微分学及其应用

第二章微分学及其应用

§2.1导数的概念

课题：导数的概念

目的要求：理解导数的概念，了解导数的儿何意义，知道函数可导、连续之间的

关系，能用导数描述一些实际问题中的变化率。

重点：导数的概念

难点：用导数描述一•些实际问题中的变化率

教学方法：讲授法

教学时数：3课时

教学内容：

2.1.1导数概念的引例

1、变速直线运动的瞬时速度

设物体沿直线做变速直线运动,其经过的路程S与时间t的函数关系s=s(t),

求该物体在to时刻的瞬时速度v(t0)o

设该物体从t。到t0+Z\t时间段经过的路程△$,即△s=s(to+4t)-s(t。)，

则此物体在该时间段内运动的平均速度为

Ps—«'o'+'-&-)---*-)---------

XAr

当质点作匀速直线运动时,这个平均速度是t0时刻瞬时速度;但对于变速直

线运动，它只能近似的反映t°时刻的瞬时速度v(t。)。

因此令0,竺的极限若存在,则此极限值称为质点在t。时刻的瞬

Ar

时速度，即

v(t)=lim—=lim~°

nA/->0△/A/->0△/

变速直线运动在to时刻瞬时速度反映了路程s对时刻t变化快慢的程度,

因此,速度v(t。)又称为路程s(t)在t0时刻的变化率。

2、曲线的切线斜率

在中学教学中圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线”。但是，对

于一般的曲线此定义就不适合了。例如,抛物线y=x2与y轴只有一个交点，但y

轴不是它的切线,而是它的对称轴。

下面,我们将用极限的思想作出曲线的定义。

设M是曲线C上的一个定点,在曲线C上另取

一点N,做割线MN,当动点N沿着曲线C向定点M

移动时，割线MN绕点M转动,共极限位置为MT,

则MT称为曲线C在点M处的法线(如图2.1—1).

设曲线C的方程为y=〃x),求曲线C在点

M(xo，y0)处切线的斜率。在曲线上取与M邻近的另一点N(x0+Ax,%+Ay),作

曲线的割线MN,则割线MN的斜率为

f-与-/(跖)如)-/(x)

ArAx

其中8为割线MN的倾斜角，当点N沿曲线C趋向点M时,xfx°(Ax^O)o如果

△x-0时，上式的极限存在,设其为k,即

.1.../(x+Ar)-/(x)

k=lim—=lim----0----------

AXAr->0A%

这时k=tana(a*—),其中a是切线MT的倾斜角。

2

2.1.2导数的定义

上面的两个实例，其实际意义虽然不同，但是解决问题的思路和方法是完全

相同的。将其概括总结，引出高等数学中一个重要的基本概念——导数。

定义2.1.1设函数y(x)在点X。极其近旁有定义,当自变量x在X。处有增量

△x时，函数有相应的增量△¥=/(/+-)-/(%)。当△xfO时，若生的极限存在，

Ax

则称函数〃x)在与处可导，并称这个极限值为函数f(x)在点X。处的导数，记为

y，即

y,l=而竺=1沁盘上且二3(1)

次一“0Ax->o—丫A—o八丫

也可记为/(x0),生|，或也2I.

dx4/dxx=x°

如果极限⑴不存在，则积函数y=f(x)在点x0处不可导。如果0时，(1)

式极限为oo,这时函数y=f(x)在X。点不可导，也往往称函数y=f(x)在X。点导数

为无穷大。

由定义1.1.1,前面的两个实例可表示为

(1)变速直线运动的瞬时速度v(t0)是路程函数s=s(t)在t0时刻的导数,

即

V(t°)=s乜尸字|

(2)曲线在点M(x°,y°)处的切线斜率等于函数f(x)在x0处的导数，即

k=tana=/'(r)=df(x),

dxI"'。

注：导数定义式(1)也可取其他的不同形式，常见的有，

,

/(xn)=lim/(x。+〃)-0)(当△x=h时)

°20h

或

/(Xo)=lim/(x)/(Xo)(x=x0+Ax,A^=x-x0)

x-x0

【例1】求f(x)=x2在点x=2处的导数尸(2)

解：(1)求函数增量△)，

△)，=/(2+Ax)-/(2)=(2+Ax)2-22=4Ar+(Ax)2

(2)求电

Ar

包=4"+(一尸=4+二

AxAx

(3)令心f0,求电的极限。

Ax

尸(2)=1而且=lim(4+A.r)

XTOA%AX<-O

定义2.1.2如果函数y=/(x)在区间(a,b)内的每一点都可导，则称函数

y=(%)在区间(a,6)内可导，这时，对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都有

唯一的导数值/。)与之对应，即：

、[./(x+Ax-/(x)

f(x)=lim-------

XTOAx

所以，尸(x)也是x的函数，称作/(元)在伍,。)内的函数，简称导数，记作

乂尸⑸,字或孥

axax

于是，求导数/(x)只要把定义1中(1)式的X。换为X即可。

显然，当X。在/(X)的定义域内时，/(X)在点X。处的导数值/'(X。)就是导函

数/'(X)在无。处的函数值,即/(%)=尸(X)葭0

【例2】已知y=%2,求y与了,=2。

解:Ay=(x+Ax)2-x2=2X・AX+(AX)2

—=2x+Ax

Ar

y'=lim—=lim(2x+Ar)=2x

.v->oA-xfo

Kx=2=2x2=4

由【例1】、【例2】可知，用导数定义求导数，可分为以下三个步骤：

(1)求函数增量Ay=/*+Ar)-/(元)

(2)计算比值"=/(》+祠-/。)

ArAJC

(3)求极限<=/⑴=lim".+9一"劝

Ar—OA%

【例3】求常值函数y=c(。未常数)的导数。

解：*/Ay=c-c=0

•・2=2=0

AxAr

因此yr=lim=lim0=0

Ax->0AYAX->0

即常数的导数等于0

(c)'=0

【例4】求导数y=x"("G的导数。

解：vAy=(x+Ar)rt-%"

=xn+c\xn-'^x+c^xn-2(Ax)2+•••+(Ax)"-x"

=c：x"TM+cR-2(—)2+…+3).

包=c：x”T+c；x"-2醺+…+(Ar严

Ax

因此y=lim包=C，T=〃£，T

A2°AX

即(x")'=〃x"T

关于幕函数的导数，可以推广到〃eR的情形，即有以下公式

(丁)'=管"-|(〃eR)

■11__L1

例如:(x)'=l，(Vx)r=(x2)r=-x2=—f=;

22y/x

(iy=(x-'y=(-i)x-2=-4

XX

【例5】求正弦函数y=sinx的导数

.,・、.、,Ar、.Ar

解:,/Ay=sin(x+Ax)-sinx=2cos(x+—)sin—

3/Ax、.Ax.Ax

△y2cos(x+y)smyAsin—

=cos(/x+——)、—2

AxAx2Ar

2

.Ax

,Ay]./Ax...sm^

因此y=hrm—=limcos(x+—)lim——=cosx

8->0及&->02Ar->0Ax

T

即(sin-x)r=cosx

同理，余弦的导数为(cosx)'=-sin-x

【例6］求对数函数＞=108〃双。〉0,。。1)的导数

解：Ay=log(,(x+Ax)—log“x

.M+AX、.八Ax、

=log”(-----)=log”(1+——)

XX

log(l+—)

a1[AX.T-

包x=-logJZI1+一

AxAxXX

I

根据重要极限lim(l+万=e,得

,..Ay..I.Z1—

y=lim=lim—logn(l+——产

A3。AxAr-XX

1।1

=—log/=

xx\na

1

于是(log.%)'

x\na

特别地，自然对数y=In尤的导数为

(Inx/=—

x

类似的可以证明：(优)'=axlna(a>0,。w1)

特别地(e)=e

【例7】求函数/(x)=k|在尤=0处的导数。

A/(0+Ar)-/(0)|Ax|

角S不：lrim------------=lim-_rL=limsgnAr

Ax->oArA.V->OA,AVTO

当△<()时，sgnAx=-1,故limsgnAx=-1

AtT。-

当Ax〉0时，sgnAr=1,故limsgnAx=1

二.limsgnAx不存在，即f(x)=|x|在x=0处不口J导。

-11

从函数/(X)在X。处的导数/'(/)的定义

/(x(,+A,v)-/(x)

/,(x)=lim0

0Ax

可知/(x0)是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等,

从而广(X。)存在，即/(X)在X。处可导的充分必要条件是左、右极限

lim-。+醺)一小。)和lim/(xi-/5)

醺->。-Ax帖TO+AX

都存在且相等。

这两个极限分别称为函数/(X)在点X。处的左倒数和右导数，记为£(%)和

/:a。)即

左导数£(4)=lim小。+醺)二/』。)

_

AA—>oAx

右导数f：M=lim/(x°+»/(x。)

Ax->0+Ax

因此，函数/(x)在点X。处可导的充分必要条件是左导数£(x。)和右导数

£(x0)都存在且相等。

在例7中，函数/(x)=(x)在X。处的左导数£(0)=-1,右导数力(0)=1都存

在，但£(0)声力(0)，所以f(x)=|x|在尤=0处是不可导的。

如果函数“X)在开区间(。,6)内可导，月J：(a)和£3)都存在，那么就称

/(x)在闭区间口力］上可导。

2.1.3导数的儿何意义与物理意义

由导数的引例我们知道：

如果函数y=/(x)表示一条曲线，那么导数)/=/*)就等于该曲线在

(xj(x))处的切线斜率，这就是导数的儿何意义。

由此可见，曲线y=/(x)在点〃(%,/(4))处的切线斜率《=/(%)，根据直线

的点斜式方程，得到曲线在点M处的切线方程y

y-/(Xo)=/'(Xo)(x—Xo)

法线方程为

I

=一“一/)

7u)

【例8】求曲线方程y=/在点(2,8)处的切线方程和法线方程。

解：因为>'=(/)，=3/,所以曲线y=/在点⑵8)处的切线斜率为

k=y'\x=2='ix'\x=2=n

所以，所求切线方程为

y-8=12(x—2)

即12x-y-16=0

法线方程为

y-8=-j^(x-2)

即x+12y-16=0

同样，由导数引例可知，如果函数s=/(f)代表一个变速直线运动的运动规

律，那么导数S'=:⑺就是该直线运动在时刻，的瞬时速度，这就是导数的物理

意义。

【例9】一物体作直线运动，其运动规律为s=sinf,求该物体在任意时刻f的

速度()及f=(时的瞬时速度。

解：由导数物理意义，可得

v(r)=s'=f'(f)-(sint)r=cost

在f=巳时的瞬时速度为

3

吟

2.1.4函数的可导性与连续性的关系

可导性与连续性是函数的两个重要性质，它们之间的关系如下：

定理如果函数/*)在点/处可导，那么函数在X。点处连续。

反之，一个函数某点连续，却不一定在该点可导。

【例10】函数/*)=国在(-8,+8)上连续，但在例7中已经看到，函数在

x=O不可导，曲线y=|x|在原点0处没有切线(图2.1-2)

【例11】函数/(x)=V?在(-8,+8)上连续，但在点*=0处不可导。这是

因为在点X=0处，有

/(O+Ax)-/(x)VA^-0-|

lim-------------=hm-------=hm(AZAx)3=+oo

AXTO\YAXTO/\YAr->0

即导数为无穷大(导数不存在)

从几何直观上看，它的图像在该点(x=O)处有垂直于x轴的切线x=O(图

2.1-3)

§2.2求导法则和基本求导公式

课题；求导法则和基本求导公式

目的要求：熟悉导数的运算法则、导数的基本公式，掌握初等函数导数的求法。

重点：函数导数的求法

难点：复合函数的求导法

教学方法：讲练结合

教学时数：3课时

教学内容：

上节根据导数的定义求出了一些基本初等函数的导数，本节我们将介绍求导

的几个基本法则和基本初等函数的求导公式；借助于这些法则和公式，就能较方

便的求出常见的函数——初等函数的导数。

2.2.1函数四则运算的求导法则

设"="(x),v=v(x)都是X的可导函数，则

(1)(u+v)'=u'+v'；

(2)(MV)r=u'v+uv'

下面我们给出两个函数和的求导法则的证明，其他法则证明从略。

证明：设y=w(x)+v(x),则

Ay=[w(x+Ax)+v(x+Ax)]-[»(%)+v(x)]

=[M(X+Ax)-w(x)]+[v(x+Ax)-v(x)]

=Aw+Av

因此包=包+竺

ArArAx

，1.AyAv,,,

..y—lim—=lrim---Frlim—=u4-v

A—°Ax'TOAJC6Ar

即(〃+u)'=〃'+/

上述求导法则还有以下常见的推论

f，f

(1)(/±“2±・_±〃〃)'=%±〃2±一.±4.，(〃WZ+)；

(2)(cvy=cvf,(c为常数)；

(3)(uvw)r=urvw+uvrw+UVWrO

【例1】设y=2d—5/+3x-7,求八

解:y'=(2/-5犬2+-7)'=(2x3/-(5x2)'+(3x)'—7

=2(x3X-5a2)，+3(x)'=2・3/-5・2x+3

=6x2-10x+3

【例2】/(x)=x3+4cosx-siny,求广(g)

jrjr

M：f(X)=(x+4cosx-sm-y=(.y+(4cosxy-(smIy

=3x2-4sinx

/，(y)=3-(y)2-4sin]=^--4

【例3】设y=2A/Xsinx,求yr

解：yr=(2Vxsinx)f=2(Vx-sinx)'=2(Vx)"sinx+2\/x-(sinx\

sin%＞「-

=—^-+2vxcosx

【例4】设y=e*(sinx+cosx),求y'

解：yr=["(sinx+cosx)]'=(ev)Xsinx+cosx)+ex(sinx+cosx\

=e'(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)

=2excosx

【例5】设y=tanx,求y'

解：y'=(tanx),=(处),=(sin.cosxTinx(cosxy

cosxcos2X

cos2x+si•n2x1i

---------；-------=———=sec2x

cosxcos"x

即(tanx)z=sec*2x

［例6］设y=secx,求y'

々力，/、，/1、，(l)'cosx-l・(cosx)'

解：y=(secx)'=(------)=---------------------

cosxcosX

sinx

=-------=secxtanx

COSX

即(secx)f=secxtanx

类似地，可以求得余切函数cotx和余割函数cscx的导数公式:

(cotX)'=-esc2x,(cscx)'=-cscx-cotx

【例7】设厂/‘求

解：力电器),二(1+tan%)”-tanx)-(1+tanx)(l-tanx)r

(1-tanx)2

_sec2x(l-tanx)-(1+tanx)(-sec2x)_2sec2x

(1-tanx)2(1-tanx)2

2.2.2复合函数求导法则

前面的函数四则运算求导法则，解决了一些较简单函数的求导问题，实际中

我们遇到的函数大多是复合函数，如cos2x,Intanx,sin二^等。为了解决复

1+x

合函数求导问题，下面介绍复合函数的求导法则。

如果函数〃=°(x)在x处可导，而y=/(“)在点〃=°(x)处可导，那么复合

函数y=/(。(幻)在点x处可导，并且其导数为

半=/'(“),(p\x)=(夕(x)Ad(x)

ax

也可以写成忒=y："或虫=虫.虫

axduax

复合函数的求导法则亦称链式法则，这个法则可以推广到多个中间变量情

形。

例如，如果y=/(“),“=eO),n=〃(x),那么复合函数y=/(/(〃(x)))的导数

为

【例8】求下列函数的导数

(1)y=sinlx(2)y-(a"—x

解：⑴因为y=sin2x是由y=sin"与"=2x复合而成的，

所以y'-(sinu)'(2x)'-cosux2-2cosx

(2)因为)，=(1—/)2是由y=“2与“=。2一/复合而成的

所以V=(〃2y面——)，=2〃(_2》)=_4式/-X2)

【例9】求下列函数的导数

(1)y-\ny[x(2)y-^tan—

解：(1)因为y=ln«是由y=In〃与〃=«复合而成的

所以y'-(Inw)(•(Vx)/----—、•=，-

w2dx-Jx2\lx2x

(2)因为y=Jtan^是由y=〃，u=tanv,丫=1复合而成的

所以y'=(Gy(tanvy(』)'=—^=・sec2V・(一-

tan

x

从以上几例可以看出，应用复合函数求导法则，求所给函数的导数的关键是

要能把所给函数分解为我们已经会求导的若干简单函数的复合。即当一个函数如

果能分解成基本初等函数，或常数与基本初等函数的和差积商等，我们便可以求

其导数。

在比较熟悉链式法则之后，中间变量可以在求导过程中不写出来，而直接

写出函数对中间变量求导的结果，重要的是每•步对那个变量求导必须清楚。

【例10］求下列函数的导数

、3”

(1)y-tan5—(2)y=In/一

2\x+Vl+x2

解：(1)y'=(tan5tan4y-(tanI-),=5tan4^-sec2y-(1-)

5x2x

=—tan4--sec—

222

(2)先化简求导函数，得

y=xIn3-—ln(x+71+x1)

然后再求导,

y=In3---------J,•(x+yll+x2)

2x+yll+x2

(1+x2),

2A/1+X2

1,X

=ln3-----------.•[r1+-f=]

2(x+yll+x2)yj\+x2

=ln3——；------

2Vl+x2

【例11】求下列函数的导数

i

(1)y=e-x+\n(2-x2)(2)y=exsin2x

l+sin2x

(3)y=----------(4)y=2arclan7；

cosx

x

解：⑴y'=e--(-x)+—^•(2-x2),

2-x2

t2x

=-e---------

2-x

2i

(2)y=©)与标工+/⑸。？%)’

=(e*)'(一)'sin2x+eA(2sinx)(sinx)

x

=——-exsin2x+2sinxcosxer

x

1•2

=^(sin2x-^^)

x

(3)先变形函数，得，

y=secx+sinxtanx,贝ij

y'=secxtanx+cosxtanx+sinxsec2x

=secxtanx+sinx+sinxsec2x

(4)y'=(2arc,anV7)'=2arc,anV7In2(arctan&)'

2arclan^-ln2--(V7),

1+x

2arCtanV7,]n2

(1+x)Vx

2.2.3基本导数公式和求导法则

为了方便查阅，我们把前面的基本导数公式和求导法则归纳如下:

1.基本初等的导数公式

⑴©'=0(2)(/y=*7

(3)(sinx)'=cosx(4)(cosx\=-sinx

(5)(tanx)'=sec2x(6)(cotx)r=-esc2x

(7)(secx/=secxtanx(8)(cscx\=-escxcotx

(9)(优)'="Uno(10)(/)'=2

(12)(lnxy=l

(1l)(log„X)，=

x\naX

1(14)(arccosx)'=——j]

(13)(arcsin%y=

71-x2Vl-Jt2

i

(15)(arctanx)r=(16)(arccotx)r=-----

l+x2\+x

2.函数四则运算的求导法则

设“=〃(x),v=v(x)都是X的可导函数，则

(1)(U土V)'=u'±V'；

(2)(uv)'=u'v±uv',(c〃)=CW(c为常数);

(3)(与=%则("0)；

VV

3.复合函数求导法则(链式法则)

设y==9(x)都是可导函数，则复合函数y=f[(p(x)]的导数为

dy_dydu

或y=/(")9(x)。

dxdudx

§2.3隐函数的导数和参数方程所确定

的函数的导数高阶导数

课题：隐函数的导数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数

目的要求：会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数，了解高阶导数的概

念，掌握初等函数二阶导数的求法。

重点：隐函数的导数，初等函数二阶导数的求法。

难点：隐函数的导数，隐函数的二阶导数。

教学方法：讲练结合

教学时数：3课时

教学内容：

2.3.1隐函数及其求导法

函数y=表示两个变量y与x之间的对应关系，这种对应关系可以用

不同的形式表达，以前我们遇到的函数，大多是形如y=/(x)的函数，如：

y=xeTy=Inlnx+sin2x的函数，这类函数叫做显函数。但是实际问题中，有时

会遇到另一类函数，如：x2+y2=r2,2x-3y+5=0,e"=sin(x+y)等等，因

变量y与自变量x的关系是由一个含有x,y的方程F(x,y)=O所确定的。这种

由方程F(x,y)=O所确定的y与x之间的函数关系叫做隐函数。

显函数与隐函数只是函数的不同表现形式，隐函数有时很容易化成显函数。

例如：2x-3y+5=0就可化为y=|x+g。但有的隐函数很难或者不能化为显函

数，如。〃=sin(x+y)。因此，我们试图把隐函数化为显函数再求导的想法并

非总能实现。

下面我们介绍利用复合函数的求导法则，直接求由方程F(x,y)=0所确定的

隐函数y=y(x)的导数。下面举例说明。

【例1】求由方程盯-=0所确定的隐函数y=y(x)的导数也。

dx

解：因为y是x的函数，所以二是x的复合函数，应用复合函数求导法则,

方程盯=0两端同时对x求导，可得:

y+xy-ex+ey-y=0

由上式解出y,便得隐函数的导数为

务公…HO)

由例1可见，求隐函数导数方法归结为二个步骤：

(1)在给定的方程两边对X同时求导，遇到y是看成X的函数，y的函数

看成x复合函数；

(2)从(1)所得式子中解出生(或炉)即可；

dx

【例2］求由方程V+2y-x-3/=0所确定的隐函数y=y(x)在x=0处

的导数曲D0

dx

解：方程两端同时对x求导，得：

5y4.^-+2^-l-21x6=0

dxdx

6

于是得dy1+21.r

dx~2+5y4

由x=0,从原方程得到y=0,所以将x=0和y=0代入上式右端，得

%=1.

dx'x=o2

【例3】求圆/+y2=°在点(1,也)处的切线方程。

解：方程两边对X求导数，得

2x+2yy=0

解出y,得

.x

y=一一

y

把点(1,Q)的坐标代入，得切线的斜率々=y,=。=—呈,由切线方程得点

产百3

斜式，得

y-y[?>=

即x+V3y-4=0o

［例4］设y=arccot，+y),y'o

解：方程两边同时对x求导，得

.1小.、

y1+(/~+y>)

解出y',得

y'=———

2(x2+y2)

有时所给的函数是塞指函数的形式，即y=/(x)g"),或是暴、积、商很复

杂的式子，这些函数虽然是显然数，但直接求它的导数很繁琐，可先用两边取对

数的方法将之化为隐函数，然后按照隐函数求导法则求出原函数的导数。这种方

法称为“对数求导法”。

【例5】设y=(%>0)求

解：这是哥指函数，求它的导数可用以下两种方法,

方法一、将原式写成

sinjsinvlnx

y=x=e

在对x求导，得

了=*"=eSin."®nxInx)'

=eSin*in*［(sin尤)'lnx+sinx(lnx)'

=xsin”(cosxInx+sin")

x

【例6】求下列函数的导数。

(1))>=.27(x+l)：(2)y=(1+x)sinx-arctan

\l3-2x

解：(1)此函数是含有累、积、商的复杂式子，直接求导很麻烦，因此，两

边取对数后再求导：

Iny=gln(2-x)+3ln(x+1)-；ln(3-2x)

上式两边对x求导数，得

y，

72(2—x)x+13(3—2x)

解出)，'，即得原函数的导数为

,j2-x(x+l)3/132、

y=-----,(--------+------+--------)

-V3^2l2x-4x+19-6x

(2)此函数也可用对数求导法，两边取对数，得

Iny=ln(l+x)+Insinx+Inarctanx

上式两边同时对x求导，得

y'1cosx11

—=------H---------H-------------

y1+xsinxarctanx1+x2

解出V，得

1

y'=(1+x)-sinxarctanx[―—+cotx+]0

1+x(1+x2)arctanx

i

[例7]证明(arcsinx\

证明：设丁=arcsinx,贝1Jx=siny,两边对兄求导得

(x)'=(siny)'

1=cosy-y'

•••y'=

cosy

又cosy=yjl-sin2y=A/1-X2(-y<y<y)

代入上式得

(arcsinx\=

类似可证;

(arccosx)f——/

(arctanx\=

(arccotx)r=-

2.3.2由参数方程确定的函数的导数

对于平面曲线的描述，除了前面已经介绍的显函数y=/(x)和隐函数

F(x,y)=O等形式以外，在平面解析几何中，我们也学过曲线的参数方程，例如

参数方程

x=acost八、

\(0<t<

y=asint

表示中心在原点，半径为。的圆周曲线。

一般地，参数方程/ns⑺可以确定y与％之间的函数关系。这种关系，

y=w(t)

有时可以用显函数表示出来。例如

=r-1

消去参数，可得;

y=x2-4x+3

称之为普通方程，这是由参数方程⑴所确定的函数的显式表达式，这样求导也

就很容易。

电=21

dx

但对于有些参数方程，它所确定的y与x之间的函数关系很难化为普通方

程。因此，我们希望能有一种方法直接由参数方程求出它们确定的函数的导数。

参数方程「=的)可确定y与X之间的某种对应关系。如果y与X都关于参

数f可导，且x；70则y关于x也可导，且

办=”⑺

dx（p'（t）

【例8】已知参数方程卜=2",求女

=e「dt

解：根据参数方程的求导公式

因为

虫=*,虫=2/

dtdt

所以

包=士=」6-%

dx2e'2

【例9】求圆、="8$»在，=工处的切线方程。

y=asint4

解：因为

dy_（asin，）'_acost

———cott

dx（acosty-asint

所以所求切线的斜率k=@|=-cot工=-1,将广工代入所给参数方程中，得切点

dx-444

亭亭）。

所以,切线的方程为

y-%a=（—l）x（x—母a）

即x+y-42a=0

2.3.3高阶导数

如果函数了=/（X）仍是X的可导函数，那么就称尸（X）的导数为“X）的二阶

导数，记为〉，"或_r（x）,乌或裳。

r=（＞'）'

由于二阶导数是在一阶导数的基础上再求一次导数，所以不需要引进新的求

导公式。

二阶导数有明显的物理意义。当原点作变速直线运动时，位置函数S=S⑺的

一阶导数s'⑺是瞬时速度V0)，加速度是速度V。)对时间的变化率，等于M(f),

即位置函数S⑺的二阶导数s"«)为变速直线运动的加速度4(。。

【例10】求下列函数的二阶导数。

(1)y=2x+3(2)y=2X+xInx(3)y=x2+2x+3

解：(1)=29y"=0。

⑵y'=2,2+lnx+l

y〃=2'(ln2"

X

(3)yr=2x+2；y"=2。

类似地,函数y=/(x)的二阶导数y"=/"(x)的导数叫做y=/(x)的三阶导

数。记作)，”或/"(x)或号或以，三阶导数的导数称为四阶导数，记作y⑷或

dxdx

/(4)(x)或匕或学，等等。

axax

二阶或二阶以上的导数叫做高阶导数。显然，求高阶导数就是多次连续求导

数，所以仍可运用前面学过的求导方法计算高阶导数。

【例11】求下列函数的n阶导数。

(1)y=aax"+qx"T+…+*_/+%,其中a”是常数。

(2)y-ex；(3)y=sinx；(4)y=ln(l+x)(x>-1)。

ln2

解:(Dy'=naox"~+(n—V)axx~4---+-2an_2x+an_x

-2n3

y"-n(n-l)a0x"+(〃-1)(〃-2)aix^H---F2<7„_2

)，(")=n\a.

(2)y，==e"故

严=3"-叮=(/)，=e，

(3)y'=cosx=sin(x+y)

y"=cos(x+-y)=sin(x+2~)

ym=cos(x+2-y)=sin(x+3~)

y(4)=cos(x+3~)=sin(x+4~)

以此类推，可以得到：

y(M)=(sin尢)(〃)=sin(x+n•~)(n=12…)

用类似的方法，可以得到：

(cosx)(,,)=cos(x+n-~)(n=12…)

(4)y，=—L=(i+x)T

1+X

2

y"=-(\+xY

y"=(-1)(—2)(l+x『

y(4)=(—1)(-2)(-3)(1+X『

以此类推，可得

y(M)=[ln(l+x)](n)=(n-1)!(1+x)-M

所以[ln(l+x)产=(-1严言子(x>-l)o

注：0!=1,因此，这个结果当n=l时也成立。

【例12]求由方程/+>2=/确定的隐函数的二阶导数。

解：方程两边对x求导，得

2x+2y-y'=0

，x

所以y=—一

y

y2

zX

y-x・（——）222

yy+xa

----------------=----------

y2y3y3

§2.4微分及其应用

课题：微分及其应用。

目的要求：理解微分的概念，了解微分的几何意义，知道函数可导、可微之间的

关系，熟悉微分的运算法则(包括微分形式不变性)。

重点：微分的概念和微分的运算法则

难点：微分的近似计算

教学方法：讲练结合

教学时数：3课时

教学内容：

2.4.1微分概念

先讨论一个具体问题：

一块正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长从与变化到

x0+Ax(图2.4-1),问该薄片的面积改变了多少？

若用s表示薄片的面积，x表示边长，则$=/,于是薄片在温度变化前后

的面积分别为：

22

s(x(,)=Xo，s(x0+Ar)=(x0+^x)

所以，受温度变化的影响，薄片面积的改变量为

22

△s-5(xo+Ax)-5(xo)=(%0+Ax)-XQ

2

=2x0Ax4-(Ar)

As由两部分组成:第一部分是心的线性函数(图中斜线部分的面积),

第二部分是(4x)2(图中有交叉斜线的小正方形的面积)，当心一0时，第二部

分是一个比故高阶的无穷小，即(Ar)?=O(Ar)(Ax-0)由此可见，如果边长的改

变很微小，即|醺|很小时，面积的改变量可以近似地用第一部分来代

替，而且|以|越小，近似程度也越好,即：

j\s«2x0Ax

上式中的醺的导数2%,就是函数S=》2在点/的导数“x0)。于是上式又

可表示为垃«s'(Xo)Ax

这就是说，函数y=/的自变量x在点x0有微小的改变量心时，函数的改

变量Ay约等于其在点x0的导数2x。与以的乘积。这个结论可以推广到一般的可

导函数。

设函数y=/(x)在点与处可导，即iim"=广岛)，根据函数极限与无穷小

Ar

的关系，有

?=_f(x°)+a其中，呵。=0

AYAx—>0

由此得Ay=/'(x0)Ax4-6Z-Ax

这表明，函数的改变量Ay是由广(与心和“两项所组成，当/(公)。0时,

由

lim=lima=0，lim'=f\x0)W0

Ar->oAvA.V->OAXTOAr

可知/'(Xo)Ar是Ar的同阶无