材料固态相变与扩散-第2章-菲克定律应用(3学时)

第2章Fick定律的应用

2.1Fick第一定律及应用

一在单相系统中的稳态扩散1一维扩散dm/dt＝常数.对Fick第一定律积分，积分限为：y1,y2,C1,C2

2二维扩散

二维稳态时所有半径方向上的流量均相同,如图所示.设内径为r1，浓度c1，外径为r2，浓度c2，则：3三维扩散如图为一球壳，内径为r1，浓度C1，外径为r2，浓度C2。

二、在两相系统中的稳态扩散

假设有两组元组成一体系，一层是α相，扩散系数为Dα，另一层为β相，扩散系数为Dβ。有两种情况：（1）两层厚度与扩散物质的出现无关；（2）两相存在决定于扩散物质，且两相层的相对厚度取决于扩散过程1．两层厚度与扩散物质出现无关

如图，事先给出两层厚度分别用lα和lβ表示（例碳钢/A不锈钢），扩散物质用H表示（例氢气），H在稳态建立后，在界面上的活度可用下式表示：图两相扩散层中的活度和浓度分布α/γα/γ扩散物质的流量主要决定于具有最大值的那个相，这个相对扩散具有最大的阻力，这就象双层墙的热传导那样，其散热主要取决于最好的绝热层。所以，有：2．两相存在与扩散过程有关

研究B组元通过A-B合金墙的扩散。在墙的一侧，B的活度很高，例与纯B的气相保持平衡,而在墙的另一侧B的活度很低。如下图图B组元在A-B合金中扩散时的浓度分布整个厚度是恒定的，但α/β厚随扩散而变化的，可求得：设墙厚为l,在建立稳态后，

因此，可知道扩散元素的流量主要决定于具有最大D·ΔC的相，就是对扩散具有最小阻力的相。当Dβ＜＜Dα时,三晶界薄膜的沉淀

A-B二元合金，在T1的均匀相冷至T0时有相析出。设晶界是平面直线形，且当晶界上开始有β相析出时，沿晶界铺展极快，形成一层薄膜。由相图可画出浓度分布。图晶界薄膜沉淀时的浓度分布

β相的长大主要取决于B原子在α相中的扩散。B原子向β相薄膜扩散，在其附近α相中有一浓度梯度。经扩散，在dt时间内增加了dlβ厚，则流量可得：

近似地取：

Δx为过饱和度。S可由两块阴影面积来估计。四新相在原两旧相间形核长大

这种情况如钢的加热转变奥氏体化。作为一般讨论，设A-B二元系，有中间相β。在一定温度时，可以在界面上形成一层β相，并以一定速率长大，其长大速率决定于通过β相层的扩散速率。如图所示。建立局部平衡时浓度分布曲线。β相形成时的浓度分布B原子扩散方向相界移动主要方向

Fe-C相图中在温度T时的平衡浓度值

采用稳态扩散的近似方法，估算β相中的浓度梯度：使B原子由β/γ界面迁移到α/β界面的速率为：设dt时间,在α/β相界面上，增厚,在β/γ相界面上增厚

,因为:根据质量平衡，在α/β界面上有：同理在β/γ相界面上也有：两侧的长大对β相均有贡献，所以：2.2Fick第二定律及应用各种表达式：(设D为常数)三维直角坐标：三维柱坐标：三维球坐标：一维球坐标：一维柱坐标：几个重要解：高斯（Gauss）解：误差解：正弦（Sine）解：一维球坐标高斯方程解:(t=0时，浓质集中在r=0处)平方平均值:用数学方法都可证明上述解都符合Fick第二定律。1高斯解及应用

分布规律是：宽度B随t而增宽，而A随t增加而衰减，B、A的匹配变化保持总面积不变，如图。当t=0时，B=0，A→∞。说明起始时，所有原子都集中在一起。→适合于表面涂覆的扩散。当t>0时，所有原子对扩散都有贡献。→与事实不符。一般表达式：宽度振幅试件单面涂覆:利用迭加原理和反射原理有：高斯解中S的物理意义为扩散组元的总量：注意的是:实际情况只是高斯图象的一半。所以在解决实际问题时,S值为已知量的2倍。高斯解的平方平均值:=结果表明:高斯解遵循了抛物线规律。对偶函数:令:2误差函数解

应用迭加原理使用高斯解积分可得

一般表达式：

图将扩散组元分割成厚dh的截面

每个截面扩散物质的量是S=C0dh,设扩散组元分布在0→+∞之间，从高斯解方程式得：令,再经过积分变换,可得到定义误差函数：

(erfc称为补（余）误差函数。)所以一般表达式为：适用于半无限长的扩散。

【例2.7】有一厚d的板，若使表面保持C0的浓度，则板内浓度将如何？解：因两边都有扩散，所以要使用两个误差函数。设坐标原点在板中心,则：根据边界条件求A、B、C的值：当t=t,y=-d/2时：当t=t,y=d/2时：当t=0,-d/2＜y＜d/2时：A、B、C这三个参数并不是与t总是无关的，所以，有些情况下只能是近似解。

估计一下误差：两边的原子刚好扩散到板的中间时,可解得：A=2C0,B=-C0,C=C0。所以近似解为：设t→∞时，则由上式可得，C=2C0这显然是不符合事实的，应该是：C→C0

误差函数解适合于处理半无限长的问题。

4瓦格纳（Wagner）解法在一般情况下，两相接触状态如图

图在初始均质相1的表面生成新相2时浓度分布

假定扩散系数与成分无关，在平衡时界面两边的浓度关系为线性关系C1=KC2。在一定条件时K是定值。当界面达到平衡时，根据质量平衡原理，进入或离开界面的扩散物质的净流率等于依靠界面移动附加到相中的溶质。即：1)初始均质的第一相表面上生成第二相

最常见的是在723℃~910℃温度范围内，γ-Fe脱碳而在表面生成α-Fe,或α-Fe渗碳而在表面生成γ-Fe.

应用第二定律，设某合金含C量为Ci,外界的碳势为Cs，初始条件：C(x,0)=Ci,C(0,t)=Cs。所以x>l

:x<l

:将边界条件代入误差函数解方程可得：

式中B1、B2为积分常数。x=时,误差函数的引数必为常数。因而：

式中β为一已确定的无量纲参数。在界面处x=l。综合以上各关系式得到:

式中，

Φ=D2/D1消去上式中的B1、B2

。得到

通过尝试法找出参数β。在数学上，β是误差函数的引数;在物理上,

β是抛物线长大规律的常数。函数f(β)和f(σ)可以查有关图,也可以计算。式中,【例2.8】有一含0.40%C的合金钢薄壳在与0.01%C相平衡的CO和CO2气氛中进行800℃温度下的奥氏体化处理。在这些条件下表面生成一些α相。问：经30分钟后，生成的α相层有多厚？已知在800℃时，Dα=2×10-6cm2/s，Dγ=3×10-8cm2/s0.40.240.020.01解：在这里，Ci=0.40,Cs=0.01；从Fe-C相图得到C1=0.24,C2=0.02。D1=Dγ,D2=Dα,所以Φ=D2/D1=66.6。如计算出β后,可得到α的厚度，这里采用尝试法:将有关数值代入公式，有：又若令β=0.1,则f(β)=0.0195;σ=0.816,f(σ)=0.70这样β值大体上已定出范围，再尝试得β=0.105计算结果：经30分钟后，生成的α相层为0.126mm利用尝试法计算：若令β=0.15,f(β)=0.0457;

σ=βΦ1/2=1.224,f(σ)=0.81现在我们用前面介绍的两相中新相长大公式（经稳态扩散近似处理）来计算。因为α相只有在γ相中长大,且忽略了γ相中的扩散,则根据式（2.31）有：

稳态扩散近似处理方法和Wagner较精确解法的计算结果还是比较接近的。若直接用脱碳公式:

则

误差较大

2)由原始两相混合物生成单相原始状态为二相混合物时（如钢的渗碳和脱碳）可能有四种情况。分析0<x<l，边界条件：C2(0,t)=CS。界面l处，局部平衡为：

在界面处的质量平衡为：先求得β，若D、t已知，就能计算l值。和前面同样的方法根据初始条件和边界条件得：4正弦函数解

一般式为：设周波长为，振幅，则扩散引起的衰减函数为：

图正弦分布的浓度曲线随时间的变化【例2.10】有两相同材料的试样，组织呈正弦分布.把其中一个试样进行塑性变形，使厚度变为原来的1/10，其浓度变化的波长也被压缩为原来的1/10。这两试样在某温度下经过一定时间t后，发现经塑性变形试样的浓度振幅已衰减为原来的1/10。那么另一个试样的振幅下降多少？解：设原试样浓度波长为a，经压缩变形试样的振幅是：取对数:计算结果说明没有经过变形的试样，其浓度振幅只下降了2.3%。另一个试样的浓度振幅下降为：【例2.11】已知有一锰钢，在退火前锰的偏析程度为0.6%。若枝晶偏析平均距离l=0.02cm。希望将锰的偏析程度降低到0.4%，问在1100℃扩散退火需多长时间？解：由有关图或数据查得在1100℃锰在钢中的扩散系数为：因为所以【例2.12】一种低含碳量的18-8型奥氏体不锈钢试样在1000℃进行热处理，不幸在开始的一分钟内保护气氛失效，以致于在钢的表面发生了渗碳。假设气氛为恒定的碳势，渗碳对不锈钢表面的碳含量可达到1.2%（质量分数）。但在不锈钢中允许的碳含量应小于0.04%。已知碳的扩散系数为D（1000℃）=3×10-7cm2/s。

1）假设原含碳量为0，由于碳的有害作用是由表向里的，试求渗碳一分钟后，使试样表面层的性能受到损害的深度是多少?2）在一分钟后，保护气氛立即恢复了作用，保护气氛与不锈钢之间没有碳的交换。在1000℃长期保温后，开始一分钟内所吸收的碳会扩散到钢的内部。问：在保温期间，使钢表面层内含碳量达0.04%的最大深度是多少?

3）若使碳在表层中的有害作用完全消除，问至少要保温多长时间?解：

1）因为假设是在恒定碳势下渗碳一分钟，所以就可以用误差函数解来求得深度。

计算结果：渗碳一分钟后，使试样表面层的性能受到损害的深度是0.127mm。

2）长期保温时，表面吸收的碳会向内部扩散。但在一定范围内，在x1深度处的浓度值是变化的。若令，则可求得达到最高浓度时所需的时间。然后，再可求得最高浓度值与深度之间的关系，从而求得最大深度。扩散时的表层浓度变化如图所示。图经过不同t处理后的浓度分布图经过不同t后在x1处的浓度值

0.04根据实际情况,可近似用高斯解来求解这问题.因此,S值可由前述的公式积分求得：近似处理，可直接用平均扩散距离x2=2Dt代入高斯解求得

代入有关数据后，可得：

计算结果：在保温期间，使钢表面层内含碳量达0.04%的最大深度是0.7mm。比刚开始时的0.127mm增大了几倍.注意计算S时的时间t0为1min.3）若使表层中碳的有害作用完全消除，则要求x=0处的碳浓度要小于0.04%。随着扩散的进行，表层的碳浓度逐渐下降，只要表层碳浓度小于0.04%，则其它地方就没有问题了。仍然用高斯解，并且设x=0，所以：代入数据后，计算可得t=21875s=6.08h。计算结果：使碳在表层中的有害作用完全消除，至少要保温6小时。

5、Fick定律在相变中的应用脱溶沉淀相的抛物线长大规律图晶界薄膜沉淀时的浓度分布对α相可用下式解：

边界条件为：,(K=?).代入上式

得对于y→∞,x=A+B=xα∞.与上式相减,所以现在有A/B/K三个未知数,还得寻找关系式.因为β相长大,A式根据质量平衡原理,这些B原子是由α相通过与β相长大反方向的扩散提供的。所以,α相中扩散流量为:因为α相中