人教版平行四边形单元综合模拟测评检测试题

人教版平行四边形单元综合模拟测评检测试题

一、选择题

1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PE_LBC于点

E,PF_LCD于点F,连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP_LEF；③仅有当NDAP=

45。或67.5°时，AAPD是等腰三角形；④/PFE=NBAP：⑤XlpD=EC.其中有正确有

2

（）个.

A.2B.3C.4D.5

2.如图，正方形A8CO和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=T,CE=3,”是

AF的中点，那么C”的长是（）

3.如图，菱形48co的边长为4,N048=60。，£为8c的中点，在对角线AC上存在一点

P,使的周长最小，则aPBE的周长的最小值为（）

A.2GB.4C.2G+2D.4+2百

4.如图，己知正方形ABC。的边长为2,点瓦厂在正方形A8CD内，\EAB,\FDC

都是等边三角形，则EF的长为（）

5.如图，将矩形A8CO沿EF折叠后点。与8重合.若原矩形的长宽之比为3:1，则干

BF

的值为（）

6.如图，在A8CO中，3AB=2AD.ErE29E3,E4,E5,依次是CB上的五个点，并且

CE]=EiE2=E2E3=E3E4=E4E5=E5B,在三个结论：（1）DEy±AEy；（2）

AE2lDE4i（3）g_LOE之中，正确的个数是（）

7.如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD、CE交于点H,BE、AH交于点G,

则下列结论：①AG_LBE；②BE:BC=J^:2；@SABHE=SACHD;®ZAHB=ZEHD.其中正确的个

数是

8.如图，长方形ABCD中，点E是边CD的中点，将4ADE沿AE折叠得到AAFE,且点F

AD

在长方形ABCD内，将AF延长交边BC于点G,若BG=3CG,则==（）

A.-B.1C.立D.—

422

9.如图，在等腰中，ZC=90°,4c=8,F是48边上的中点，点。、£分别

在4C、8c边上运动，且保持AO二CE.连接。£、DF、EF.在此运动变化的过程中，下

列结论：

①△力注:是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，

③。£长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）

A.①②@B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

10.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分/DBC交DC于点E,延长BC到点F,使

FC=EC,连结DF交BE的延长线于点H,连结OH交DC于点G,连结HC.则以下四个结论

中：①OH〃BF,②GH=^BC,③BF=2OD,©ZCHF=45°.正确结论的个数为（）

4

C.2个D.1个

二、填空题

11.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则

PE+PB的最小值为.

12.如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段

DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰R5A0P.当P从点D出发运动

3

13.已知在矩形A8C。中，AB=一,BC=3,点尸在直线8c上，点。在直线上，且

2

42_1尸。,当＞4尸=尸。时，AP=.

14.如图，长方形纸片ABCD中,八8二6601巫=8071点£是设边上一点，连接AE并将

△AEB沿AE折叠,得到△AEBT以C,E,B为顶点的三角形是直角三带形时,BE的长为

cm.

15.如图，在RtZ\48C中，N84C=90°,48=8,47=6,以8c为一边作正方形8DEC设

正方形的对称中心为。，连接八。则A0=.

B

,o

DE

16.菱形4BCD的周长为24,ZABC=60°,以48为腰在菱形外作底角为45。的等腰ZkaBE,

连结AC,CE,则ZkACE的面积为.

17.如图，在矩形ABC。中，AB=16,BC=18,点E在边AB上，点F是边BC上不

与点B、C重合的一个动点，把△E3R沿EF折叠，点B落在点B'处.若AE=3,当

是以08'为腰的等腰三角形时，线段的长为.

18.如图，矩形ABCQ中，CE=CB=BE,延长BE交AD于点M,延长CE交AD

于点尸，过点、E作EN上BE,交8A的延长线于点N,FE=2,AN=3,贝ij

BC=.

19.在菱形48CD中，M是AD的中点，48=4,N是对角线AC上一动点，△0MN的周长

最小是2+26，贝IJBD的长为.

20.如图，有一张长方形纸片ABCO,48=4,AD=3.先将长方形纸片ABC。折

叠，使边A。落在边AB上，点。落在点E处，折痕为A尸；再将A4石产沿EF翻折，

AF与BC相交于点G,则FG的长为.

三、解答题

21.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60。，连接CF.

（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，

®ZBCF=。；

②BC,CD,Cb之间数量关系为一.

（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否

仍然成立？请说明理由.

（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若AB=6,

CD=|BC,请直接写出CF的长及菱形ADEF的面积.

图（2）图（3）

图⑴

22.如图1,4c是平行四边形48CO的对角线，E、”分别为边6A和边BC延长线上

的点，连接交AO、CD于点F、G,且EH//AC.

（1）求证：MEFs^CGH

（2）若AAC。是等腰直角三角形，NACO=90，尸是4。的中点，40=8,求班:的

长：

（3）在（2）的条件下，连接80,如图2,求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）

EE

DD

/\X?/

BCHBCH

图1图2

23.共顶点的正方形48C。与正方形AEFG中，48=13,AE=5①.

(1)如图1,求证：DG=8E；

(2)如图2,连结8F,以8F、8C为一组邻边作平行四边形8C”

①连结8H,8G,求空的值；

②当四边形8C”F为菱形时，直接写出8H的长.

图1图2备用图

24.在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1,M点坐标为(m,0),C点坐标

为(0,n),已知m,n满足+|5-=0.

(1)求m,n的值：

(2)①如图1,P,Q分别为OM,MN上一点，若NPCQ=45。，求证：PQ=OP+NQ；

②如图2,S,G,R,H分别为OC,OM,MN,NC上一点，SR,HG交于点D.若NSDG=

135°,HG=—>则RS=；

2

(3)如图3,在矩形OABC中，OA=5,OC=3,点F在边BC上且OF=OA,连接AF,动

点P在线段OF是(动点P与0,F不重合)，动点Q在线段0A的延长线上，且AQ=

FP,连接PQ交AF于点N,作PM_LAF于M.试问：当P,Q在移动过程中，线段MN的

长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由.

25.如图，锐角AA8C,AB=AC,点。是边3c上的一点，以4D为边作A4OE,使

AE=AD,ZEAD=ABAC.

（1）过点E作EP〃OC交A8于点尸，连接CT（如图①）

①请直接写出NE4B与ND4C的数量关系；

②试判断四边形COE尸的形状，并证明；

（2）若N84C=60，过点C作CF//DE交AB于点F,连接E尸（如图②），那么

（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.

26.如图，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,点E在边AB上，点F是边BC上不与点

B、C重合的一个动点，把4EBF沿EF折叠，点B落在点力处.

⑴若AE=O时，旦点&恰好落在A3边上，请直接写出DB，的长；

（II）若AE=3时，且ACDB，是以DB，为腰的等腰三角形，试求DB，的长；

（川）若AE=8时，且点夕落在矩形内部（不含边长），试直接写出DB，的取值范围.

27.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点，AF,DE相交于点G,当E,F分

别为边BC,CD的中点时，有：①AF=DE；②AFJLDE成立.

试探究下列问题：

上述结论①，

②是否仍然成立？（请直接回答"成立"或"不成立"），不需要证明）

（2）如图2,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF,此时，上述结

论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

(3)如图3,在(2)的基础上，连接AE和BF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,

AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形〃中的哪一种，并证明你的结论.

28.如图，在矩形A8CD中，AD=nAB,E,F分别在八8,8c上.

(1)若L=T,AFLDE.

①如图1,求证：AE=BF；

②如图2,点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若4H=4。，求证：AE+BG

=AG；

(2)如图3,若£为48的中点，NADE=NEDF.则g的值是(结果用

29.如图①，在等腰R/ABC中，NBAC=90，点E在AC上(且不与点4C重合

),在A3C的外部作等腰RfCED,使NCEZ)=90，连接4D,分别以48,4。为邻

边作平行四边形48F。，连接4F.

(1)请直接写出线段AF,4E的数量关系；

(2)①将CED绕点C逆时针旋转，当点£在线段8c上时，如图②，连接AE,请判断

线段4F,4E的数量关系，并证明你的结论；

②若AB=2小,CE=2,在图②的基础上将CED绕点C继续逆时针旋转一周的过

A

30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),连接DE、BF,P是

DE的中点，连接AP.将4AEF绕点A逆时针旋转.

(1)如图①，当AAEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位

置关系为，数量关系为一.

(2)当4AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第(1)问中的结论仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1.则线段AP的取值范闱为.

①

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

过P作PG_LAB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGPg/XFPE

后即可证明①AP=EF；®ZPFE=ZBAP：在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性

质，在R3DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=J，EC,得出⑤正确，即可得出

结论.

【详解】

过P作PG_LAB于点G,如图所示：

D

•・•点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，

.\GP=EP,

在4GPB中，NGBP=45。，

/.ZGPB=45°,

，GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

AAG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

AAG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

•ZAGP=ZFP£=90°,

PG=PE

AAAGP^AFPE(SAS),

AAP=EF,①正确，ZPFE=ZGAP,

AZPFE=ZBAP,④正确；

延长AP到EF上于一点H,

/.ZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

/.ZPHF=ZPGA=90°,

AAP1EF,②正确，

•・•点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45%

，当NPAD=45。或67.5。时，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正确.

VGF/7BC,

/.ZDPF=ZDBC,

又・.・NDPF=NDBC=45°,

AZPDF=ZDPF=45°,

.\PF=EC,

，在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

.*.DP=V2EC,

即Y2PD=EC,⑤正确.

2

•••其中正确结论的序号是①©©④⑤，共有5个.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，

勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

2.D

解析：D

【分析】

连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出NACF=90°,然

后利用勾股定理列式求出AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.

【详解】

如图，连接AC、CF,

•・,正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,

/.AC=V2>CF=3亚，ZACD=ZGCF=45°，

AZACF=90°,由勾股定理得，AF=JAC?-B=2不，

TH是AF的中点，.,.CH=yAF=1x2>/5=>/5.

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，

熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

3.C

解析：C

【分析】

如下图，4BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E

作AC的对称点F,连接FB,则FB就是BP+PE的最小值.

【详解】

如下图，过点E作AC的对称点F,连接FB,FE,过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点

G

D

F

:菱形ABCD的边长为4,点E是BC的中点

ABE=2

ZDAB=60°,/.ZFCE=60°

丁点F是点E关于AC的对称点

・•・根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上

则CF=CE=2

・•・△CFE是等边三角形，/.ZFEC=60°,EF=2

AZBEG=60°

工在Rt^BEG中，EG=1,BG=>/3

AFG=l+2=3

，在RtABFG中，BF="+（可=26

根据分析可知，BF=PB+PE

/.△PBE的周长=26+2

故选：C

【点睛】

本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转

化为FB的长.

4.B

解析：B

【分析】

连接FA,FB,ED,ED,延长FE交C力于点G,延长EF交AB于点”，说明E尸是

NDFC,/AE8的平分线，得出EG,9的长度，进而求出E尸的长度.

【详解】

解：连接E4,用,ERE。，延长FE交CO于点G,延长E尸交A8于点”，

•:\ABE是等边三角形，

・•・ZE4B=Z£BA=60°,

・•・ZDAE=ZCBE=30°,

在&ME■和ACBE中，

AD=BC

•：\^DAE=^CBEt

AE=BE

：.\DAE二bCBE,

ED=EC,

在△££）/和AECT中，

FD=FC

v\EF=EF,

ED=EC

：.SEDFsAECF,

・•・NDFE=NCFE

：.EF是NOFC的平分线，

・•・FG是等边bDFC的NDFC的平分线，

:.FG1DC,

：.GE=GF-EF,

同理可证：EHLAB,FH=EH-EF,

・・•AE43,△尸0c都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长,

・•・GF=EH,

：.GE=FH,

VFG±DCtEHLAB,

・,・G,瓦四点共线，且GH=AQ,

•・•正方形ABC。的边长为2,ADFC是等边三角形，

JDF=2,

♦:FG是等边kDFC的ZDFC的平分线，

・••FG也是OC边上的中线，即：DG=GC=\,

・•・在•△。尸G中，由勾股定理得：

DF2=DG2+GF~,BP：22=12+GF2，

・,・G/=5

FH=2-y/3，

同理可得：GE=2-5

AEF=2-GE-F/7=2-（2-x/3）-（2->/3）=2>/3-2,

故选：B.

【点睛】

本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用

G,E,F,H四点共线是解决本题的关键.

5.D

解析：D

【分析】

根据折叠的性质得到ED'=BE,EF=NBEF,根据平行线的性质得到ND'EF=

NEFB,求得BE=BF,设AD'=BC'=3x,AB=x,根据勾股定理得到BE=于是得

3

到结论.

【详解】

如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，

：.ED'=BE,ND'EF=ZBEF,

TAD'〃BC',

•••ND'EF=ZEFB,

，NBEF=NEFB,

，BE=BF,

•・•原矩形的长宽之比为3；1,

工设AD'=BC'=3x,AB=x,

.*.AE=3x-EDf=3x-BE,

VAE2+AB2=BE2,

:.(3x-BE)2+x2=BE2,

解得：BE=­x,

54

/.BF=BE=-x,AE=3x-BE=-x

33

4

x

AE3-4

---

8F55-

x

3-

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理,

熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

6.B

解析：B

【分析】

先根据平行四边形性质和等腰三角形性质可得人后2是的角平分线，DE4是

/4ZX7的角平分线，结论（2）正确.再利用结论（2）可得/口4&+乙4。巴>90。，

/94七+44£）£2>90。即可判断垢论（1）（3）错误，

【详解】

解：设CE、=E岛=E2E3=%=EH=E,B=m,则BC=6优，

ABCD,3AB=2AD

AD=BC=6m,AD//BC,AB//CD,AB=CD=4m

在^ABE2中，BE2=

：.ZAE1B=Z.BAE2,

ADIIBC,

ZAE2B=ZDAE2,

/.ZDAE.=NBAE产LZBAD,

2

同理可得：^ADE.=ZCDE,=-ZADC,

2

AB//CD,

・•.N8AO+NAOC=180。，

ZDAE2+ZADE4=90°

/.AE2±DE4,

故（2）正确；

VZDA£3>ZDAE2,ZADE3>ZAOE4,

/.ZZME,+/ADE、>ZDAE2+ZADE4,即ZDAEy+ZADE,>90。，

JZ4E.D<90°

所以£>/与A片不垂直，故（1）不正确；

V,ZADE2>ZADE4,

。,

/.ZDAE2+ZADE2>ZDAE2+NADE4,upZDAE2+ZADE2>90

:.ZAE2D<90°

故（3）不正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理等，证明人心是/BAD

的角平分线，。&是/AOC的角平分线是解题关键.

7.D

解析：D

【分析】

首先根据正方形的性质证得4BAE丝aCDE,推出/ABE=NDCE,再证

△ADH^ACDH,求得NHAD=/HCD,推出NABE=NHAD：求出NABE+NBAG=

90°;最后在AAGE中根据三角形的内角和是180。求得NAGE=90°即可得到①正确：

因为点E是AD边的中点，求出AB=2AE,BE二行AE

即可求得BE:BC=逐:2,故②正确；

根据AD〃BC,求出SABDE=SACDE,推出SABDE-SADEH=SACDE-SADEH»

即；SABHE=SACHD,故③正确；

由NAHD=NCHD,得到邻补角和对顶角相等得到NAHB=NEHD,故④正确

【详解】

•・•四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，

AAE=DE,AB=CD,ZBAD=ZCDA=90°,

在4BAE和4CDE中

AE=DE

・・・（乙BAE=NCDE

AB=CDA

AABAE^ACDE（SAS）,

/.ZABE=ZDCE,

•・•四边形ABCD是正方形，

，AD=DC,ZADB=ZCDB=45°,

;在AADH和ACDH中，

AD=CD

<ZADH=2CDH

DH=DH

.,.△ADH^ACDH(SAS),

.\ZHAD=ZHCD,

VZABE=ZDCE

AZABE=ZHAD,

VZBAD=ZBAH+ZDAH=90°,

.*.ZABE+ZBAH=90°,

/.ZAGB=I80°-90°=90°,

・・・AG_LBE,故①正确；

,・,点E是AD边的中点，

AAB=2AE,

/.BE=V5AE

•••BE:BC二石:2,故②正确；

VAD/7BC,/.SABDE=SACDE,

SABDE-SADEH=SACDE-SADEH»

即；SABHE=SACHD»故③正确；

VAADH^ACDH,

/.ZAHD=ZCHD,

/.ZAHB=ZCHB,

VZBHC=ZDHE,

AZAHB=ZEHD,故④正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是熟练掌握其性质.

8.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据中点定义得出DE=CE,再根据折叠的性质得出DE=EF,AF=AD,NAFE=/D=90。，从而

得出CE=EF,连接EG,利用"HL"证明4ECG出△EFG,根据全等三角形性质得出CG=FG,设

CG=4,则BC=4〃，根据长方形性质得出AD=BC=4。，再求出AF=4。，最后求出

AG=AF+FG=5«,最后利用勾股定理求出AB,从而进一步得出答案即可.

【详解】

如图，连接EG,

•・•点E是CD中点,

ADE=EC,

根据折叠性质可得：AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

ACE=EF,

在RtAECG与RtAEFG中，

VEG=EG,EC=EF,

/.RtAECG^RtAEFG(HL),

/.CG=FG,

设CG=。，

/.BG=3CG=3

ABC=4tZ,

，AF=AD=BC=4〃.

，AG=54.

在RtAABG中，

•*-AB=\IAG2-BG2=4a^

AB

故选B.

【点睛】

本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概

念是解题关键，

9.B

解析：B

【分析】

①连接CF,证明△ADFgZXCEF,得到4EDF是等腰直角三角形；

②根据中点的性质和宜角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理

进行判断；

③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；

④根据4ADF丝ZXCEF,得到S四边庄CEFD=SAAFC;

⑤由③的结论进行计算即可.

【详解】

①连接CF,

「△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点,

/.ZFCB=ZA=ZB=45°,CF=AF=FB,

VAD=CE,

/.△ADF^ACEF,

/.EF=DF,ZAFD=ZCFE,

VZAFD+ZCFD=90°,

；・ZCFE+ZCFD=ZEFD=90%

•••△EDF是等腰直角三角形，①正确；

②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为RtZkAFC和RSBFC斜边上的中线,

11

/.CD=DF=-AC,FE=EC=-BC,

22

/.CD=DF=FE=EC,

四边形CDFE是菱形，又NC=90。，

・•・四边形CDFE是正方形，②错误；

③由于4DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，

当DF_LAC时，DE最小，此时EF=DF=，BC=4.

2

；・DE=\/DF>+EF'=14，+4。=4亚，③错误；

@VAADF^ACEF,

:.SACEF=S^ADF,

•,«S四动形CEFD=SzxAFC，

・•・四边形CDFE的面积保持不变，④正确；

⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，

DF的最小值是4,则DE的最小俏为4a，

当ACEF面积最大时，此时4DEF的面积最小.

此时SACEF=S四边彩CEFD-SADEF=S.AAFC-S,2QEF=16-8=8，⑤正确：

综上，正确的是：①④⑤，

故选：B.

【点睛】

木题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方

形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的

关键.

10.B

解析：B

【分析】

①只要证明OH是4DBF的中位线即可得出结论：

②根据OH是AEFD的中位线，得出GH=』CF,由GHV^BC,可得出结论；

③易证得△ODH是等腰三角形，绣而证得。。二万BF；

④根据四边形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分线可求出RtZ\BCEgRtZ\DCF,再由

NEBC=22.5。即可求出结论.

【详解】

解：VEC=CF,ZBCE=ZDCF,BC=DC,

/.△BCE^ADCF,

AZCBE=ZCDF,

VZCBE+ZBEC=90°,ZBEC=ZDEH,

/.ZDEH+ZCDF=90°,

/.ZBHD=ZBHF=90%

VBH=BH,ZHBD=ZHBF,

/.△BHD^ABHF,

ADH=HF,VOD=OB

AOH是4DBF的中位线

・・・OH〃BF；故①正确；

AOH=—BF,ZDOH=ZCBD=45°,

2

VOH是ZkBFD的中位线，

11

ADG=CG=—BC,GH=—CF,

22

VCE=CF,

11

AGH=—CF=—CE

22

1

VCE<CG=—BC,

2

.,.GH<yBC,故②错误.

4

丁四边形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分线，

ABC=CD,ZBCD=ZDCF,ZEBC=22.5°,

VCE=CF,

ARtABCE^RtADCF(SAS).

/.ZEBC=ZCDF=22.5°,

.•・NBFH=90°・NCDF=90°-22.50=67.5°,

TOH是4DBF的中位线，CD±AF,

・・・OH是CD的垂直平分线，

/.DH=CH,

.•.ZCDF=ZDCH=22.5°,

/.ZHCF=90<,-ZDCH=90<>-22.50=67.50,

:.ZCHF=1800-ZHCF-ZBFH=180°-57.50-67.5<,=45°,故④正确;

AZODH=ZBDC+ZCDF=67.5°,

AZOHD=1800-ZODH-ZDOH=67.5°,

AZODH=ZOHD,

AOD=OH=yBF；故③正确.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质.解答

此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分

线的性质逐步解答.

二、填空题

11•2逐

【详解】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE,交AC于点P,那PE+PB的值最小.在

RtACDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值.连接DE,交AC于点

P,连接BD.

.・•点B与点D关于AC对称，

DE的长即为PE+PB的最小值，

AB=4,E是BC的中点，

CE=2,

在RtACDE中，DE=275.

考点：（1）、轴对称-最短路线问题；（3）、正方形的性质.

12.272

【解析】

分析：过0点作OEJ_CA于E,OF_LBC于F,连接C。，如图，易得四边形OECF为矩形，

由AAOP为等腰直角三角形得至I」OA=OP,/AOP=90。，则可证明△OAEW^OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分NACP,从而可判断当P

从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，接着证明

CE=y（AC+CP）,然后分别计算P点在D点和B点时0C的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长.

详解：过0点作OEJ_CA于E,OF_LBC于F,连接CO,如图,

VAAOP为等腰直角三角形，

/.OA=OP,ZAOP=90°,

易得四边形OECF为矩形，

AZEOF=90°,CE=CF,

AZAOE=ZPOF,

/.△OAE^AOPF,

/.AE=PF,OE=OF,

JCO平分NACP,

・••当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径为一条线段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

1,、

..CE=—(AC+CP),

AOC=72CE=^(AC+CP),

当AC=2,CP=CD=1时，0C=—x(2+1),

22

当AC=2,CP=CB=5时，OC=^x(2+5)=2^,

22

・••当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径长=述-迪=2&.

22

故答案为2/.

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定

轨迹的几何特征，然后进行几何计算.也考查了全等三角形的判定与性质.

13.3应或之加

22

【分析】

根据点尸在直线5c上，点。在直线CO上，分两种情况：LP、Q点位于线段上；2.P、Q

点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.

【详解】

解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时：

•••四边形ABCD是矩形

AP上PQ,

/.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

•「AP=PQ

ABP=PCQ

333

/.PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

•.AP=/(-)2+(-)2=1^

V222

当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时:

四边形ABCD是矩形

APLPQ,

ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

..ABP=PCQ

339

/.PC=AB=-，BP=BC+PC=3+-=-

222

...AP=J(3)2+(2)2=：M

V222

故答案为：与应或与加

22

【点睛】

此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题

的关键.

14.3或6

【详解】

①NB'EC=90°时,如图1,/BEB'=90°,

由翻折的性质得NAEB=/AEB=yx90°=45°,

「.△ABE是等腰直角三角形，

BE=AB=6cm；

(2)ZEBrC=90°时，如图2,

由翻折的性质NABZE=NB=90。，

•・A、B\C在同一直线上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=，人&+BC?=dG+8?=10cm,

/.BzC=10-6=4cm,

设BE=B'E=x,则EC=8-x,

在RtAB'EC中，B'E2+B'C2=EC2,

即x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

综上所述，BE的长为3或6cm.

故答案为3或6.

15.70；

【分析】

连接AO、BO、CO,过。作FO_LAO,交AB的延长线于F,判定△AOC^^FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,ZFAO=45°,根据AO=AFxcos45°进行计

算即可.

【详解】

解：连接AO、BO、CO,过0作FOLAO,交AB的延长线于F,

V0是正方形DBCE的对称中心,

ABO=CO,ZBOC=90°,

VFO±AO,

/.ZAOF=90°,

AZBOC=ZAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

AZAOC=ZFBO,

ZBAC=90o,

，在四边形ABOC中，ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

/.ZACO=ZFBO,

在AAOC和AFOB中，

ZAOC=ZFOB

<AO=FO,

/ACO=/FBO

/.△AOC^AFOB(ASA),

/.AO=FO,FB=FC=6,

/.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45°,

.•.AO=AFXCOS450=14X叵7&.

2

故答案为7啦.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建

全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.

16.9或9(6+1).

【分析】

分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可.

【详解】

解：①如图1,延长EA交DC于点F,

•・•菱形ABCD的周长为24,

AAB=BC=6,

VZABC=60°,

，三角形ABC是等边三角形，

，NBAC=60°,

当EA1BA时，AABE是等腰直角三角形，

AAE=AB=AC=6,ZEAC=900+60°=150°,

/.ZFAC=30°,

,/ZACD=60°,

/.ZAFC=90°,

1

/.CF=—AC=3,

2

则AACE的面积为：!AExCF=jx6x3=9；

22

由①可知：ZEBC=ZEBA+ZABC=90°+60,>=150o,

VAB=BE=BC=6,

/.ZBEC=ZBCE=15°,

/.ZAEF=450-15o=30o,ZACE=60°-15°=45%

/.AF=—AE,AF=CF=—AC=3J?»

22

VAB=BE=6,

・・・AE=6&，

，EF=JAE2—AF2=35

・・・EC=EF+FC=3#+3近

则△ACE的面积为：!ECxAF=-x(3#+3&)x30=9(e+1).

22

故答案为：9或9(6+1).

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键

是掌握菱形的性质.

17.16或10

【分析】

等腰三角形一般分情况讨论：(1)当DB，=DC=16；(2)当B，D=B(时，作辅助线，构建平

行四边形AGHD和直角三角形EGB',计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；

【详解】

•「四边形ABCD是矩形，

DC=AB=16,AD=BC=18.

分两种情况讨论：

(1)如图2,当DB，=DC=16时，即△CDB，是以DB为腰的等腰三角形

D

E

B"

(2)如图3,当BD=B(时，过点B'作GHIIAD,分别交AB与CD于点G、H.

图3

■「四边形ABCD是矩形，

•ABHCD,ZA=90°

又GHIIAD,

••・四边形AGHD是平行四边形,又/A=四。,

••・四边形AGHD是矩形，

AG=DH,ZGHD=90°,B|JB'HXCD,

又B'D=B'C,

DH=HC=-CD=8,AG=DH=8,

AE=3,

BE=EB'=AB-AE=16-3=13,

EG=AG-AE=8-3=5,

在RtAEGB，中，由勾股定理得：

GB'=J13?.5?=12,

/.B'H=GHXGB'=18-12=6,

在RSHD中，由勾股定理得：BZD=7624-82=10

综上，DB'的长为16或10.

故答案为：16或10

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论.

18.6+6G

【分析】

通过四边形ABCD是矩形以及CE=CB=3E,得到△FEM是等边三角形，根据含30。直

角三角形的性质以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，进而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性质及勾股定理得到BN,BE即可.

【详解】

解：如图，设NE交AD于点K,

•・•四边形ABCD是矩形，

AAD/ZBC,ZABC=90°,

AZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,:CE=CB=BE,

/.△BCE为等边三角形，

.\ZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

AZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

•・.△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2,

VEN±BE,

AZNEM=ZNEB=90°,

/.ZNKA=ZMKE=30°,

AKM=2EM=4,NK=2AN=6,

・••在Rt^KME中，KE=4KM1-EM1=25/3*

ANE=NK+KE=6+，

VZABC=90°,

/.ZABE=30°,

.•・BN=2NE=12+45

•••BE=JBN?-NE?=6+6百，

，BC=BE=6+66，

故答案为：6+65/5

【点睛】

本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30。直角三角形的性质与勾股定理的应用,

解题的关键是灵活运用30。直角三角形的性质.

19.4

【分析】

根据题意，当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+2j§，

由DMMLZWMZ,则BM=2jL利用勾股定理的逆定理，得到ZAMB=90。，贝|得到

2

△ABD为等边三角形，即可得到BD的长度.

【详解】

解：如图：连接BD,BM,则AC垂直平分BD,则BN=DN,

当B、N、M三点在同一条直线时，Z\DMN的周长最小为：BM+DM=2+2，§，

AD=AB=4,M是AD的中点，

/.AM=DM=-A£)=2,

2

，BM=2G，

,:AM2+BM2=22+(2>/3)2=16=

•・.△ABM是直角三角形,即NAMB=90°；

VBM是4ABD的中线，

/.△ABD是等边三角形，

/.BD=AB=AD=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定

理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到4ABD是等边三角形.

20.5/2

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得NDAF=/BAF=45。，再由矩形性质可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【详解】

由折叠的性质可知，ZDAF=ZBAF=45°,

,\AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

•・•四边形EFCB为矩形，

/.FC=BE=1,

VAB/7FC,

AZGFC=ZDAF=45°,

,-.GC=FC=I,

・•・FG=VGC2+FC2=Vi+T=>/2»

故答案为：72.

【点睛】

本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置

变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键.

三、解答题

21.(1)①120。；②BC=CD+CF；(