教材高考审题答题六

核心热点真题印证核心素养

统计图表2018I,3数学抽象、数据分析

二项分布2018-I,20;2017.I,19数学运算、数据分析

分布列、期望2017411,18;2016-I,19数学运算、数据分析

正态分布2017-I,19数据分析

条件概率2016-II,18数据分析

回归分析2018-II,18;2016III,18直观想象、数据分析

独立性检验■2018III,18;2017-11,18数据分析

教材链接高考——茎叶图、独立性检验

［教材探究］(引自人教A版必修3P7()茎叶图)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比

赛得分的原始记录如下：

甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；

乙运动员得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.

绘制甲乙两名运动员得分的茎叶图，根据茎叶图判断哪名运动员的成绩更好？并

说明理由.

［试题评析］统计的基本思想是由样本来估计总体，根据茎叶图能够用样本的数

字特征估计总体的数字特征，从而作出统计推断.

【教材拓展】甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同

学成绩的众数是85,乙同学成绩的中位数是83,试分析甲乙两名同学哪个一个成

绩较稳定.

解根据众数及中位数的概念易得x=5,y=3,故甲同学成绩的平均数为

78+79+80+85+85+92+96

------------=------------=85乙同学成绩的平均数为

72+81+81+83+91+91+96=85,故甲同学成绩的方差为3(49+36+25+49

7

1398

+121)=40,乙同学成绩的方差为,X(169+16+16+4+36+36+121)=—>40,

故成绩较稳定的是甲.

探究提高1.作样本的茎叶图时先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图.

2.作样本的茎叶图一般对称作图，数据排列由内向外，从小到大排列，便于数据

的处理.

3.茎叶图完全反映了所有原始数据，解决茎叶图给出的统计图表试题时，要充分

使用图表提供的数据进行相关计簿或者对某些问题作出判断，这类试题往往伴随

着对数据的平均值或者方差的计算等.

【链接高考】(2018.全国in卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出

了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40

名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二

组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如

图所示的茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数机，并将完成生产任务所需时间

超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m不超过m

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

解(1)第一种生产方式时间集中在区间［80,90］,且平均工作时间加=84.

第二种生产方式的时间集中在区间［70,80),且平均工作时间为

所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种,

工第二种生产方式的效率更高.

⑵由茎叶图数据得到m=80.

由此填写列联表如下：

超过机不超过m总计

第一种生产方式15520

第二种生产方式51520

总计202040

(3)根据(2)中的列联表计算.

j____________一(ad-be)2___________40(15X15-5X5)2

片=(o+b)(c+d)(Q+C)(b+d)=­20X20X20X20

所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

教你如何审题——回归分析问题

【例题】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折

线图.

注：年份代码1〜7分别对应年份2008〜2014.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与Z的关系，请用相关系数加以说明;

(2)建立y关于t.

附注：

参考数据：£“£砂(yc)班忆

Z=1i=li=l

£(ti—t)(yj—y)

参考公式：相关系数-J］.”.,

避"一)2百(M-)，)2

回归方程y=o+初中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b,=J=I,a=y—b,t.

£(4一/)2

1=1

［审题路线］

［自主解答1

解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

1=4,£(力一厅=28,yji(yt-y)2

7-7-7

印_f)(yt—y)=Etiyt-tEyiX

i=l1=1r=l

「九错误！七

因为y与)与/的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与，的

关系.

(2)由》=错误!七错误!=错误!=错误!-

a=y—b个Xg

所以y关于/的回归方程为".

将2020年对应的t=\3代入回归方程得yX

探究提高在两个变量的回归分析中要注意以下两点：

（1）求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运殍.

（2）借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识

转化为线性关系.

【尝试训练】某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数

据进行整理得到了第x年与年销售量），（单位：万件）之间的关系如表：

Xi234

y12284256

（1）在图中画出表中数据的散点图；

⑵根据散点图选择合适的回归模型拟合），与x的关系（不必说明理由）；

（3）建立），关于x的回归方程，预测第5年的销售量.

参考公式：回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n-n---

耳（国一幻（8一），）Yxiyi-nxy

b=~-fci=y—bx.

E（x/-x）2Xx}-nx2

i=\i=\

解（1）作出的散点图如图：

（2）根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合y与x的关系.观察散点图可知各点

大致分布在一条直线附近，列出表格：

XyrW

1112112

2228456

33429126

445616224

£1013830418

5-

-69

y=一

可得X”

2J

4——569

4xy418—4X-X—

所以。=3——=—y-

泞30—4X得

故回归直线方程为2.

（3）当x=5时，y=yX5-2=71.

故预测第5年的销售量大约为71万件.

满分答题示范——分布列、期望、方差

【例题】（12分）（2017.全国IH卷）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同,

进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格

当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关.

如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需

求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计

划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

气温

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位：元），当六月份这种酸奶一天的

进货量〃（单位：瓶）为多少时，丫的数学期望达到最大值？

［规范解答］

［高考状元满分心得］

❶得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第（1）问，指出随机变量X所有的

可能取值，有则得1分，无则没有分；随机变量X的各个值对应的概率也是每个

1分，列出其分布列是1分，每个步骤都有分，都是得分点，第（2）问也是如此.

❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第（2）问中，根据〃的

范围求E（r）,即当300W〃W500时，E（r）=640—2〃；当200W〃W300时，E（Yn.

若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程和步骤也不得分.

❸得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第⑴问中三个概率值的

计算要正确，否则不得分.

［构建模板］

【规范训练】（2019・宝鸡模拟）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者

从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确

完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2

道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2:，且每题正确完成与否互不影

响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望;

(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

解(1)设甲正确完成面试的题数为焉则4的可能取值为1,2,3.

CiC?1

%=1)=5,

CiCj3

%。=2)=5'

由91

g)=m与

应聘者甲正确完成题数的分布列为

二123

P

131

£01X5+2X5+3X5=2.

设乙正确完成面试的题数为小则〃的可能取值为0,1,2,3.

P(〃=o)=c《l—|)

P(,=D=C(|)(1-1)=^

尸(〃=2)=良|)(1一|)=隹;

应聘者乙正确完成题数〃的分布列为

40123

P

।A[,0

E(4)=0X苏+1X或+2X万+3X苏=2.

(或因为〃〜B(3,I),所以E(4)=3x|=2)

i312212

(2)因为0(S=(l_2)2Xg+(2_2)2Xm+(3_2)2Xm=5,£>(〃)=3X§X§=§.

所以D©VD(冷.

综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；

从做对题数的方差考查，甲较稳定；

从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大.

1.(2019•淮北一模汝J图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的

综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知80〜90分数段的学员数为21人.

(1)求该专业毕业总人数N和90〜95分数段内的人数小

(2)现欲将90〜95分数段内的〃名毕业生随机地分配往A,B,C三所学校，每所

学校至少分配两名毕业生.

①若这〃名毕业生中甲、乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？

②若这〃名毕业生中恰有两名女生，设随机变量j表示〃名毕业生中分配往B学

校的两名毕业生中女生的人数，求4的分布列和数学期望.

解(1)80〜90分数段的频率piX

此分数段的学员总数为21人，

・•・毕业生的总人数N=错误!=60,

90〜95分数段的频率P2X

A90-95分数段内的人数〃=60X

(2)①将90〜95分数段内的6名毕业生随机地分配往A,B,。三所学校，每所学

cic?

校至少分配两名毕业生，且甲、乙两人必须进同一所学校，则共有黄・A§=18

种不同的分配方法.

②4的所有可能取值为0，1，2,

C§Ci6mil堡

〈=-

P(0)=-cF^P(D—c?-15,

c3c9i

P(<=2)="CT=15,

所以4的分布列为

w012

p

所以随机变量<的数学期望为E©=OX^+1X得+2Xa=?

2.(2019•石家庄调研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙

两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得

0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为本%看乙队每人答对的概率都是9

设每人回答正确与否相互之间没有影响，用4表示甲队总得分.

(1)求4=2的概率；

(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

解(l)f=2,则甲队有两人答对，一人答错，

故PC=2)=弭x(T用x(i一飘打(T)x狗吟

(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A,甲队比乙队得分高为事件8.设乙队得分

311

---

42-4

P(〃=2)=C唱x|=1,

P(〃=3)=C(|)=探

・・・P(A)=尸e=l)P(〃=3)+P《=2)P(〃=2)+Pe=3>P(〃=1)

=1X.L.llxl.lx2=l

-4X27+24X9+4X9-3,

191

P(AB)=P4=3)P(〃=l)=wX'=同，

1

；・所求概率为P(B\A)=AX-

Ip(Z1。

3

3.(2019・安阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市

场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在［50,100)内，且

销售量x的分布频率yu)=错误！

(1)求a的值并估计销售量的平均数；

(2)若销售量大于或等于70,则称该日畅销，其余为滞销.在畅销日中用分层抽样

的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个

组，求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率).

10心50,

解(1)由题意知'八/一、一…解得5W〃W9,〃可取5,6,7,8,9,

10(，+1)W100,

结合/(X)—错误！

得错误!+错误!+错误！+错误！+错误!=1,则。

・•・销售量的平均数为55XXXXX

(2)销售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2：3：3,所以在

各组抽取的天数分别为2,3,3,

X的所有可能取值为1,2,3,

221

P(X=1)=&=*-,

Qclc!”=2

P(X=3)=56=28,

199

P(X=2)=1

X的分布列为

X123

P

I9916

数学期望F(X)=1X—+2X—+3X—=—

ZoZo/

4.中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了

部分油井中的几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来

布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井

位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘

探初期数据资料见下表：

井号I123456

坐标(x,y)(km)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1，y)

钻探深度(km)24568io

出油量(L)407011090160205

(1)1〜6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为冲+力求人

并估计y的预报值；

(2)现准备勘探新井7(1,25),若通过1,3,5,7号井计算出的江。的值(。，ab\

"的值之差都不超过10%,则使用位置最接近的已有旧井6(1.y),否则在新位置

打井，请判断可否使用旧井？

n--

Yxiyi-nx-y

(参考公式和计算结果：b=3———,a=y-bxf

Yxt-nx

i=\

44

E^-1=94,EX2i-\y2i-i=945)

»=1

⑶设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6

口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望.

解(1)因为x=5,y=50.

回归直线必过样本中心点(x,y),则〃=y—ZzxXyx

当x=l时，yy的预报值为24.

(2)因为x=4,y

44

X忌1=94,1=945.

z-i*-i

营产-—4xy945-4X4X

所以“二七二一7^=94-4X42

2LX2/-1—4x

i=l

945-4X4X

=94—4X421

ci=y-bxX

即baba

与3-5%,＜六%8%,均不超过10%,

因此可以使用位置最接近的已有旧井6(1,24).

(3)由题意，1,3,5,6这4口井是优质井，2,4这两口井是非优质井,

，勘察优质井数X的可能取值为2,3,4,

・・・X的分布列为:

28ig

E(X)=2X-+3X—+4X—=-

5.(2017.全国H卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，

收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分

布直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于

50kg,