考研概率讲义

概率统计

第一讲

随机事件和概率

考试要求：数学一、三、四要求一致。

了解：样本空间的概念

理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验

掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式(加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯)，独立性

计算，独立重复试验就算

会计算：古典概率和几何型概率。

§1随机事件与样本空间

一、随机试验：E

(1)可重复(2)知道所有可能结果(3)无法预知

二、样本空间

试验的每一可能结果一一样本点CD

所有样本点全体一一样本空间Q

三、随机事件

样本空间的子集一一随机事件ABC

样本点一一基本事件，随机事件由基本事件组成。

如果一次试验结果，某一基本事件3出现一一0发生，。出现

如果组成事件A的基本事件出现一一A发生，A出现

。一一必然事件①一一不可能事件

§2事件间的关系与运算

一.事件间关系

包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立

二.事件间的运算：

并，交，差

运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律

概率定义，集合定义，记号，称法，图

三.事件的文字叙述与符号表示

例2从一批产品中每次一件抽取三次，用4(i=1,2,3)表示事件：

“第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：

(1)AA,A,Aj(2)AA,A；

(3)4A,4；(4)A44A4AAA2A3；

再用A，4,4表示下列事件：

(5)都取到正品；(6)至少有一件次品；

(7)只有一件次品;(8)取到次品不多于一件。

§3概率、条件概率、事件独立性、五大公式

一.公理化定义QAP

(1)P(A)>0

⑵P(Q)=1

⑶P(A&A,)=P(A)+P(4)++P(A)+

二.性质

(1)P(0)=O

(2)P(AA,4)=P(A)+P(&)++P(A,)+

(3)P(,)=1-P(A)

(4)Au8,尸(A)<P(B)

(5)O<P(A)<1

三.条件概率与事件独立性

(1)P(A)>O,P(B|A)=2世1,事件A发生条件下事件B发生的条件概率；

P(A)

(2)P(AB)=P(A)P(8),事件独立，

A,8独立A1独立在8独立入,再独立；

P(A)>0时，独立P(B|A)=P(B)；

⑶P(4,,4,，&)=P(A,)尸(4)P(4)\<i,<i2<<ik<n

称A，4，A,相互独立，(c,；+C++c,：=2"-"-i个等式)

相互独立两两独立。

X

四.五大公式

(1)加法公式：P(A3)=P(A)+P(3)—P(A8)

P(ABC)=P(A)+P(5)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

P(44...4)=•••

(2)减法公式：P(A—B)=P(A)—P(AB)

(3)乘法公式：P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B)A)

p(A,A2...An_l)>0时，尸(A4..A)=尸(A)尸(41A)p(4|A4)PCAJA^-A-I)

(4)全概率公式：用，B?...,纥是完全事件组，且P(BJ>0,i=l,n

p(A)=fp@)p(AW)

/=l

(5)贝叶斯公式：BpB”...,纥是完全事件组，P(A)>O,P0)>O,i=l,,n

,P(即P(山吗)

P(Bj|A)=-~」——jj=1,2,...,〃

£P(B,.)P(A|B,.)

§4古典型概率和伯努利概率

古典型概率

nAA所包含的样本点数

''n样本点总数

二.几何型概率

L(Q.)Q.的几何度量

A(Q)。的几何度量

三.独立重复试验

独立一一各试验间事件独立，重复一一同一事件在各试验中概率不变

四.伯努利试验

试验只有两个结果A和N——伯努利试验

n重伯努利试验

二项概率公式C：P(1_P)"4k=P(A)=p

_§5典型型分析

例1.设A8为两事件，且满足条件=入5，则P(AB)=.

例2.A,B为任意两事件，则事件(A-B)(8—C)等于事件

(A)A-C⑻A(B-C)

(C)(A-B)-C(D)(AB)-BC

例3.随机事件A,8,满足尸(4)=尸(8)=’和2缶8)=1则有

2

(A)A8=0(B)A6=0

(C)P(AB)=l(D)P(A-B)=0

例4.设。<偿<1且P(9A)+P(耶)=1则必有

(A)P(A|B)=P(A\B)(B)P(A|B)P(A\B)

(C)P(A8)=P(A)P(8)(D)P(AB)HP(A)P(B)

例5.(06)设A、8为随机事件,且P(B)>0,尸(A忸)=1,则必有

(A)P(A8)>P(A)⑻P(AB)>P(B)

(C)P(4B)=P(A)(O)P(AB)=P(B)

例6.试证对任意两个事件A与3,如果P(A)>0,则有

P(8|4)21一名也)

P(A)

例7.有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任

取一球放在一起，再从中取一球，问：

(1)这个球是红球的概率；

(2)若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。

例8.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，

现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零(不放回)试求：

(1)先取出的零件是一等品的概率p；

(2)在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q.

例9.袋中装有。个白球和夕个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的

概率：

(1)从袋中取出的第攵个球是白球

(2)从袋中取出。+人个球中，恰含a个白球和。个黑球

例10.随机地向半圆（尤,y）0＜y＜，2蛇一/（其中。＞0,是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与

7T

X轴的夹角小于一的概率为，

4

例11.在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p,求在第〃次成功之前恰失败了m次的概率。

例12.四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮

筒的概率为。

例13.已知A,£C三事件中A与B相互独立，P（C）=0,则无反心三事件

（A）相互独立（B）两两独立，但不一定相互独立

（C）不一定两两独立（。）一定不两两独立

例14.10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售

出1台为二等品的概率为

（A）-⑻-（C）-（D）-

例15.甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从

中任取1球为白球的概率

例16.10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。

例17.两盒火柴各N根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。（RKN）

例18.（05）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,X中任取一个数记为丫，则

p（y=2）=。

第二讲

随机变量及其概率分布

考试要求：

理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度

掌握：分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布

及它们的应用

会计算：与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分

布。

数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件

§1随机变量及其分布函数

一.随机变量

样本空间。上的实值函数X=X(。)，oeC。常用X,y,Z表示

二.随机变量的分布函数

对于任意实数X,记函数FXx)=P(X«x),YO<X<+OO

称尸(无)为随机变量X的分布函数；

/。)的值等于随机变量X在(F,x]内取值的概率。

三.分布函数的性质

(1)limF(x)=0,记为F(-8)=0；

limF(x)=1,记为F(+oo)-1

X->-KOo

(2)尸(x)是单调非减，即时，/。)《尸(々)

(3)/(九)是右连续，即尸(x+0)=/(x)

(4)对任意玉<%2，有P(M<X4X2)=F(X2)-F(X|)

(5)对任意x,P(X=x)=F(x)-F(x-O)

性质(1)—(3)是F(x)成为分布函数的充要条件。

例设随机变量X的分布函数为尸(x)=《1+x'

0,x<0

其中A是常数，求常数A及P(1WX〈2)。

§2离散型随机变量和连续型随机变量

离散型随机变量

随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。

二.离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量X的可能取值是内，々，…，彳“，…

称P(X=4)="，左=1,2,…为X的概率分布或分布律

分布律性质：(1)pk>0.,4=1,2,...

⑵£p&=l

k

Xx,X、x,

分布律也可表示为-------=---------——

pP\PlPk

三.离散型随机变量分布函数

"X)=ZP(X=X")=Z0，P(X=a)=F(a)—%。一0)

xk<xxk<x

X|123

例i.~~i―i―r求

1————

326

四.连续型随机变量及其概率密度

设X的分布函数/(幻，如存在非负可积函数/(x),有

F(x)=[f(t)dt,-oo<x<+oo

J—00

称X为连续型随机变量，/(x)为概率密度.

概率密度性质：

(1)/(x)>0；

(2)「/⑺力=1；

J-00

(3)%,<x2,P(X1<X<x2)=^'f(t)dt：

(4)/(幻的连续点处有尸(x)=/(x)。

例已知/(X)和/(x)+/(x)均为概率密度，则力必满足

(A)[f[{x)dx=\,/(x)>()(6)「f(x)dr=l,/,(x)>-/U)

(C)「1(x30，Z«>0(D)「/(x)公=0,工(x)2-F(x)

§3常用分布

X01

(0—1)分布0<p<l

p1—pp

二项分布P(X=k)=C：pkq"-k,k=0,1,.0<p<1,q=i-p

XB(〃,p)

超几何分布P(X=k)=C/-“

三.

CN

XH(n,M,N)

四.泊松分布P(X=Q=—e',A:=0,1,2,...A>0

k!

XP(A)

例设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为工，则这段时间内至少

e

有两辆车通过的概率为。

五.均匀分布/(%)=-b—a

0其他

XU[a,b]

例设随机变量自在(1,6)上服从均匀分布，则方程+〈X+1=0

有实根的概率是。

一/Lx

六.指数分布/(幻=2>0

0x<0

XE(A)

J

七.正态分布/(%)=—2bZ,-oo<x<4w

而b

X%(〃,4),(T>0

XN(0,l)标准正态分布

1工

(p(x)=—j=e2,-oo<x<-Foo

如果XN(〃,"),则上K

N(0,l)

(1)(p{-x)=(p{x}

(2)①(一尤)=1一①(x)

(3)①(0)=-

(4)P(|x|<a)=20(a)-1,XN(O,1)

例XN(〃,4),且①(3)=0.9987,则P(|X—”<3b)=

§4随机变量X的函数丫=g(X)的分布

离散型随机变量的函数分布

设X的分布律P(X=x&)=p«,k=\,2,...

则Y=g(X)的分布律P(Y=g®))=p-k=1,2,...

(如果g(x,)相同值，取相应概率之和为Y取该值概率)

连续型随机变量的函数分布

1.公式法：X的密度人(x),y=g(x)单调，导数不为零可导,

/?(y)是其反函数，则y=g(X)的密度为

\h'^\fxWy))a<y<13

人(y)=《八廿八

0其他

其中(«,/?)是函数g(x)在X可能取值的区间上值域。

2.定义法：先求

Fy(y)=P(y<y)=P(g(x)<y)=Lfx(X)公

然后4(y)=K'(y)。

§5典型例题分析

b

a+-------7x>0

例1.设随机变量的分布函数/*)=《(1+X)2

Cx<0

求a,b,c的值。

仆

例2.设随机变量X的分布律为P(X=k)=c—,k=1,2,...,2>0

k!

试确定常数。的值。

例3.汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以X表示汽车所遇

红灯个数，求X的分布及分布函数。

例4.(04)设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a(0<a<l)数%满足

P(X>u«)=a,若P(|x|<x)=a,则x等于

⑷“%⑻(C)&(D)u,_a

例5.在区间[a,切上任意投掷一点，X为这点坐标，设该点落在[a,们中任意小区间的概率与这小区间长

度成正比，求X的概率密度。

例6.XU[2,5],对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。

例7.(06)设随机变量X服从正态分布丫服从正态分布刈外,力?)

且P{|X—闺<1}>P{|Y—闯<1},则必有

(A)er,<CT2(B)0>(T2

(C)从<〃2(0)必>〃2

例8.X的密度/(x)=Ae*+x(-8<%<+8),试求常数A。

例9.设X服从参数为2的指数分布，证明：随机变量Y=l—e-2x服从u(o」)。

例10.已知X的密度为/(幻=；"w，(-00<x<+co),

求y=x2的概率密度。

例11.设随机变量X的密度9(x)满足〃-x)=°(x),R(x)是X的分布函数，

则对任意实数4有

(A)F(-a)~1-£(p(x)dx(B)F(-a)-——£(p(x)dx

(C)尸(一a)=F(a)(D)F(-a)=2F(«)-1

例12.设随机变量X的分布函数为b(x),引入函数£(x)=F(av),鸟(幻=尸(幻，F3(X)=1-F(-X)

和玛(x)=F(x+a),则可以确定也是分布函数为

(A)£(x)，K(x)(B)F2(X),F3(X)

(C)F3(X),F4(X)(D)8(X),6(X)

例13.设XN(2Q2)且尸(2<x<4)=0.3,则尸(X<0)=。

例14.设XN(〃,4),则随o■的增大,概率尸(|X-“<b)

(A)单调增大(B)单调减小

(C)保持不变(。)非单调变化

例15.证明X与—X具有相同密度，则其分布函数F(x)一定满足F(x)+E(—x)=l。

例⑹X3,八°)且P(0<X<3)['P(X>4)W，

求：(1)X的概率密度；(2)P(1<X<5)。

第三讲多维随机变量及其概率分布

考试要求

理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，

边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。

边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。

掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量

§1二维随机变量及其联合分布函数

二维随机变量

设X=X(CD),Y=Y((o)是定义在样本空间C上的两个随机变量，

则称向量(x,y)为二维随机变量或随机向量。

二.二维随机变量的联合分布函数

定义：F(x,y)-P(<X<x,Y<y)-OO<X<-K>O,-OO<y<+OO

性质：(1)0<F(%,y)<l；

(2)F(-co,y)=F(x,-oo)=F(-co,-oo)=0,F(+co,+oo)=1；

(3)户(x,y)关于x和关于y单调不减;

(4)尸(x,y)关于x和关于y右连续。

例1.设二维随机变量(X,y)的分布函数为E(x,y),则随机变量(Y,X)的分布函数

耳(x,y)=___________.

三.二维随机变量的边缘分布函数

Fx(x)=P(X<x)=P(X<x,Y<+oo)=F(x,+oo)

FY(y)=P(Y<y)=P(X<-^o,Y<y)=F(+oo,y)

例2.设二维随机变量(x,y)的分布函数为

J(l-1，)”e->')x>0,y>0

E(x,y)=<

0其他

试求心(%),耳(y)

§2二维离散型随机变量

一.联合概率分布

p（x-Xj,y=刀）=Piji,j=1,2,

X\Yy%X-

罚AiPl2Plj

X2P21P22Plj

XiAlPi2Pij

性质：(1)/?.>()(2)£pg=l

例设随机变量X在1,2,3三个数字中等可能取值，随机变量y在1x中等可能的取一整数值，求

(x,y)的概率分布。

二.边缘概率分布

Pi=P(x=X)=EP(X=Xj,Y=yj)=£pjj，i=l,2,…

JJ

pj=P(Y=y)=£P(X=X],Y=y)=£pu,7=1,2,...

三.条件概率分布

।P(X=x1.,Y=y)p..

P(y=%)>0,P(X=xi\Y=yj)=~~=i=l,2,…

1p(y=%)Pj

,P(X=x：,Y=y.)p..

P(X=xJ>0,P(Y=yj\X=xi)==Y,)=12…

x\y|oi

例设分布律为-6一LZ―F,已知p(y=i|x=o)=；,p(x=i|y=o)=；,求“c

§3二维连续型随机变量

概率密度

F(x,y)=「「f(u,v)dudvf(x,y)----概率密度

J-0DJ-00

性质：(1)f(x,y)>0

f+00p+oo

(2)[[f(x,y)dxdy=1

例/a”'：''y'广°，则心__________。

0其他

边缘密度

P+00「8

fx(x)=J,f(x,y)dy,fY(y)=j/(x,y)dx

三.条件概率密度

1.条件分布^x(y|x)=limP(Y<y\x-e<X<%+£•)

々y(x|y)=£T(X<x\y-s<Y<y+£)

2.条件概率密度

/(x,y)f(x,y)

加叶)=fx\Y(x\y^

fxMA(y)

AW>0fY(y)>o

§4随机变量的独立性

定义：对任意P(X<x,Y<y)=P(X<x)P(Y<y)

F(x,y)=Fx(x)FY(y)

离散型Pg=PiPj

连续型f(x,y)=fx(x)fY(y)

例i.设随机变量x和y相互独立，下表列出了二维随机变量(x,y)的联合概率分布及关于x和y的边缘

概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处

x\y巧，2，3Pi

1

.X.

8

1

工2

1

P/

例2.判断x与y是否独立

x\y|123

1-300

11(1_"2")(1_呐x>O,y〉0

11

2o⑵F(x,y)=<

--

X60其他

O

111

11

3

---

999

§5二维均匀分布和二维正态分布

一.二维均匀分布

f(x,y)='A，A是G的面积

0其他

例设二维随机变量(X,y)在宜为平面上由曲线y=x和y=》2所