山东省日照市2025届高三下学期校际联合考试数学试题（含答案）

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A日照市2025届高三下学期校际联合考试数学2025.2考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知等差数列中，，则（）A.15B.9C.D.3.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知是第一象限角，且，则的值为（）A.B.C.D.5.点在直线上，且，则的最小值为（）A.4B.6C.8D.106.定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有.则的大小关系是（）A.B.C.D.7.高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入.现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（）A.66种B.93种C.195种D.273种8.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为.若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法中正确的有（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.在上单调递增D.若，则的最小值为10.下列说法正确的是（）A.已知为非零向量，若，则的夹角为锐角B.展开式中的常数项为C.若方程表示椭圆，则D.点在直线上运动，的最大值是11.已知点集，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（）A.图形内部空白区域的面积最小值为B.图形上的点到原点的最小距离为C.当时，图形关于对称D.当时，图形内外边界的长度和为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________.14.设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若为边上一点，且，求的值.16.（15分）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：1234575849398100（1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）；（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案.方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.参考数据：.附：相关系数.17.（15分）已知数列为等差数列，且满足.（1）若，求数列的前项和；（2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式.18.（17分）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）.①求实数的值；②求证：.19.（17分）已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示.（1）证明：平面；（2）若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”.①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值；②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点.为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程.2022级高三校际联合考试数学答案2025.2一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-4DBCD5-8CABB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD10.BD11.ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【解】（1）依题意，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，法一：即，所以，所以：，因为，所以，所以，即.法二：即，所以，即，因为，所以，所以，即.（2）因为，又因为，所以为等边三角形，则，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），故.16.【解】（1）由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系.而，则所以令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109.（2）若选方案一､需付款元.若选方案二､设需付款元，则的取值可能为，则，，所以，因此选择方案二更划算.17.【解】（1）当时，由，则，由，则，所以等差数列的公差为，所以，故故数列的前项和.（2）当时，，可得，当时，，将代入上式，则，综上所述，.，可得，又因为，则，由方程，可得，解得，由，则等差数列的公差为3，所以，由，则.18.【解】（1）函数的定义域为，因为，令，得：，令，得：，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）①由（1）知：.由，又.所以切点，由（1）可知，切点在直线的上方，所以，整理得，设，则，（也可构造）设，则在上恒成立.所以在单调递增.又，又，方程只有1解：.②依题意：要证，当时，，令，在上单调递增，所以不等式成立；当时，要证，即.设，则.设.则.当时，，所以.所以在上单调递减.所以..即.所以在上单调递减，所以，即当时，成立.综上：当时，在上恒成立.19.【解】（1）如图，连接，因为，是棱的中点，所以，又平面平面所以平面.（2）由（1）可知，平行且等于平行且等于所以四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，所以，显然，故，同理可得，如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系因为所以有，设平面的一个法向量为易知令，解得，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）易知将补成长方体，设长宽高分别设为，则外接球半径为该长方体的体对角线长的一