⑵)=4贝屈数极限」T，f(x)=A④若

Iim/(z)=A,limg(x)lim,

>—>a*不存在，则i*of(x)g(x)不存在

A1个

、

B2个

、

c3个

、

D4个

、

标准答案：B

知识点解析：要逐一分析.若f(x)在X=XO存在f+<XO)与fj(xo)=f(x)在X=XO右连续

及左连续=，汽)在x=xo连续，即①正确.由函数极限与数列极限的关系知，若函

lim/(x)=4=Vlim

数极限—+B—串Xn—>+8(n—+oo)均有L+Bf(Xn)=A.若但只有某事

lim/(x_)=.4s$limf(x)

xn—>+oo(n—►+<»),■一♦£«-<*=A.如«x)=sin7tx,f(n)=O,"-***

।jm

f(n)=O,但一T「f(x)不存在，于是②正确，③不正确.命题④是错误的.当A=0

lim.lim.lim

时Iof(x)g(x)可能存在.例如，若取f(x)=O,则x-of(x)=0,*f；f(x)g(x)=o,所以

④是错误.因此，只有2个正确.选B.

/COB——，x>0,

2、以图双HXF{/，*宅°，则下列结论正确的是

A、f(x)有间断点

B、f(x)®(—co,+oo)上连续，但在(一co,+oo)内有不可导的点

C、”)在(一co,+oo)内处处可导，但？小)在(一oc,Mo)上不连续

D、F(x)在(-8,+8)上连续

标准答案：C

知识点解析：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续

性问题.f(x)的定义域是(一8,+oo),它被分成两个子区间(一8,0］和(0,+00).在

(—8,0］内f(X)=X2,因而它在(一8,0］上连续，在(一8,0)内导函数连续，且

f7(0)=0；在(0,+8)内f(x)=x?cos4,因而它在(0,+<»)内连续且导函数连续.注意

lim/(x)=lim/cos-

xT).«-o**=0=f(0),因而1'(乂)在(-00,+oo)连续.可见A不正确.又

../(x)-/(0).^2COSy

lim----------:7-----=lim-----------二0

因L0*X-0、T)+X即f(x)在x=0右导数f+<0)存在且等于

零，这表明*0)存在且等于零.于是，F(x)在(-8,+8)上处处存在.可见B不正

(42co8-)=24cos—+sin-lim

确.注意，当x>0时，f(x)='』X于是L0W(x)不存

在，这表明F(x)在x=0处间断可见C正确，D不正确.故选C.

3、设函数f(x)在(一8,+网上连续，且分别在(y,0)与(0,+«))上二次口」导，其

导函数P(x)的图像如图⑴所示,则f(x)在(-8,+oo)有

A、一个极大值点与两个拐点

B、一个极小值点与两个拐点

C、一个极大值点，一个极小值点与两个拐点

D、一个极大值点，一个极小值点与三个拐点

标准答案：D

知识点解析：设a,b,c,d各点如图(2)所示，由题设可得下表:

X(-8,a)a(a,0)0(0,6)b(6,+8)

f'M♦0-X-0

/(x)极大询极小值

%(-8,0)0(0,c)c(c,d)d(d,+8)

/'(x)/\z

/(»)凸拐点同拐点凸拐点凹

(注意，表中对应于x=xo处注有“拐点”是指对应的点(xo,f(xo))为曲线y=f(x)的一个

拐点.)这表明函数f(x)有一个极大值点，一个极小值点以及三个拐点，结论D正

确.

4、设f(x,y)有连续的偏导数旦f(x,y)(ydx+xdy)为某一函数u(x,y)的全微分，则

下列等式成立的是

(A)或=亚.(B)*?=广必.(C)_*出=,%.(D)%亚=y亚.

dxdy3xJdy加力dydx

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：由已知du=f(x,y)ydx+f(x,y)xdy

=黑=/(7)),=/(x,y)x

Oxd)

d2uaf...、d2uaf"、

=>==x十♦/(*，,)

dxd)dydydxdx

由于它们均连续二

曲=包，印以M

dxdydydx7dydx

故应选(B).

acoMtf

「de

5、已知累次积分上'A*0f(rcos0,rsinG)rdr,其中a>0为常数，则I可写成

cacv02-/

(A)^^/(xy)dy.(B)J。吼/(2)七.

/>/一―一t

2

Jax-*(D)fOc/ay-/

W一匕牙/(”'八打.£/(『/(”)乩

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分

一JLW。W工

的I可题.先将I表不成I="f(x,y)do.由D的极坐标表示22,

0<r<acos0,Wr2=x2+y2<arcos0=ax,可知D：(常2)，石(2),如

图.若是先y后x的积分顺序,则D：gx2,

于是故应选c.

6、设中，n2，n3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组，则()正确.

A、如果“1，1]2，"3都是AX=0的解，并且线性无关，则中，31]3为AX=。的一

个基础解系.

B、如果1]2，小都是AX=0的解，并且r(A)=n—3,则1[2，用为AX=0的

一个基础解系.

C、如果1，[12,T]3等价于AX=O的一个基础解系.则它也是AX=O的基础解系.

D、如果r（A）=n—3,并且AX=O每个解都可以用中叨，由线性表示，则中，H2»

i]3为AX=O的一个基础解系.

标准答案：D

知识点解析：A缺少n—r（A）=3的条件.（B）缺少⑴，“2,阴线性无关的条件.（。

例如中,112是基础解系中切2=邛，则中，112，Q3和中，n2等价，但是巾，,2,由

不是基础解系.要说明D的正确，就要证明小，“2,巾都是AX=O的解，并且线

性无关.方法如下：设a1，a2,013是AX=O的一个基础解系，则由条件，a1，

。2,（X3可以用中，r|2，阴线性表示，于是3"（中,rj2，H3）=r（r|i>t]2,Q3,ai»

az,a3）>r（ai，a2，013）=3,则r（“i，3H3）=r（n1»i]2»"3，ai,（12,（13尸r（a”（12,

（X3）=3,于是ni，3巾线性无关，并且和ai,a2，（13等价,从而都是AX=0的

解.

7、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是

10O-11r-111-•I-12-

(A)025.(B)22一.(C)222(D)-|03

-003-■333-——3-3-3--233-

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：A矩阵的3个特征值两两不同，D是实对称矩阵，因此它们都相似于

对角矩阵.C矩阵的秩为1.它的特征值都为0,其重数3A3-C矩阵的秩.因此

C不相似于对角矩阵.（B）矩阵的秩也为1,它的特征值为0,0,6,0的重数

2=3—B矩阵的秩.因此相似于对角矩阵.

二、填空题（本题共6题，每题7.0分，共6分。）

8、设曲线厂的极坐标方程为r=e°,则/'在点（£'1）处的法线的直角坐标方程是

标准答案：y=e?+x

=rcosO=e"cosg,点（亭一）

知识点解析：「的参数方程是b=rsinB=e"sing.的直角坐标是

2TTni.TT

x0=ecos-=U,yQ=e-sni3r在此点的切线的斜率为

y'(6)e"(sin。+cos0)

与'(0)。=于e"(cos。-sin?)

i=法线的斜率为i,因此

在点住

处的法线方程为产益+x.

9、iSf(x)=arctan(1一x),且f(0)=0,则J()if(x)dx=.

标准答案：4(Ti—2).

知识点解析：已知F(x)=arctan(l—x),求I=Hf(x)dx,我们不必先求出f(x),而是

表示为

把求I转化为求与F(x)有关的定积分，就要用分部积分法.或把f(x)—=.

f(O)+Joxf(y)dy再积分.方法：利用分部积分法可得

I=[/(x)d(x-1)=(X-

J00

=J(1-x)arctan(1-x)dx

=f/arctantdf=---[Uarctanf-Jrd(arctanZ)j

Jo2I

=fO"-arctan"：))

1/1T.7T

=-........I+—了(…).

2\44

/♦1

10、曲线-I的斜渐近线方程为

标准答案：y=±x

知识点解析：因为

尸

11、设f(x,y)=Jfel2dt,则df(x,y尸__________.

标准答案：(2xe(X2+y2)2工M2e4)dx+(2ye(X2+〉'2)2—鼠—e^)dy

知识、点解析_：dy(x,y)=e(X2+>，2,2d(x2+y2)-x=e(X2+/2)2(2xdx+2ydy)—

7-dy-yd/y1%

X2=2xe(X2+y2>2+/)dx+(2yC(X2+Y2)2_Te)dy

12、设f(x,y)为连续函数，且贻，丫)=6-、2—丫2+(丫2*11,”)(111&),其中D:

u2+v2<：a2(a>0),则f(x,y)=.

标准答案：e-^+yz.av-a5xy2

知识点解析：注意“f(u,u)dudu为常数，记为A,由于xy2对u、u来说为常数，

因此对u,u积分时可提到积分号外=",y)=e—X2—y2+Axy2.求f(x,y)归结为求

常数A.等式两边在D内积分得“d(x,y)d0』eTx2+y2)do+A』xy2do①作极坐标

-<X2+y2)2；la-r2-r2a-a2

变换=Ldo=fodOfoerdr=—ne|o=n(l—e又“xy2do=0(D关于y

轴对称，被积函数对x为奇函数)，将它代入①式=AF(1—e—a2).因此f(x,

y)=e^(X2+y2)+7t(1―e—a2)xy2.

00K0O-001

Io0500I1

13、已知0103-Lo0，则A—二.

00

1/50-4/3

标准答案：001/3

知识点解析:

01O-2roO'roI0-

因为100E,所以Io000

-00L00L001-

■100--10o-

乂01104-

-00b-00

0O'T0O'I0o-

于是A100050014

-00LO000

0O-,rI00“「010'

A"01400100

-00-003--001-

I00I;00-ro10-010■

01-41/50001/50-4/3

0001/3-LO01-001/3-

三、解答题(本题共”题，每题1.0分,共〃分。)

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出x=t+e-l,y=2t-e_2l(t>0).

14、证明该参数方程确定连续函数y=y(x),xG［l,+co).

标准答案：因为xj=l—e—t>0(t>0),xN0)=0-x=t+e—i在［0,+口)单调上升，值域

为［x(0),』鲁=［1,+8)—>x=t+eT在［0,+℃)存在反函数，记为l=1(x),它在

H，+8)连续(单调连续函数的反函数连续).再由连续的复合函数的连续性

->y=2t(x)+e—2Kx)=^=y(x)在“，+8)连续.

知识点解析：暂无解析

15、证明y=y(x)在［1,+oo)单调上升且是凸的.

标准答案：由参数内求导法

¥=4=Z二2==2(1+e7)>0(/>0,即4>1)