机器人操作的数学导论-刚体运动(1-3)课件

刚体运动一、刚体变换二、三维空间中的旋转运动三、三维空间中的刚体运动一、刚体变换

刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的连续运动。刚体从一位置到另一位置的刚体运动称为刚体位移（平动与转动）。刚体变换：满足下列条件的变换g:R3->R3为刚体变换：1)长度不变：2）叉积不变：对任意点二、三维空间中的旋转运动群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于一个该形式矩阵可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为群运算的群。旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵：Rac=RabRbc上式称为旋转的合成法则二、三维空间中的旋转运动两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b后面常用符号â来代替(a)^引理2.1对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质 R(v×w)=(Rv)×(Rw)(两矢量叉积的旋转=旋转的叉积） R(w)^RT=(Rw)^定理2.2旋转运动是刚体变换旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换二、三维空间中的旋转运动2.2旋转的指数坐标研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位矢量，θ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为：通过数学方法可以得到：当||w||≠1时，上式可修正为：二、三维空间中的旋转运动2.2旋转的指数坐标定理2.3指数变换是SO（3）上的满射变换对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ∈R，使R=exp((w)^θ)定理2.4任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ∈[0,2π]

该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。二、三维空间中的旋转运动2.3四元数四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3

三、三维空间中的刚体运动如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab)记为式1

三、三维空间中的刚体运动3.1齐次坐标法那么齐次坐标表示为刚体变换的组合将构成新的变换：定理2.5SE（3）中的元素表示刚体运动三、三维空间中的刚体运动3.2刚体运动的指数坐标和运动旋量首先定义一个群se(3)：定理2.6从se(3)到SE（3）的指数变换三、三维空间中的刚体运动3.2刚体运动的指数坐标和运动旋量描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为：对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动，每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。三、三维空间中的刚体运动3.2刚体运动的指数坐标和运动旋量3.3旋量：运动旋量的几何表示定理2.7建立在SE（3）的指数变换是满射变换se(3)中的元素称为运动旋量三、三维空间中的刚体运动3.3旋量：运动旋量的几何表示分析右图点p的运动，p点最终位置坐标为：齐次坐标表示为三、三维空间中的刚体运动3.3旋量：运动旋量的几何表示上式对任意的p∈R3均成立，故用旋量表示的刚体运动为：定理：旋量运动与旋量是一一对应的对于给定的旋量，其轴为l、节距为h、大小为M，则存在单位旋量ξ，使得与该旋量有关的刚体运动由运动旋量