人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.4向量的数量积-分层作业【含答案】

人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.4向量的数量积-分层作业题型研究题型1：向量数量积的运算律【练习1】已知，均为单位向量，，则（

）A． B． C． D．题型2：用数量积求向量的模和向量的夹角【练习2】已知向量，满足，，，，则（

）A． B． C． D．题型3：与垂直有关的问题【练习3】设与是两个向量，则是或的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件基础达标1.已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．2.已知向量，则为（

）A． B． C． D．3.已知向量，，，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．4.已知，，且，则为（

）．A． B． C． D．5.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．6.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7.设非零向量满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．8.已知非零向量满足，.若，则实数t的值为（

）A． B． C． D．3能力提升1.已知向量，满足，，在方向上的投影为，则（

）A．6 B．9 C． D．2.如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则（

）A． B． C．1 D．13.已知为的外接圆圆心，且，则（

）A． B． C． D．24.已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．5.已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．6.在中，，则在上的投影向量的模为（

）A．1 B．2 C． D．7.设，是两个向量，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（

）A． B． C． D．直击高考1.（23-24高三下·上海·开学考试）已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2024高一下·全国·专题练习）已知，且向量与的夹角为，求.3.（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量的夹角为，若，则.4.（2024·全国·模拟预测）已知向量是单位向量，，且满足，则．参考答案与解析一、题型研究题型1：向量数量积的运算律【练习1】已知，均为单位向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】数量积的运算律【解析】利用向量的积的运算求解即可【详解】，均为单位向量，故，，由，得，则有，化简得，所以，故选：B题型2：用数量积求向量的模和向量的夹角【练习2】已知向量，满足，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算【分析】先根据已知条件求出向量与的点积，再利用向量点积公式求出.【详解】，两边平方可得，即.因为，所以；，所以.那么.又因为，所以，解得.根据公式，可得，解得.故选：A.题型3：与垂直有关的问题【练习3】设与是两个向量，则是或的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、数量积的运算律、垂直关系的向量表示【分析】运用充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积运算计算判定即可.【详解】由得，则，若或，可得，即，可知必要性成立；若则，即，无法得出或，综上所述，是或的必要不充分条件.故选：B.二、基础达标1.已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求投影向量、向量夹角的计算【分析】根据投影向量定义以及已知条件直接计算即可求解.【详解】由题意以及投影向量定义得向量在上的投影向量是：.故选：B.2.已知向量，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量夹角的计算【分析】首先求出的坐标，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：因为.所以所以故选：.3.已知向量，，，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可【详解】因为向量，，，所以，即，即，因此，又因为，所以.故选：B【点睛】本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量数量积的运算性质应用，考查了数学运算能力.4.已知，，且，则为（

）．A． B． C． D．【答案】B【知识点】数量积的运算律【分析】根据性质将所求转化为数量积直接计算可得.【详解】由题意，．故选：B．5.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律【分析】由已知可知，先求出，然后利用夹角公式求解即可.【详解】因为，是两个单位向量，且在上的投影向量为，所以，所以，，，所以，即的夹角的余弦值为，故选：C6.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】向量夹角的计算、平面向量数量积的定义及辨析【分析】由条件转化为，且两向量不平行，即可求得实数的取值范围.【详解】与的夹角为锐角，且，解得：且.故选：D7.设非零向量满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求投影向量、已知模求数量积【分析】利用性质结合已知求出，然后可得投影向量.【详解】因为，所以，解得，所以在上的投影向量为.故选：D8.已知非零向量满足，.若，则实数t的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【知识点】垂直关系的向量表示【解析】由可得，即得，即可解出.【详解】由，得，，，，解得.故选：C.三、能力提升1.已知向量，满足，，在方向上的投影为，则（

）A．6 B．9 C． D．【答案】A【知识点】已知数量积求模、平面向量数量积的几何意义【分析】由条件可知，利用数量积公式，即可求解.【详解】由，得，所以，因为在方向上的投影为，所以，，所以，，故选：A2.如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则（

）A． B． C．1 D．1【答案】A【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义【分析】根据投影向量的定义求解即可【详解】设正六边形的边长为，因为正六边形的一个内角为，所以向量在向量上的投影为，因为向量在向量上的投影向量是，所以，故选：A3.已知为的外接圆圆心，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用【分析】由已知条件可得是为直角的等腰三角形，然后数量积的定义求解即可【详解】由可知为中点，则为直径，所以；在等腰中，由，得，所以，所以是为直角的等腰三角形，所以故选：A.4.已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求投影向量、向量夹角的计算【分析】根据投影向量的定义，结合向量夹角的运算，求解即可.【详解】依题意，在方向上的投影向量为：，又因为，，代入上式，所以在方向上的投影向量为：.故选：A.5.已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算【分析】根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可．【详解】由，得，由，得，整理得，所以，则，设向量的夹角为，则．故选：．6.在中，，则在上的投影向量的模为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【知识点】求投影向量【分析】在中，求得长从而可得的值，再根据投影向量的模的概念求解即可.【详解】在中，，所以所以于是有在上的投影向量的模为.故选：D.7.设，是两个向量，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】已知模求数量积【分析】根据向量的运算法则，对进行等价转化，即可判断充分性和必要性.【详解】设，是两个向量，若，两边平方可得：则其等价于也等价于.故“”是“”的充分必要条件.故选：C．8.已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】利用向量垂直求参数、垂直关系的向量表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积【分析】求得，根据可得，展开化简，可得答案.【详解】由题意可得，由，可得，即，即，即，故选：A四、直击高考1.（23-24高三下·上海·开学考试）已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】数量积的运算律、判断命题的充分不必要条件【分析】先根据平面向量数量积运算公式得到，从而推出充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.【详解】，因为，是两个不共线的单位向量，设，的夹角为，所以，即，当且时，，由于，故成立，充分性成立，不妨设，，，此时，满足，必要性不成立，故“且”是“”的充分不必要条件.故选：A2.（2024高一下·全国·专题练习）已知，且向量与的夹角为，求.【答案】【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积【分析】直接由数量积的运算律以及数量积公式运算即可.【详解】.3.（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量的夹角为，若，则.【答案