高考数学复习第四讲数学归纳法市赛课公开课一等奖省课获奖课件

第四讲数学归纳法证实不等式1/30一数学归纳法2/30学习目标1.了解并掌握数学归纳法概念，利用数学归纳法证实等式问题；2．学会利用数学归纳法证实几何问题、证实整除性等问题．3/30

课堂互动讲练知能优化训练一数学归纳法课前自主学案学习目标4/30课前自主学案1．数学归纳法适合用于证实一个与_______________相关命题．2．数学归纳法步骤是：(1)(归纳奠基)_________________________________

_________________；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，_________________________．(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0自然数都成立．无限多个正整数验证当n＝n0(n0为命题成立起始自然数)时命题成立推导n＝k＋1时命题也成立5/30思索感悟在数学归纳法中n0是什么样数？提醒：n0是适合命题正整数中最小值，有时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，不一定是从1开始取值．6/30课堂互动讲练用数学归纳法证实等式问题考点一考点突破例17/308/309/30【名师点评】利用数学归纳法证实时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证实归纳基础，步骤(2)是证实主体，它反应了无限递推关系．10/30变式训练1求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．证实：(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5…·(2k－1)成立．11/30那么n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立．12/30用数学归纳法证实几何问题考点二例2

平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，而且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．【思绪点拨】用数学归纳法证实几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就得到了处理．13/30【证实】

(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以，n＝1时命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．假如增加一个满足条件任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点．这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在原有平面分成为两部分．所以，这时平面被分割总数在原来基础上又增加了2k部分，即有14/30f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立．依据(1)、(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．【名师点评】相关诸如这类问题论证，关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者差异，这时经常借助于图形直观性，然后用数学式子给予描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间递推关系．15/3016/30则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交,有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不一样于k条直线交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在平面区域分为两部分，故新增加了k＋1个平面部分．17/3018/30用数学归纳法证实整除性考点三例3

用数学归纳法证实(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除．【思绪点拨】证实多项式整除问题，关键是在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中凑出x2＋3x＋3.19/30【证实】

(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋2)2(x＋2)2k－120/30＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除，所以上面式子也能被x2＋3x＋3整除．这就是说，当n＝k＋1时，(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整除．依据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋都成立．21/30【名师点评】用数学归纳法证实数或式整除性问题时，常采取加项、减项配凑法，而配凑方法很多，关键是凑成n＝k时假设形式．22/30变式训练3求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N＋)．证实：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋123/30＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋