陕西省汉中市2024届高三下学期二模考试 数学（理） 含答案

汉中市2024届高三年级教学质量第二次检测考试数学（理科）（命题学校：镇巴中学）本试卷共23小题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．2．已知全集，集合，则（）A． B． C． D．3．图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（）图1图2A． B． C． D．4．若实数满足约束条件则的最小值为（）A． B．2 C． D．15．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A． B． C． D．6．已知为两条直线，为两个平面，，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知，则（）A．32 B．48 C．16 D．9．函数的图象如图所示，为图象上两点，对于向量，为了得到的图象，需将图象上所有点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位10．已知，直线为上的一动点，为上任意不重合的两点，则的最小值为（）A． B． C． D．11．已知正项数列的前项和为，且，数列的前项积为且，下列说法错误的是（）A． B．为递减数列C． D．12．已知函数若函数有4个零点，则的取值范围为（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量满足，且是单位向量，若，则______．14．继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解，天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制,某麻辣烫店内有牛肉、羊肉、鸡肉、萝卜、木耳、菠菜、豆腐、香菇等菜品，一游客打算从以上8种菜品中选择一荤两素，其中萝卜，木耳只能选一种，菠菜，豆腐只能选一种，且羊肉必须与萝卜搭配，则他选择的种类共有______种．15．已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为______．16．已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过向直线作垂线，垂足为，则的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个作为已知再作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）①记的面积为，且；②已知．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．18．（本小题满分12分）2024年03月04日《人民日报》发表文章《开展全民健身实现全民健康》，文中提到：体育锻炼要从小抓起。“让孩子们跑起来”“要长得壮壮的、练得棒棒的”“体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”……．习近平总书记的殷殷嘱托，牢牢印刻在广大教育工作者和孩子们的心中。某学校为了了解学生体育锻炼的情况，随机抽取了n名同学，统计了他们每周体育锻炼的时间，作出了频率分布直方图如图所示．其中体育锻炼时间在内的人数为50人．（1）求n及a的值（a的取值保留三位小数）；（2）试估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）以频率估计概率，在该校学生中任取4人，设X为这4人中每周体育锻炼时间在内的人数，求X的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）已知：如图，三角形为正三角形，和都垂直于平面，且．（1）证明：平面平面；（2）点为上靠近的三等分点，求二面角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知函数．（1）证明：时，恒成立；（2）证明：（且）．21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，点为椭圆的左焦点，点为椭圆的上顶点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）点为直线上一动点，为椭圆的左、右顶点，直线分别交椭圆于两点．试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的