2021年高中数学人教B版选择性必修第三册分课时全册教学案

【新教材】2021年高中数学人教B版选择性必修第三册分

课时全册教学案

5.1数列基础

5.1.1数列的概念

最新课程标准

1.理解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项

公式）.

2.掌握数列的通项公式及应用.（难点）

3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

里川勿勿勿川出勿勿勿勿川川IW川川川I川I卅勿勿勿川国囱囱因・|白闺学I习I川川川川川川出川川川川川川川川川川川川川川“川川徐

［教材要点I

知识点一数列的概念及一般形式

L定义：按照一定次序排列起来的一列数

项：数列中的称为这个数列

的项；排在的数称为这个数

列的第1项（通常也叫做首项）

即，。2，〃3，…，斯，…，简记为

数列的项与项数一样吗?

［提示］不一样.

知识点二数列的分类

类别含义

按项有穷数列项数—的数列

的

无穷数列项数_______的数列

个数

从第2项起，每一项都_______它

递增数列

的前一项的数列

按项

从第2项起，每一项都_______它

的递减数列

的前一项的数列

变化

常数列各项都__的数列

趋

从第2项起，有些项________它的

势

摆动数列前一项，有些项小于它的前一项的

数列

知识点三数列的通项公式

如果数列｛。〃｝的第n项时与之间的关系可以用一

个函数式来表示，那么这个叫做这个数列的

通项公式.

状元随笔|数列一定有通项公式吗？

［提示］不一定.

知识点四数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如

下表：

定义域正整数集N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)

解析式数列的通项公式

值域自变量时对应的一列函数值

(1)通项公式(解析法)；⑵_______法；

表示方法

⑶—一法

|状元随笔数列所对应的图像是连续的吗?

［提示］不连续.

［基础自测］

21

1.已知数列｛恁｝的通项公式为恁=区/，那么充是它的

()

A.第4项B.第5项

C.第6项D.第7项

2.下列四个数中，哪个是数列5（〃+1）｝中的一项（）

A.380B.392

C.321D.232

3.已知数列｛斯｝的通项公式为恁」十（”，则该数列

的前4项依次为（）

A.1,0,1,0B.0,1,0」

C，2，0,y0D.2,0,2,0

4.下列说法正确的是（填序号）.

①｛0,123,4,5｝是有穷数列；

②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；

③数列1,2,3,4,…，2〃是无穷数列.

小川川川川切川川川川川川川川川川川川川川川川川川MllllhE］图遇图•国园崛］川川川川川川*川川川川川川川川川川川川川川川川川川lh

题型一数列的概念及分类

例1已知下列数列：

①2011,2012,2013,2014,2015,2016；

②1，,；，1

‘尸’…；

23(―l)f

③1,—y

2n-l

@1,0,—1,…，sin-y,…；

⑤2,4,8,16,32,…；

@-1,-1,-1,-1.

其中，有穷数列是,无穷数列是，递增

数列是，递减数列是，常数列是,

摆动数列是.（填序号）

状元随笔|紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数

列，常数列及摆动数列的定义求解.

方法归的

1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以

下特点：

(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集

合中的元素也具有确定性；

(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能

重复出现(即互异性)；

(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且

与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性);

(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除

数字外的其他事物.

2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特

点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分

析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限.

跟踪训练1给出下列数列：

①2011〜2018年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数

列82,93,105,119,129,130,132,135.

②无穷多个小构成数列小，小，小，小,….

③一2的1次累，2次累，3次累，4次累，…构成数列一

2,4,-8,16,-32,….

其中，有穷数列是,无穷数列是，递增

数列是，常数列是，摆动数列是.

题型二由数列的前几项求通项公式

例2写出下列数列的一个通项公式：

1925

(1)2»2,2，8,-y,…；

(2)9,99,999,9999,…：

22—13?—24?一352-4

⑶1，3'5，7，…；

⑷—1...

B1X2'2X3'3X4'4X5',

状元随笔I先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分

子与分母的关系，项与序号的美系，每一项符号的变化规律，

然后归纳出通项公式.

方弦归相

1.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分

析，抓住以下几方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相邻项的变化特征；

(3)拆项后的特征；

(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.

2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观

察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数

列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负

符号变化,可用(一1)〃或(一I)"】来调整.

跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：

(1)0,3,8,15,24,•；

(2)1,—3,5,—7,9,…；

(3)1爹,2y3彳,与…；

(4)1,11,111,1111,….

题型三数列的单调性及应用

状元随笔

1.数列1多3本7；1.53■1，…的通项公式是什么?该数列

的第7项是什么？忌255是否为该数列中的一项？为什么？

［提示］由数列各项的特点可归纳出其通项公式为%=

号1,当n=7时，27=票=黑，若急为该数列中的一项,

ZZIZoZ3O

则^解得n=8,所以瑞是该数列中的第8项.

2.已知数列｛a。｝的通项公式为a0=—M+Zii+l,该数列的

图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数

项.

［提示］由数列与函数的关系可知，数列｛an｝的图像是分布

在二次函数y=-x2+2x+l图像上的离散的点，如图所示，从

图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，

从第3项往后各项为负数项.

例3已知函数加)=x—J.数列｛。〃｝满足儿/〃)=一2〃，且

(1)求数列｛恁｝的通项公式；

(2)判断数列｛0〃｝的增减性.

状元随笔I先根据已知条件解方程求即，再利用作差法或

作商法判断数列｛an｝的增减性.

方法总的

1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对〃进行取值，

然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量

的值求函数值.

2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公

式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这

个数是否为数列中的项.

3.判断数列单调性的两种方法

(1)作差(或商)法;

(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利月基本初等函数

的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，

由于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函

数的单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致

求错实数左的取值范围.

在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域

是N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)这一约束条件.

跟踪训练3已知数列的通项公式为Q〃=〃2+2〃-5.

(1)写出数列的前三项；

⑵判断数列｛为｝的单调性.

题型四数列的最大(小)项的求法

例4已知数列｛叫的通项公式恁=(〃+1)册(〃£N+),试

问数列｛斯｝有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；

若没有，说明理由.

方法忸佃

求数列的最大(小)项的两种方法

一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况,

再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数

列的单调性，以此求解最大项.

Clk1

二是设四是最大项，则有、对任意的MN+且

.。々与恁+1

左与2都成立，解不等式组即可.

跟踪训练4已知数列｛为｝的通项公式为魅=〃2—5〃+4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)〃为何值时，为有最小值？并求出最小值.

敖材攻联

1.本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公

式的求法.难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式.

2.要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法

以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一

项的方法.

易错占要注聿以下两个易错占：

1.卓霏所有的数列都能写出痔I勺通项公式，例如，兀的不

同近似值，依据精确的程度可形成一个数列

3,3.1,3.14,3.141,它没有通项公式.

2.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种

形式.

温馨提示：请完成课时分层作业（一）

第五章数列

5.1数列基础

5.1.1数列的概念

新知初探,自主学习

知识点一

每一个数第一位{an}

知识点二

有限无限大于小于相等大于

知识点三

n斯=/5）公式

知识点四

从小邕大依次取正整数值列表图像

［基础自测］

11?

1.解析：设会是数列中的第〃项，则古=品，解得〃=

4或〃=—5.V—5阵N+,・•.〃=-5应舍去，故火=4.

答案：A

2.解析：因为19X20=380,

所以380是数列55+1)｝中的第19项.应选A.

答案：A

3.解析：当〃分别等于1,2,3,4时，心=1,。2=0,的=3

。4=0.

答案：A

4.解析：因为｛0,1,2,3,4,5｝是集合，而不是数列，所以①

错误；②正确;数列1,2,3,4,…，2〃共有2〃项，是有穷数列,

所以③错误.

答案：②

课堂探究素养提升

例1解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递

减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，

也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥

为有穷数列，也是常数列.

答案：①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

跟踪训练1解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同

时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列.

答案：①②③①②③

例2解析：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可

49_1625

将各项都统一成分数再观察：…，所以，它

T29T9工,

YI

的一个通项公式为a〃=5(〃WN+).

(2)各项加1后，变为10,100,1000,10000,…此数列的通项

公式为10\可得原数列的通项公式为％=10”-l(〃£N+).

(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列,

可用2/1-1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,

可用(〃+1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n

表示，综上，原数列的通项公式为a"：')I](〃£N+).

(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积

的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式

是斯=(-D"；^PIj(〃eN+).

跟踪训练2解析：(1)观察数列中的数，可以看到0=1—

1,3=4—1,8=9—1,15=16—1,24=25—1,…，所以它的一个通

2

项公式是aH=n—l(z?EN+).

(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…，是连续的正奇数，

并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式

为例=(-1)用(2九一l)(〃£N+).

(3)此数列的整数部分为1,2,3,4,…恰好是序号叫分数部

分与序号〃的关系为毫，故所求的数列的一个通项公式为“

n—+2n

+市=_^7—+).

(4)原数列的各项可变为^X9,1x99,1x999,1x9

999,…,易知数列9,99,999,9999,…的一个通项公式为%=

10〃一1.所以原数列的一个通项公式为〃“=*0〃一l)(〃£N+).

例3解析：⑴・7x)=x—：,八知)=-2〃，

an————2n,即­1=0,

2

解得an=—n±\]n-1,

*/an>0,;・%=N才+1—n.

(2)法一(作差力___________

<•*a〃+i_q〃=d(〃+1)2+]_(〃+l)—(yln2+l—n)

=d(〃+1)2+1-1—+1—1

[^/(/;+1)2+1-^H2+1][^/(H+1)2+1+y]n2+l]_

.(〃+1，+1+.—+11

_______(〃+1)+〃_____

.(〃+1+》〃2+1晨

又[(〃+1y+1+1,q/+1>”,

._____(〃+1)+〃_____

.(〃+；)2+1+y/几2+11•

/.an+\—an<0,即。〃+1<恁.，数列｛4〃｝是递减数列.

法二（作商法）

.为+1Ns+iy+i—(〃+1)

______1+〃__________

N(n+1)?+1+(〃+1)1

・•・%+15・•・数列｛劣｝是递减数列.

跟踪训练3解析：(1)数列的前三项:ai=『+2Xl—5=

-2；

6?2=22+2X2—5=3；

的=32+2X3—5=10.

2

(2)Van=n+2n~59

an11-afl=(〃+1)2+2(〃+1)-5—(/+2,-5)

—w2+2n+1+2〃+2—5—〃2一2〃+5

=2〃+3.

V^EN+,/.2n+3>0,/.an+[>an.

工数列｛。〃｝是递增数列.

(10)(101

例4解析：法一q?=(〃+2,五〃+1一(〃+l)H

(10\,9—〃

=lTTj,~iF9

当n<9时,即+1—%>0,即an+\>an；

=

当〃=9时，斯+1—斯=0,即an+\an；

当n>9时，an+i—ari<09即afl+\<an9

所以数列中有最大项，最大项为第9、10项,

1O10

即々9=410=斤产，

法二：设以是数列｛。〃｝的最大项.

口/叫，J”D瞪卜瑞，

则>即1外力

"i""［（左+1）慌），（女+2）瑞卜

10Z+10211鼠

整理得

114+11210左+20,

得9WA<10,

所以左=9或10,

10

即数列｛。〃｝中的最大项为的=So=净1O.

跟踪训练4解析：⑴由〃2—5〃+4<0,

解得l<n<4.

・.・〃£N+,・,•几=2,3.；,数列中有两项是负数.

、

(2)法一：•・•〃〃=??—5"+4=[("—目52—不9可知对称轴方程

为w=|=2.5.

又,.,〃£N+,故〃=2或3时，％?有最小值，且a2=a3,其

最小值为22-5X2+4=-2.

法二：设第〃项最小，由1

n—5〃+4W(〃+1)2—5(〃+1)+4,

[n-5〃+4W(〃-1)-5(〃-1)+4.

解这个不等式组，得2W3,

•**Z2=2,3,，。2=。3且最小,

1.42=43=2?—5X2+4=-2.

5.1.2数列中的递推

最新课程标准

1.理解递推公式的含义.(重点)

2.掌握递推公式的应用.(难点)

3.理解数列中的的与S”的关系.

小川川川川川/川川川川川川勿勿川出勿勿川川川川“必川”,因囱圆因・|〃住|学|习|伽伽伽岫伽伽伽川伽伽加伽伽川h

[教材要点]

知识点一数列递推公式

⑴两个条件：

①已知数列的;

②从第二项（或某一项）开始的任一项即与它的前一项an-

i（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示.

⑵结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的

公式.

状元随笔

由数列的递推公式能否求出数列的项？

［提示］能，但是要逐项求.

知识点二数列递准公式与通项公式的关系

递推公式通项公式

表示恁与它的前一

表示恁与________

区别项_______（或前几

之间的关系

项）之间的关系

（1）都是表示_______的一种方法；

联系⑵由递推公式求出前几项可归纳猜想出通

项公式

知识点三。〃与£的关系

若数列｛为｝的前〃项和为

人",n2.

特别地，若处满足a〃=S〃-Sr（〃22）,则不需要分段.

［基础自测I

1.已知数列｛知｝的第1项是1,第2项是2,以后各项由

〃〃=〃〃7+以_2（〃N3）给出，则该数列的第5项等于（）

A.6B.7

C.8D.9

2.已知非零数列小｝的递推公式为0=1,即=号匕〃-

1(42),则。4=

3.已知数列｛〃〃｝中，ax=-z,恁=则a5=

4.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n+1,则an=

“川勿川川川W川川川卅勿川川川勿勿出川川川川"川"出川MtE]口陶图・画酶园I川川川I川川M川/

题型一由递推关系写数列的项

例1(1)已知数列｛〃〃｝满足关系a〃斯+1=1—a“+i(〃£N+)旦

。2018=2,则。2019=()

A,-3B3

C..JD4

(2)已知数列｛a〃｝满足s=l,即+2—恁=6,则aH的值为

()

A.31B.32

C.61D.62

方法归的

由递推公式写出数列的项的方法

1.根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中

各部分的关系，依次代入计算即可.

2.若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表

示前面的项的形式，如a〃=2a〃+]+1.

3.若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表

✓7---1

示后面的项的形式，如a〃+i=1S—.

跟踪训练1已知数列｛斯｝的第1项0=1,以后的各项由

公式斯+1=言%给出，试写出这个数列的前5项.

题型二由斯与，的关系求通项公式

例2已知数列｛劣｝的前n项和S〃=2f—3n,贝I」a,=

方法归的

已知S〃求为的三个步骤

1.利用a\=S\求出外.

2.当时，利用恁=，一工-1(〃22)求出。〃的表达式.

3.看处是否符合〃22时许的表达式，如果符合，则可以

把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即为=

S,n=\

Sn—Sn-i9心2.

跟踪训练2已知数列｛6｝的前〃项和S〃=3"+l,则%=

题型三数列的递推公式与通项公式的关系

状元随笔|1.某剧场有30排座位，从第一排起，往后各

排的座位数构成一个数列｛an｝,满足ai=20,an+i=an+2,你能

归纳出赘列｛%｝的通项公式吗？

［提不］由a】=20,an+i=an+2得a2=a1+2=22,

a3=a2+2=24,a4=a3+2=26,25=如+2=28,♦・・，

由以上各项归纳可知an=20+(n-l)-2=2n+18.

即an=2n+18(n£N+,几W30).

2.在数列｛四｝中，0=3,誓=2,照此递推关系，你能

写出｛恁｝任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分

别相乘，你能得到什么结论？

［提示］按照等=2可得肾=2,肾=2,肾=2,…，4=

2(心2),将这些式子两边分别相乘可得•号号••…巫=

a1〃2a3an-\

2,2..2.

则詈=2〃T,所以斯=3・2“T(〃£N+).

a1

3.在数列｛a〃｝中，若见=3,an+［—an=2,照此递推关系

试写出前〃项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别

相加，你能得到什么结论？

［提示］由a〃+］—a〃=2得的—。1=2,ay—ai=2,

如一的=2,…，a,—an-\=2(n^2,nGN+),将这些式子两

边分别相加得：生一⑶+的一“2+04—\~an—an-\=2(n—}),

即an—a\=2(n—1),

所以有an=2(n—l)+〃i=2〃+l(〃£N+).

例3设数列｛。〃｝是首项为1的正项数列，且恁+1=毫

a〃(“£N+),求数列的通项公式.

状元随笔|由递推公式，分别令n=1,2,3,得a2,a3,a4,

由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an+1=

岛a”反复迭代；或将a1rH即变形为^后进行累乘;

或将匹+产士即变形式如警吐1=1,构造数列｛n%｝为常数歹(].

n।1ndn

方收阳佃

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为。〃+]=知

+4〃)或4“+i=g(〃>a〃，则可以分别通过累加或累乘法求得通项

公式，即：

1.累加法：当。〃=。“一|+7(〃)时，常用an=(an—an-])+(an-

1一Q/L2)+…+(42一求通项公式.

2.累乘法：当马-=g(〃)时，常用为=卫•久二丝0求

通项公式.

跟踪训练3已知数列｛&｝中,勾=2,0rH=a〃+3(〃£N+),

写出这个数列的前5项，猜想知并加以证明.

散材友思

1.本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数

性质的应用及由递推公式求数列的通项公式.

2.要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大（小）项

的方法.

3.要会用数列的递推公式求数列的项或通项.

4.要注意通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映an和n之间的关系，即。〃是〃的函数，

知道任意一个具体的〃值，就可以求出该项的值为；而递推公

式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项

之间的推导关系，不能由〃直接得出

温馨提示：请完成课时分层作业（二）

5.1.2数列中的递推

新知初探•自主学习

知识点一

⑴鲁嬴或前几项）（2）递推

知识点二

an-\n数列

知识点三

SiS,—Sn-i

[基础自测I

1.解析：因为2（〃因3）且。1=1,。2=2,所以

的=。2+。1=2+1=3,

=的+a[=3+2=5,

=。4+的=5+3=8.

答案：C

2.解析：依次对递推公式中的〃赋值，当〃=2时，Z=2;

34

当〃=3时，卬=乃2=3；当〃=4时，04=手心=4.

答案：4

3.解析：因为©=—5，=

所以.2=1—；=1+2=3,

■

1231

的=1-1=?，。4=1-2~-2,。5=1+2=3.

答案：3

4.解析：当n=1时，a\=S\=2.

当时，

=2

anSn—S〃-i=1+1—-1)+1]—2H—1,

好」2,〃=1,

“2/1—1,〃£N*.

2,/?—1,

答案：

02n—192,〃£N*.

课堂探究素养提升

例1解析：⑴由a/n+l=l—。〃+1，

得恁+|=£77'

又<*<^2018=2,

/•^2019=2»故选B.

(2),.・数列｛为｝满足01=1,%+2—%=6,

*,•(^3=6H-1=7,/=6+7=13,即=6+13=19,的=6+

19=25,©1=6+25=31.

答案：(1)B(2)A

跟踪训练1解析：・・%=1,%+产圣,

斯十2

・2〃i2

•,做一不工一丞

2x|

2念_______31

念+2—J?y

2XT

2。3乙2

2^42X51

的一声=壬?

故该数列的前5项为1,储21,2康｛1

例2解析：0=5：=2—3=—1,

=22

当“22时，anSn—Sn-\=(2n—3/1)—[2(〃-I)—3(〃-1)]

=4/7—5,

由于S也适合此等式，：.an=4n—5.

答案：4,?—5

跟踪训练2解析：当〃=1时,ai=5i=3+l=4；

当时，

an—Sn—S〃-i=(3〃+1)—(3"f+1)=2,3"T.

当〃=1时，2X31=2#/

4,〃=1,

所以。〃=。，

2-3T心2.

4,〃=1,

答案：

2,3〃T,心2.

例3解析：因为研产1勾

法一：（归纳猜想法）药=1,。2=5*1=,，tz3=^x1=1,a4

猜想%=*

法二：（迭代法）因为

n—1n―1n—2n—1n—21

所以“〃=一二卬一】=—T.乃"L2—・=一丁--n—71...利2

,,=1

从而an=~-

yi

法三：（累乘法）因为—+1=行产,

所以驾1

a〃n~\~1'

则anan-\azn—\〃-21

9

1时-2axnn—\2

所以Q〃=：

法四：（转化法）因玻宁帚，

(〃+l)a〃+i

所以

nan

1

故数列｛〃蠲｝是常数列，na=ay=l,所以即=

nn

跟踪训练3解析：ci\=2,。2=。1+3=5,

的=。2+3=8,々4=43+3=11,

。5=。4+3=14,

猜想：an=3n—\,

证明如下：由Q〃+I=Q〃+3得

。2=。1+3,的=〃2+3,

。4=。3+3,

•••

Cl/iQn—]I3.

将上面的（几一1）个式子相加，得

。〃一=1）,

所以a”=2+3（〃-1）=3〃-1.

5.2等差数列

等差数列

5.2.1

第1课时等差数列的定义

最新课程标准

1.理解等差数列的概念.（难点）

2.掌握等差数列的通项公式及运用,（重点、难点）

3.掌握等差数列的判定方法.（重点）

勿勿勿勿勿附出勿勿勿勿川川川W川川川川川川川川责川川后囱囱因・俯闺学I习I川川川川川川NM川川川川川川川川川川川川川川川川川川h

［教材要点］

知识点一等差数列的概念

如果一个数列｛〃〃｝从第项起，每一项与它的前一

项之差都等于常数d,那么这个数列｛处｝就叫做等差数

列，这个常数d叫做等差数列的.

状元随笔I等差数列的定义用符号怎么表示？

［提示］Cln+1—Cln~d（F2f1为常数）.

知识点二等差数列的通项公式

若等差数列的首项为0，公差为"，则其通项〃〃=

状元随笔|等差数列的通项公式是什么函数模型？

［提示］dWO时，一次函数；d=0时，常值函数.

知识点三等差数列的单调性

等差数列｛6｝中，若公差六0,则数列｛斯｝为数歹（J;

若公差80,则数列｛“〃｝为数列.

［基础自测I

1.下列数列中不是等差数列的为（）

A.6,6,6,6,6B.—2,—1,0,1,2

C.5,8,11,14D.0,1,3,6,10

2.数列缶〃｝的通项公式劣=2〃+5,则此数列（）

A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列D.是公差为〃的等差数列

3.已知等差数列｛6｝中，首项0=4,公差d=-2,则通

项公式an=.

4.若2,a,b,c,9成等差数列，则c—。=.

W*勿川川川W川川川卅卅川川川勿川出川川川川"川"N川E］口陶图・画酶园川川川川川川*川川川川H川川川川川卅川川川川川川川川）

题型一等差数列的概念

2

例1已知数列｛〃〃｝的通项公式an=pn+qn（p,q£R,且

p，夕为常数）.

（1）当p和9满足什么条件时，数列｛〃〃｝是等差数列？

（2）设c片为+i一即求证：对任意实数p和q,数列｛&｝是等

差数列.

状元随笔|已知等差数列｛%｝的首项为aP公差为d,在

数列｛bn｝中，bn=3an+4,试判断｛bn｝是不是等差数列？

［提示］可以利用由和d写出bn的通项公式，也可以直接

利用定义判断W+1一也是不是常数.

—

根据题意，知bn+i—3an+i+4,则bn+ibn=3an+i+4—（3an

+4）=3（a/1—aj=3d（常数）.

由等差数列的定义知，数列｛卜｝是等差数列.

方法归的

等差数列的判定方法有以下三种：

1.定义法：恁+]—诙="(常数)(〃£N+)台｛册｝为等差数列；

2.等差中项法：2蠲+]=a〃+魅+2(麓WN+)0｛恁｝为等差数列;

通项公式法：是常数，〃£N+)台｛斯｝为

3.afl=an+b(a,b

等差数列.

但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等

差中项法.

跟踪训练1数列｛%｝的通项公式为=4—3〃，则此数列

()

A.是公差为4的等差数列

B.是公差为3的等差数列

C.是公差为一3的等差数列

D.是首项为4的等差数列

题型二等差数列的通项公式及其应用

状元随笔|在等差数列｛an｝中，能用a.,d两个基本量表

示an,那么能否用｛aj中任意一项am和d表示an?

[提示]由an=at+(n~l)d,①

am=aj+(m—l)d,②

两式相减可得:an-am=(n—m)d,

则M=%+(n-m)d.

例2(1)在等差数列｛斯｝中，已知小=7,/0=25,求通项

公式

an\

57

(2)已知数列｛〃“｝为等差数列，的=?劭=一不求。】5的值.

I状元随笔I设出基本量aud,利用方程组的思想求解，当

然也可以利用等差数列的一般形式an=am+(n—m)d求解.

方法帕相

1.应用等差数列的通项公式求3和d,运用了方程的思

4I+(〃Ll)d=a

想.一般地，可由a=a斯=6,得J求出

m9[a\+(n-1)a=b,

和d,从而确定通项公式.

2.若已知等差数列中的任意两项即，为，求通项公式或其

它项时，则运用即=。〃+(加一较为简捷.

跟踪训练2—401是不是等差数列一5,—9,—13,…的

项？如果是，是第几项？

题型三等差数列及其应用

例3某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道

上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安

装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为

起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？

跟踪训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,

此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你

能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗?

若已知届数，你能确定相应的年份吗？

敖材以恩

1.本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数

列的通项公式，难点是等差数列的证明.

2.掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：

(l"n+i-a〃=d(d为常数,〃UN+)=｛斯｝是等差数列；

(2)24+i=。〃+。〃+2(〃金N+)台｛〃〃｝是等差数列;

(3)an=kn+b(k9b为常数,.WN+)台｛恁｝是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例

即可.

3.会灵活运用等差数列的通项公式解决问题.由等差数列

的通项公式4“=〃]+(〃-l)d可以看出，只要知道首项a\和公差

d,就可以求出通项公式.反过来，在Qi、d、n＞。〃四个量中，

只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量.

温馨提示：请完成课时分层作业(三)

5.2等差数列

5.2.1等差数列

第1课时等差数列的定义

新知初探•自主学习

知识点一

2同一个公差

知识点二

。1+(〃—l)d

知识点三

递增递减

［基础自测］

1.解析：A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0;

B中给出的数列是等差数列，公差为1；

C中给出的数列是等差数列，公差为3；

D中给出的数列第2项减去第1项等于1,第3项减去第2

项等于2,故此数列不是等差数列.

答案：D

2.解析：•:恁+i—cin—2(/?+1)+5—(2〃+5)=2,

・・・｛。〃｝是公差为2的等差数列.

答案：A

3.解析：d=-2,

=

/•an4~r(n—1)X(—2)=6—2n.

答案：6~2n

9—27

4.解析：由题意得该等差数列的公差

J—14

7

所以c—a=2d=j.

7

套口索•・-2

课堂探究素养提升

22

例1解析：(1)解：an+\—an=[p(n+1)+^(/?+1)]—(pn+

qn)=2pn+p+q,要使｛。〃｝是等差数列，则2P〃+p+q应是一个

与〃无关的常数，所以只有2P=0,即〃=0.

故当p=0,g£R时,数列｛斯｝是等差数列.

=

(2)证明：•；金=。〃+1—an2pn-\-p-\-q,

=

•**cn+\=an+2~^n+\2^(/?+l)+p+q.

而c〃+i—c〃=2/为一个常数，

・・・｛6｝是等差数列.

跟踪训练1解析：•二恁+i—。〃=4-3(〃+1)—(4—3〃)=一

3.

・・・｛恁｝是公差为一3的等差数列.

答案：C

例2解析：⑴法一：・・•M=7,aio=25,

3+3fI©=-2

则x

0+94=25,d=3.

an=-2+(71-1)X3=3〃-5,

・•・通项公式斯=3〃-5(〃£N+).

法二：•：。4=7,々10=25,

=

••々io-。4=6。=18,••d39

/•。〃=。4+(〃-4)d=3n—5(〃£N+).

5

a3-一…5

甲।2d4，

(2)法一：由7

-7

。7-

中s+6d=一不

解得a\=彳，d=―不

・・4]5=。1+(15—1)d

11(3、31

—T|=

7+14X14.

法二：由.7=的+(7—3)d,

即一275+4%

3

解得d=一本

5(3^131

・•・。15=的+(15_3)/=4+12义1一成=一彳.

跟踪训练2解析：由.=-5,d=—9—(―5)=—4,

得这个数列的通项公式为

〃“=—5—4(〃-1)=­4〃-1.

由题意知，-401=-4〃-1,

得〃=100,即一401是这个数列的第100项.

例3解析：设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为处，

第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为。2，

第〃盏路灯到第1盏路灯的距离记为a〃,

则s,。2,…，即，…构成一个以。1=0为首项，以d=50

为公差的一个等差数列.

所以有3=0,。2=。1+a=0+50=50,

a3=a2+d=al+2d=0+2X50=1009

44=43+1=41+3d=0+3X50=150,

。5=。4+d=U\+4d=0+4X50=200,

〃〃=〃]+(〃-1)1=50〃-50,

所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，

第n盏路灯距离第1盏路灯(50〃-50)米.

跟踪训练3解析：设第一届的年份为第二届的年份

为。2,…，第n届的年份为an,则生，…，…构成一

个以勾=1896为首项，以d=4为公差的等差数列，其通项公

式为Q〃=S+(〃-1)"=1896+4(〃-1)=4〃+1892,即a„=4n+

1892,由。〃=2016,知4〃+1892=2016,所以〃=31.

故2016年举行的奥运会为第31届.

已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的

通项公式an=a\+(n—[)d中，知道其中任何三个量，均可求得

第四个量.

第2课时等差数列的性质

最新课程标准

L掌握等差数列中两项及多项之间的关系.(重点、易错点)

2.能灵活运用等差数列的性质解决问题,(难点)

切勿川川川川/川川川勿川川勿勿川川勿勿勿川川川“出川”,后囱囱因・|白闺学I习I川川川川川川NM川川川川川川川川川川川川川川川川川川h

I教材要点I

知识点一等差数列的图像

等差数列的通项公式斯=/+(〃—l)d,当d=0时，%是一

固定常数；当d=0时，即相应的函数是一次函数；点(〃，斯)分

布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的

点.

知识点二等差中项

如果x,A,y是等差数列，那么称4为x与歹的,

「x+y

且力=”」.

|状元随笔|任意两数都有等差中项吗？

[提示]是.

知识点三等差数列的性质

(1){%}是等差数列,若正整数S,t,p,q满足s+t=p+q,

则as+at=.

①特别地，当夕+g=2s(p,q,s£N+州寸，2as=ap+aq.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等

于首末两项的,即aA+an=a2+an-\=-=ak+an-k+]

•••

(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列

仍为数列.

（3）若缶〃｝是公差为d的等差数列，贝IJ

①｛c+恁｝（c为任一常数）是公差为的等差数列；

②｛或〃｝（。为任一常数）是公差为的等差数列；

@｛an+an+k｝（k为常数，々£N+）是公差为的等差数

列.

（4）若｛册｝,｛儿｝分别是公差为必的等差数列，则数列

｛pa〃+qbn｝（p,乡是常数）是公差为的等差数列.

（5）｛恁｝的公差为"，则内0台｛为｝为数列；

｛an｝为数列；d=00缶〃｝为常数列.

|状元随笔|能用%.和d表示知吗？如何表示？

［提示］能.〃〃=%+（〃一m）d.

［基础自测］

1.在等差数列｛“｝中，己知〃4+恁=等，则—+〃10=

（）

A.12B.16

C.20D.24

2.在等差数列｛。〃｝中，〃2=5,6/6=33,则的+。5=（）

A.36B.37

C.38D.39

3.在等差数列｛斯｝中,已知。3+。4+。5+%+。7=450,则

=•

4.设数列缶〃｝,｛4J都是等差数列，且©=25,6=75,

。2+62=100，则叼十而等于（）

A.0B.37

C.100D.-37

勿勿勿叫卅勿W川川川卅勿勿勿用勿川勿川W川川川川"出川HtE3OE3EI-ESM川川川川川川*川川川川川川川川川川川川川川川川川川lh

题型一等差中项及其应用

例1在一1与7之间顺次插入三个数Q,6,C使这五个数

成等差数列，求此数列.

方法归佃

三个数a,b,c成等差数列的条件是b=一厂（或2b=a+c）,

可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若

证｛。〃｝为等差数列，可证2%+1=%+册+2（〃eN+）.

跟踪训练1已知则a,b的等

差中项为（）

A.小B.^2

题型二等差数列通项公式的推广

例2（1）已知等差数列｛劣｝中,的=9,勤=3,则公差2的

值为（）

A--2Bl

C.-1D.1

75

--且

3-^劭

（2）已知数列｛斯｝中,04二4是等差数列,

则。5=()

10c11

A.gB.而

〃12n13

CTTD12

方法模佃

1.