《高考总复习优化设计二轮复习》常考小题点

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI常考小题点第一编2022小题点1集合、常用逻辑用语必备知识•精要梳理1.集合(1)A∪B={x|x∈A,或x∈B};A∩B={x|x∈A,且x∈B};∁UA={x|x∈U,且x∉A};A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.规律方法若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;若已知的集合是点集,用数形结合法求解;若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.(2)含有n(n∈N*)个元素的集合,其子集、真子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-2.

子集中包括空集和其本身2.常用逻辑用语(1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p是q的充要条件.(2)充要条件的三种判断方法:①定义法;②集合法;③等价转化法.名师点析判断充分条件、必要条件时要注意三点(1)要弄清先后顺序.“A的充分不必要条件是B”和“A是B的充分不必要条件”是不一样的.(2)要善于举反例.当从正面判断或证明一个命题的真假不易实现时,可以通过举恰当的反例来说明.(3)要注意合理转化.

p是

q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件,等等.(3)“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M,

p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M,

p(x)”.考向训练•限时通关热点小题1

集合1.(2021·全国乙,文1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=(

)A.{5} B.{1,2}C.{3,4} D.{1,2,3,4}答案A

解析

(方法一)∵M∪N={1,2,3,4},∴∁U(M∪N)={5}.(方法二)∵∁UM={3,4,5},∁UN={1,2,5},∴∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={5}.答案

D

2.(2021·北京丰台一模)已知集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤3},则A∪B=(

)A.{x|-2<x<0} B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤3} D.{x|-2<x≤3}解析

因为集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤3},所以A∪B={x|-2<x≤3}.3.(2021·山东实验中学月考)设集合P={y|y=x2+1},M={x|y=x2+1},则集合M与集合P的关系是(

)A.M=P B.P∈M C.M⫋P D.P⫋M答案D

解析

P={y|y=x2+1}={y|y≥1},M={x|y=x2+1}=R,所以P⫋M.答案

B

4.(2021·山东烟台一模)已知集合A={x|-x2+2x>0},B={x|x>1},则A∩(∁RB)=(

)A.(0,1) B.(0,1] C.(-∞,0) D.(1,2)解析

因为A={x|-x2+2x>0}={x|0<x<2},∁RB={x|x≤1},所以A∩(∁RB)=(0,1].5.(2021·山东临沂一模)已知全集U=A∪B=(0,4],A∩∁UB=(2,4],则集合B=(

)A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(0,2] D.(0,2)答案C

解析

因为A∪B=(0,4],A∩∁UB=(2,4],所以B=∁U(A∩∁UB)=(0,2].6.(2021·全国乙,理2)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(

)A.⌀ B.S C.T D.Z答案C

解析

当n=2k,k∈Z时,s=4k+1,k∈Z;当n=2k+1,k∈Z时,s=4k+3,k∈Z,所以T⫋S,故S∩T=T.7.(2021·湖南长郡中学月考)已知集合A={(x,y)|x+y=8,x∈N*,y∈N*},B={(x,y)|y>x+1},则A∩B的真子集个数为(

)A.3 B.6C.7 D.8答案C

解析

依题意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中满足y>x+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5)},有3个元素,故其真子集有23-1=7(个).8.设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(

)A.-4 B.-2C.2 D.4答案B

答案ACD

9.(多选题)(2021·山东菏泽检测)已知集合M={2,-5},N={x|mx=1},且M∪N=M,则实数m的值可以为(

)解析

因为M∪N=M,所以N⊆M.当m=0时,N=⌀,满足N⊆M,所以m=0符合题意,10.(2021·河北张家口一模)已知A,B都是R的子集,且A⊆B,则B∪(∁RA)=(

)A.A B.B C.⌀ D.R答案D

解析

由题意画出Venn图如图所示,易知B∪(∁RA)=R.11.(2021·江苏徐州二模)某班45名学生参加“3·12”植树节活动,每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”2个等级,结果如下表:项目等级合计优秀合格除草301545植树202545若在两项劳动中都“合格”的学生最多有10人,则在两项劳动中都“优秀”的学生最多为(

)人.A.5 B.10 C.15 D.20答案C

解析

用集合A表示除草优秀的学生,B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则∁UA表示除草合格的学生,则∁UB表示植树合格的学生,作出Venn图如图所示.设两个项目都优秀的学生人数为x,两个项目都合格的学生人数为y,由图可得20-x+x+30-x+y=45,x=y+5,因为ymax=10,所以xmax=10+5=15.热点小题2

充分条件与必要条件12.(2021·广东韶关一模)“p:x2-x-2<0”是“q:0<x<1”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B

解析

x2-x-2<0⇔-1<x<2,所以pq,q⇒p.故p是q的必要不充分条件.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件13.(2021·江苏常州一模)“sinα=”是“sinα=cosα”的(

)答案

D

14.(2021·浙江,3)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B

解析

若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,不一定有a=b;若a=b,则(a-b)·c=0,即a·c=b·c,故“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件.15.(2021·北京门头沟一模)“ln(x+1)<0”的一个必要不充分条件是(

)A.-1<x<- B.x>0C.-1<x<0 D.x<0答案D

解析

ln(x+1)<0等价于0<x+1<1,即-1<x<0.因为-1<x<0可以推出x<0,而x<0不能推出-1<x<0,所以“x<0”是“-1<x<0”的必要不充分条件,所以“ln(x+1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”.16.(2021·广东深圳一模)设α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥β,则“γ∥β”是“α⊥γ”的(

)A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A

解析

因为α⊥β,γ∥β,则α⊥γ,所以由α⊥β,γ∥β可以得出α⊥γ;若α⊥β,α⊥γ,则γ与β可能相交或平行,所以α⊥β,α⊥γ,不能推出γ∥β,所以若α⊥β,则“γ∥β”是“α⊥γ”的充分不必要条件.17.(2021·山东青岛期末)“∀x>0,a≤x+”的充要条件是(

)A.a>2 B.a≥2C.a<2 D.a≤2答案D

答案

D

18.(2021·浙江丽水检测)已知p:x2-3x+2≤0,q:x2-4x+4-m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,0]B.[1,+∞)C.{0}D.(-∞,-1]∪[1,+∞)热点小题3

全称量词与存在量词19.(2021·山东实验中学月考)已知命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则

p为(

)C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1答案B

解析

因为命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1是全称量词命题,所以其否定为存在量词命题,即

p:∃x0>0,使得(x0+1)1.答案

C

20.(2021·福建福州期末)已知命题p:∃x∈(-∞,0),tan2021x>x3,则

p为(

)A.∀x∈[0,+∞),tan2021x>x3B.∀x∈[0,+∞),tan2021x≤x3C.∀x∈(-∞,0),tan2021x≤x3D.∀x∈(-∞,0),tan2021x<x3解析

存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题p:∃x∈(-∞,0),tan

2

021x>x3的否定为∀x∈(-∞,0),tan

2

021x≤x3.21.(2021·河北石家庄一中月考)命题p:∃x∈{x|1≤x≤9},使得x2-ax+36≤0,若p是真命题,则实数a的取值范围为(

)A.a≥37 B.a≥13C.a≥12 D.a≤13答案C

小题点2二次函数与一元二次方程、不等式必备知识•精要梳理1.不等式的性质对于不等式a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.2.基本不等式(2)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.误区警示多次使用基本不等式求最值,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号,若等号不成立,一般利用函数的单调性求解.3.二次函数与一元二次方程、不等式(1)二次函数的一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其图象是以直线x=-为对称轴的抛物线;顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)为顶点坐标;零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为函数f(x)的零点.(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不等实根分别为x1,x2,则

(3)求一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集,先求其对应一元二次方程的根,再结合其对应的二次函数的图象确定一元二次不等式的解集.名师点析解一元二次不等式的步骤:一化(将二次项系数化为正数);二判(判断判别式Δ的符号);三解(解对应的一元二次方程);四写(大于取两边,小于取中间).规律方法解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑:(1)二次项系数,它决定二次函数图象的开口方向;(2)判别式Δ,它决定根的情形,一般分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况;(3)在有根的条件下,要比较两根的大小.4.恒成立与能成立问题(1)恒成立问题的转化:a≥f(x)恒成立⇒a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.(2)能成立问题的转化:a≥f(x)能成立⇒a≥f(x)min;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.考向训练•限时通关热点小题1

不等式的性质与基本不等式1.(2021·北京房山一模)已知a,b∈R,且a>b,则下列各式成立的是(

)答案

B

解析

由题意a,b∈R,且a>b,对于A:若a=1,b=-1,则

,故选项A中不等式不成立;对于B:因为函数y=x3在定义域R上单调递增,所以a3>b3,故选项B中不等式成立;对于C:若b=0,则ab=b2=0,故选项C中不等式不成立;对于D:若a=1,b=-1,则2|a|=2|b|,故选项D中不等式不成立.2.(2021·重庆七中期中)已知x>0,y>0,2x+3y=1,则4x+8y的最小值是(

)答案C

3.(2021·北京房山二模)某公司购买一批机器投入生产,若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位:万元)与机器运转时间t(单位:年,t∈N*)的关系为s=-t2+23t-64,要使年平均利润最大,则每台机器的运转时间t为(

)年.A.5 B.6 C.7 D.8答案

D

解析

因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位:万元)与机器运转时间t(单位:年,t∈N*)的关系为s=-t2+23t-64,所以年平均利润4.(多选题)(2021·江苏盐城模拟)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题为真命题的是(

)A.若a>b,c>d,则ac>bd答案C

5.(2021·全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(

)答案C

D项,因为当x∈(0,1)时,ln

x<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意.6.(2021·北京丰台二模)能够说明“若a,b,m均为正数,则”是假命题的一组整数a,b的值依次为

.

答案

1,1(答案不唯一)

7.(2021·山东青岛五十八中月考)已知a>1,b>0,且a+2b=4,则ab的最大值为

;的最小值为

.

答案

2

3

当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立.由a+2b=4,可得a-1+2b=3.热点小题2

二次函数的图象与性质8.(2021·北京人大附中月考)若函数f(x)=x2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-9],则实数m的取值范围是(

)A.[3,6] B.[3,7]C.[6,7] D.以上都不对答案D

解析

由题意,得f(x)=x2-6x-16=(x-3)2-25,即函数f(x)的图象关于直线x=3对称,且f(x)min=f(3)=-25.∵f(x)的定义域为[0,m],值域为[-25,-9],f(0)=-16,∴m>3.令f(x)=-9,即x2-6x-16=-9,解得x=-1(舍去)或x=7.故m=7.9.(2021·江苏南通期中)已知函数f(x)=mx2-(3-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是(

)A.(1,9) B.(3,+∞)C.(-∞,9) D.(0,9)答案D

解析

当m<0时,二次函数f(x)=mx2-(3-m)x+1的图象开口向下,g(x)=mx单调递减,故存在x,使得f(x)与g(x)同时为负,不符合题意;当m=0时,f(x)=-3x+1,g(x)=0显然不符合题意;当m>0时,方程f(x)=mx2-(3-m)x+1=0的根的判别式Δ=m2-10m+9.若Δ<0,则1<m<9,f(x)>0恒成立,符合题意.若Δ=0,则m=1或m=9.当m=1时f(x)=(x-1)2,g(x)=x,符合题意;若Δ>0,则0<m<1或m>9.f(0)=1,如图,若要f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则必须有

>0,故0<m<1.综上可得,实数m的取值范围为(0,9).10.(2021·浙江杭州二中月考)若函数f(x)=-x2+4ax在区间[1,3]内不单调,则实数a的取值范围是

.

解析

由题意,得f(x)=-x2+4ax图象的对称轴为直线x=2a.11.(2021·海南琼山中学月考)已知二次函数f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数x恒有f(3+x)=f(3-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则实数x的取值范围是

.

答案

(-2,0)

解析

因为f(3+x)=f(3-x),所以直线x=3是函数f(x)图象的对称轴,又二次函数f(x)的二次项系数为正,所以f(x)在区间(-∞,3]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增.又1-2x2≤1,1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2,所以由f(1-2x2)<f(1+2x-x2),得1-2x2>1+2x-x2,解得-2<x<0.故实数x的取值范围为(-2,0).12.(2021·山东龙口模拟)已知当x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则实数m的取值范围是

.

解析

令3x=t,当x∈(0,+∞)时,t∈(1,+∞).则由题意,得f(t)=t2-mt+m+1>0在区间(1,+∞)上恒成立,即函数f(t)在区间(1,+∞)上的图象在x轴的上方,而判别式Δ=(-m)2-4(m+1)=m2-4m-4,热点小题3

二次函数与一元二次方程、不等式的综合13.(2021·江苏海门中学月考)若∃x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,则实数a的取值范围为(

)A.a<-3 B.a<0C.a<1 D.a>-3答案C

解析

因为∃x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,所以∃x∈[-1,2],使得不等式a<-x2+2x成立.令f(x)=-x2+2x,x∈[-1,2].因为函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,且f(x)的图象开口向下,所以f(x)max=f(1)=1,所以a<1.14.已知函数f(x)=ax2+bx+c(ac≠0).若f(x)<0的解集为(-1,m),则下列说法正确的是(

)A.f(m-1)<0B.f(m-1)>0C.f(m-1)必与m同号D.f(m-1)必与m异号答案D

解析

∵f(x)<0的解集为(-1,m),∴-1,m是一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个实数根,且a>0,∴f(x)=a(x+1)(x-m),∴f(m-1)=-am与m必异号.15.(2021·浙江宁波检测)已知当a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围为(

)A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)答案C

解析

不等式x2+(a-4)x+4-2a>0(a∈[-1,1])恒成立,即关于a的函数f(a)=(x-2)a+x2-4x+4>0(a∈[-1,1])恒成立,16.(2021·福建莆田模拟)设函数f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上的增函数,如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是

.

答案

(-∞,1)

解析

因为f(x)是定义在R上的增函数,且f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]恒成立,所以1-ax-x2<2-a对任意x∈[0,1]恒成立,等价于x2+ax+1-a>0对任意x∈[0,1]恒成立.令g(x)=x2+ax+1-a,x∈[0,1],所以原问题等价于g(x)min>0.因为g(x)的图象的当a<-2时,由g(x)min>0,得2>0成立,则a<-2.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,1).小题点3复数、平面向量必备知识•精要梳理1.复数(1)复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.即分子、分母同乘分母的共轭复数

(2)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及平面向量

一一对应,|z-(a+bi)|=r(r,a,b∈R)表示复平面内以点(a,b)为圆心,r为半径的圆.(3)复数的几个常见结论

名师点析1.复数问题实数化是解决复数问题的关键.2.利用复数相等a+bi=c+di列方程时,a,b,c,d∈R是前提.2.平面向量(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为非零向量,且a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0;a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(3)平面内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线⇔⇔(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.名师点析在平面向量的化简与运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,注意向量的方向不能盲目转化.3.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则考向训练•限时通关热点小题1

复数及其运算

答案

A

1.(2021·北京海淀二模)设a∈R,若(2+i)(a-i)=-1-3i,则a=(

)A.-1 B.-2C.1 D.2解析

因为(2+i)(a-i)=(2a+1)+(a-2)i=-1-3i,所以

解得a=-1.2.(2021·全国甲,理3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=(

)答案B

答案

A

解析

设z=a+bi(a,b∈R).所以-2b=2,得b=-1,所以复数z的虚部是-1.4.(2021·北京海淀一模)如图,在复平面内,复数z对应的点为P,则复数

的虚部为(

)A.1 B.-1C.2 D.-2答案A

解析

因为复数z对应的点P的坐标为(-1,2),所以复数z=-1+2i,答案C

答案

AC

7.(多选题)(2021·山东德州二模)已知复数z1=

(i为虚数单位),则下列说法正确的是(

)A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1D.满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上

答案

AB

8.(多选题)(2021·福建龙岩三模)下列说法正确的是(

)答案AB

对于D:根据复数的几何意义,可知|z+3|-|z-3|=4表示在复平面内,复数z对应的点到F1(-3,0)与F2(3,0)的距离之差为常数4,所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线的右支,故选项D错误.9.(多选题)(2021·河北石家庄一模)设z为复数,则下列说法正确的是(

)A.|z|2=zB.z2=|z|2C.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2D.若|z-1|=1,则0≤|z|≤2答案ACD

对于B:设z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,当a,b均不为0时,z2=|z|2不成立;对于C:由|z|=1可知,在复平面内,复数z对应的点Z的轨迹为以O(0,0)为圆心,1为半径的圆,|z+i|可以看成点Z到点Q(0,-1)的距离,当点Z位于点(0,1)处时,|z+i|取得最大值2;对于D:由|z-1|=1可知,在复平面内,复数z对应的点N的轨迹为以M(1,0)为圆心,1为半径的圆,则|z|表示点N到原点的距离,故当点O,N(O为坐标原点)重合时,|z|=0最小,当O,M,N三点共线且点O,N位于点M两侧时,|z|=2最大,故0≤|z|≤2.10.(2021·福建莆田三模)写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=

.

答案

1+2i(答案不唯一)

解析

设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b即可得,答案不唯一,如z=1+2i.11.(2021·重庆七中期中)已知i表示虚数单位,则1+i+i2+…+i2020=

.

答案

1

解析

因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,……所以i4n-3=i,i4n-2=-1,i4n-1=-i,i4n=1且i4n-3+i4n-2+i4n-1+i4n=0(n∈N*),所以热点小题2

平面向量的概念及线性运算

12.(2021·陕西宝鸡三模)如图,向量a-b=(

)A.e1-3e2 B.e1+3e2C.-3e1+e2 D.-e1+3e2答案D

13.(2021·四川成都三模)已知a,b是两个不共线的非零向量,若(2a+3b)∥(3a+λb),则实数λ=(

)答案A

14.(多选题)(2021·山东莱西一中月考)给出下列四个命题,其中为真命题的有(

)A.若|a|=|b|,则a=bB.若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a=b,b=c,则a=cD.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b答案BC

解析

对于A,两个向量的模相等,不能推出两个向量的方向关系,故选项A中命题为假命题;对于B,因为A,B,C,D是不共线的四点,且

等价于AB∥DC且AB=DC,即等价于四边形ABCD为平行四边形,故选项B中命题为真命题;对于C,若a=b,b=c,则a=c,故选项C中命题为真命题;对于D,由a=b可以推出|a|=|b|且a∥b,但是由|a|=|b|且a∥b不能推出a=b,故选项D中命题为假命题.15.(2021·安徽芜湖二模)如图,不共线的三个向量a,b,c以圆心O为起点,终点落在同一圆周上,且两两夹角相等,若c=xa+yb,则x+y=(

)答案A

解析

如图,因为不共线的三个向量a,b,c以圆心O为起点,终点落在同一圆周上,且两两夹角相等,所以三个向量的终点A,B,C组成一个等边三角形,即O是这个等边三角形的中心也是重心.故有a+b+c=0⇒a+b+xa+yb=0⇒(x+1)a+(y+1)b=0⇒x=-1,y=-1⇒x+y=-2.热点小题3

平面向量基本定理及坐标表示

16.(多选题)(2021·山东德州期末)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则(

)A.(a+b)⊥aB.|a+2b|=5C.a·b=5答案

ABD

解析

对于A:∵a+b=(-1,2),∴(a+b)·a=(-1)×2+2×1=0,∴(a+b)⊥a.故选项A正确;对于B:∵a+2b=(2,1)+2(-3,1)=(-4,3),答案

A

解析

如图.18.(2021·新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(

)答案AC

19.(2021·全国乙,文13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=

.

20.(2021·全国乙,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=

.

解析

由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=21.(2021·北京朝阳一模)已知向量a=(,1),b=(x,y)(xy≠0),且|b|=1,a·b<0,则向量b的坐标可以是

.(写出一个即可)

热点小题4

平面向量的数量积

答案B

解析

∵b⊥(4a-b),∴b·(4a-b)=0,即4a·b-b2=4a·b-|b|2=0,又|b|=4,∴a·b=4,答案C

答案C

25.(2021·全国甲,文13)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=

.

解析

由|a-b|2=a2-2a·b+b2,得25=9-2×1+|b|2,解得|b|=326.(2021·山东淄博二模)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则向量a-b和b的夹角为

.

答案

-1

0

小题点4排列、组合、二项式定理必备知识•精要梳理1.两个计数原理与排列组合(1)两个计数原理“分类”与“分步”的区别:关键是看事件完成情况,如果每种方法都能将事件完成则是分类;如果必须连续若干步才能将事件完成则是分步.分类要用分类加法计数原理将种数相加;分步要用分步乘法计数原理将种数相乘.混合问题一般是先分类再分步

(2)排列、组合问题的求解方法与技巧①特殊元素优先安排;②合理分类与准确分步;③排列、组合混合问题先选后排;④相邻问题捆绑处理;⑤不相邻问题插空处理;⑥定序问题缩倍法处理;⑦分排问题直排处理;⑧“小集团”排列问题先整体后局部;⑨构造模型;⑩正难则反,等价条件.名师点析对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列数与组合数

乘积形式多用于数字计算,阶乘形式多用于证明恒等式

规定0!=1.3.二项式定理

注意通项是展开式的第k+1项,不是第k项

名师点析应用二项式定理时要注意(1)区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出k,再求所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1.(4)在化简求值时,注意二项式定理的逆用,要用整体思想看待a,b.考向训练•限时通关热点小题1

两个计数原理1.(2021·辽宁大连期末)为控制污染,保护环境,节约资源,某市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶,分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其他垃圾桶.因为场地限制,要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落,每个角落至少摆放一个,则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落,它们的前后左右位置关系不作考虑)(

)A.18种 B.24种C.36种 D.72种答案C

解析

根据题意,将四个垃圾桶放到三个固定角落,其中有一个角落放两个垃圾桶,先选出两个垃圾桶,有

=6种选法,之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的角落有

种放法;所以不同的摆放方法共有

=6×6=36种.2.(2021·全国乙,理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(

)A.60种

B.120种C.240种 D.480种答案C

2.(2021·全国乙,理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(

)A.60种

B.120种C.240种 D.480种答案A

解析

先填第一行,有3×2×1=6种不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12种不同的填法.4.(2021·山东泰安一模)2020年11月,中国国际进口博览会在上海举行,本次进博会设置了“云采访”区域,通过视频连线,帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人.某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访,其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访,另2名记者和2名摄影师分两组(每组记者和摄影师各1人),分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访.如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作,则所有不同的安排方案有(

)A.36种 B.48种C.72种 D.144种答案

C解析

根据题意,分3步进行分析:①在4名记者中任选2人,在3名摄影师中选出1人,安排到“云采访”区域采访,有

=18种情况;②在剩下的2名记者中选出1人,2名摄影师中选出1人,安排到“汽车展区”采访,有

=4种情况;③将最后的1名记者和1名摄影师,安排到“技术装备展区”采访,有1种情况.则共有18×4×1=72种不同的安排方案.5.(2021·山东临沂二模)现有标号分别为①,②,③,④,⑤的5件不同新产品,要放到三个不同的机构进行测试,每件产品只能放到一个机构里.机构A,B各负责一个产品,机构C负责余下的三个产品,其中产品①不在机构A测试的情况有

种.(结果用具体数字表示)

答案

16解析

(1)若产品1在机构B测试,则情况数为

=4;(2)若产品1在机构C测试,则情况数为

=12,由分类加法计数原理,知总共有4+12=16种情况.6.(2021·江西南昌模拟)某市要将VR大会展厅前的广场进行改造,在人行道(斑马线)两侧划分5块区域(如图),现有四种不同颜色的花卉,要求每块区域随机种植一种颜色的花卉,且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同,则不同的种植方式共有

种.

答案

288解析

根据题意,对于区域①②,可以在4种颜色中任选2种,有

=12种选法;对于区域③④⑤,可以在4种颜色中任选3种,有

=24种选法,则不同的种植方式有12×24=288种.热点小题2

排列组合7.(2021·北京丰台二模)某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼,现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演,则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是(

)A.15 B.45C.60 D.75答案C

解析

从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有

=90种选法,语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中有

=30种选法,所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90-30=60.8.(2021·河北邯郸一模)中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习,每种乐器安排一节,连排六节,并要求“土”与“匏”相邻排课,但均不与“竹”相邻排课,且“丝”不能排在第一节,则不同的排课方式的种数为(

)A.960 B.1024C.1296 D.2021答案C

解析

由题意,排课可分为以下两大类:9.(多选题)(2021·山东日照模拟)A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有(

)A.若A,B两人站在一起,则有24种站法B.若A,B不相邻,则共有72种站法C.若A在B左边,则有60种站法D.若A不站在最左边,B不站在最右边,则有78种站法答案BCD

10.(2021·北京牛栏山一中月考)五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成

种不同的音序.

答案

32

解析

①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有2=24种音序;②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的音序;③若“角”在第二个或第四个位置上,则有2=8种音序;综上,共有24+8=32种音序.11.(2021·辽宁沈阳期末)一对夫妇带着他们的两个小孩去看电影,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见,影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐,则不同的坐法种数是

.

答案

16

解析

将两名家长、孩子全排列有

=24种坐法,其中两个小孩相邻且在两端的有2=8种坐法,故每个小孩子要有家长相邻陪坐的坐法有24-8=16种.12.(2021·陕西咸阳三模)某单位利用周日安排6名志愿者在某条东西走向的路上相邻的6个十字路口进行“创文”宣传活动,每个路口安排1名志愿者,则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,丙不在两端的安排方式共有

种.

答案

144

13.(2021·广东湛江模拟)疫情期间,为了积极稳妥复学工作,市教育局抽调5名工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去1人,若甲、乙两人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为

.

答案

114

热点小题3

二项式定理

答案

B

14.(2021·北京海淀一模)在

的展开式中,x4的系数为12,则a的值为(

)A.2 B.-2C.1 D.-115.(2021·山东泰安二模)(

x-y)8的展开式中x2y6的系数是(

)A.28 B.-28 C.56 D.-56答案C

16.(2021·河北唐山三模)已知(1+ax)10(其中a≠0)的展开式的常数项与其各项系数之和相等,则其展开式中x2的系数为(

)A.-45 B.45C.-180 D.180答案D

17.(2021·河北沧州二模)(x2+3x-1)5展开式中x的系数为(

)A.-3 B.3C.-15 D.15答案D

解析

∵(x2+3x-1)5=[(3x-1)+x2]5=(3x-1)5+

(3x-1)4·x2+…+(x2)5,∴含x的项只存在于(3x-1)5中,∴x的系数为

(-1)4×3=15.18.(多选题)(2021·广东广雅中学月考)已知

(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是(

)A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15项的系数为45答案BCD

19.(多选题)(2021·河北石家庄一模)已知(1-2x)2021=a0+a1·x+a2·x2+…+a2021·x2021(x∈R),则(

)A.a0=1B.a1+a2+a3+…+a2021=32021D.a1-a2+a3-a4+…+a2021=1-32021答案AD

解析

令x=0,则12

021=a0,即a0=1,故A正确;令x=1,则(1-2)2

021=a0+a1+a2+…+a2

021,即a0+a1+a2+a3+…+a2

021=-1,所以a1+a2+a3+…+a2

021=-2,故B错误;20.(2021·山东临沂二模)的展开式中常数项为

.(用数字表示)

21.(2021·山东聊城二模)已知

的展开式中各项系数的和为3,则展开式中的常数项为

.

答案

-320

22.(2021·浙江,13)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=

,a2+a3+a4=

.

答案

5

10解析

因为a1为展开式中x3的系数,令x=1,则有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=16-5-1=10.小题点5数学文化考向训练•限时通关1.(2021·山东菏泽期末)明朝早期,郑和在七下西洋的过程中,将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海,形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位,其采用的主要工具为牵星板,由12块正方形木板组成,最小的一块边长约为2厘米(称一指).观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂垂直,眼睛到木板的距离大约为72厘米,使牵星板与海平面垂直,让板的下边缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰,与其相切,依高低不同替换、调整木板,木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为九指板,则sin2α=(

)答案

C

2.(2021·山东临沂二模)在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示,直接测量到的天体亮度被称为视星等m,而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等M,它能反映天体的发光本领.如果我们观测到了恒星的光谱,可以知道一些恒星的绝对星等,就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离.下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数