2024-2025学年高中数学课时分层作业17不等关系与不等式含解析新人教A版必修5

PAGE1-课时分层作业(十七)不等关系与不等式(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－bC[法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，∴a>－b>b>－a.法二：设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.]2．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1 B．logeq\s\do6(\f(1,2))b<logeq\s\do6(\f(1,2))a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab<1C[设a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)，验证即得A，D错误；结合y＝logeq\s\do6(\f(1,2))x，y＝2x的单调性得B错误，C正确．]3．已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定B[M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1)．∵a，b∈(0，1)，∴a－1<0，b－1<0∴M－N>0，∴M>N.]4．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列推断中正确的是()A．a－c＜b－d B．ac＞bdC．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c) D．ad＞bcB[∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，∴(－a)(－c)＞(－b)(－d)，即ac＞bd.]5．若α，β满意－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是()A．－π<α－β<π B．－π<α－β<0C．－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2) D．－eq\f(π,2)<α－β<0B[从题中－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)可分别出三个不等式：－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)①，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)②，α<β③.依据不等式的性质，②式同乘以－1得－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)④，依据同向不等式的可加性，可得－π<α－β<π.由③式得α－β<0，所以－π<α－β<0.]二、填空题6．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________．x2＋2>3x[(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以x2＋2>3x.]7．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．f(x)＞g(x)[∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x)．]8．某公司有20名技术人员，安排开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预料产值如下：产品种类每件须要人员数每件产值(万元/件)A类eq\f(1,2)7.5B类eq\f(1,3)6今制定安排欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．20330[设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．]三、解答题9．(1)a<b<0，求证：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求证：ab>0.[证明](1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知12<a<60，15<b<36，求a－b和eq\f(a,b)的取值范围．[解]∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，∴－24<a－b<45.又eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.综上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.[实力提升练]1．若a>b>0，c<d<0，则肯定有()A．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)D[令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，所以A，B错误；eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，所以C错误．故选D.]2．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中全部的正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③D[由a>b>1，得0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，所以eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正确；幂函数y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上是减函数，所以ac<bc，②正确；因为a－c>b－c>0，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．故①②③均正确．]3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．[3，8][∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴z的取值范围是[3，8]．]4．设a，b为正实数，有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，则a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中正确的命题为________(写出全部正确命题的序号)．①④[对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝eq\f(1,a＋b)⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则eq\f(1,a＋b)≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0冲突，故a－b<1成立．对于②，取特别值，a＝3，b＝eq\f(3,4)，则a－b>1.对于③，取特别值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨设a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正确．]5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折实惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折实惠．”这两车队的原价、车型都是一样的．试依据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更实惠．[解]设该单位有职工n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)xn，所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)