2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解教师用书新人教A版必修第一册

PAGE1-4．5.1函数的零点与方程的解考点学习目标核心素养函数零点的概念及求法理解函数零点的定义，会求函数的零点数学抽象、数学运算函数零点的推断驾驭函数零点的推断方法，会推断函数零点的个数及其所在区间逻辑推理、直观想象函数零点的应用会依据函数零点的状况求参数数学运算、直观想象问题导学预习教材P142－P144，并思索以下问题：1．函数零点的概念是什么？2．如何推断函数的零点？3．方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？1．函数的零点(1)概念：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系■名师点拨函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．函数零点的推断条件(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连绵不断的曲线．(2)f(a)·f(b)＜0续表结论函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点是一个点．()(2)任何函数都有零点．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则肯定有f(a)·f(b)＜0.()答案：(1)×(2)×(3)×函数f(x)＝log2(2x－1)的零点是()A．1 B．2C．(1，0) D．(2，1)答案：A函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是()A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)解析：选D.因为f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(2)·f(3)<0，所以D正确．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________．解析：f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.答案：8已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连绵不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案：(1.25，1.5)求函数的零点推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3;(4)f(x)＝1－log3x.【解】(1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.eq\a\vs4\al()函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令f(x)＝0，依据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．1．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0))的全部零点构成的集合为()A．{1}B．{－1}C．{－1，1}D．{－1，0，1}解析：选C.当x≤0时，f(x)＝x＋1＝0⇒x＝－1；当x>0时，f(x)＝log2x＝0⇒x＝1，所以函数f(x)的全部零点构成的集合为{－1，1}．2．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和eq\f(1,6) B．1和－eq\f(1,6)C.eq\f(1,2)和eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)和－eq\f(1,3)解析：选B.由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，所以a＝5，b＝6，所以g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－eq\f(1,6).推断函数零点所在的区间或个数(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x＞0))的零点个数为()A．3B．2C．1 D．0(2)函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4) D．(e，＋∞)【解析】(1)当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.所以函数的零点个数为2.(2)因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，所以在(1，2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，所以f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2，3)内有零点．【答案】(1)B(2)Beq\a\vs4\al()(1)推断函数零点所在区间的3个步骤①代入：将区间端点值代入函数解析式求出相应的函数值．②推断：把所得的函数值相乘，并进行符号推断．③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．(2)推断函数存在零点的2种方法①方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能推断解的个数，可通过方程的解来推断函数是否存在零点或判定零点的个数．②图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，依据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．1．依据表格中的数据，可以判定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.602x＋55791113A.(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选C.设f(x)＝ex－2x－5，此函数的图象是连绵不断的，由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，f(3)＝20.09－11＝9.09＞0，f(4)＝54.60－13＝41.60>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的一个零点，即方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2，3)．2．推断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．解：法一：函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝lnx＋x2－3有一个零点．法二：因为f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋1＞0.所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个．依据函数的零点求参数的值已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．【答案】(1，＋∞)eq\a\vs4\al()依据函数零点个数求参数值(范围)的方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)干脆法：干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分别参数法：先将参数分别，然后转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则实数a的取值范围为________．解析：f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up12(2)＋1.若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则f(x)＝0在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有解，当－eq\f(1,2)≤x<0或0<x≤eq\f(1,2)时，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)≤0.所以实数a的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，1解析：选B.方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq\f(1,2)，1.2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A．2 B．－2C．±2 D．3解析：选C.因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析：选C.易知f(x)＝ex＋x－2在R内单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(x)的零点所在区间为(0，1)．4．函数f(x)＝2x＋x－2有________个零点．解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝－x＋2的图象，由图可知函数f(x)有1个零点．答案：1[A基础达标]1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连绵不断的，且有如下对应值表：x123f(x)3.42.6－3.7则函数f(x)肯定存在零点的区间是()A．(－∞，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，＋∞)解析：选C.若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0则f(x)在(a，b)上肯定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上肯定存在零点．2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0 B．－2，0C.eq\f(1,2) D．0解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函数的零点为0.3．若函数f(x)的图象是一条连绵不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满意的条件是()A．f(3)<0B．函数f(x)在定义域内是增函数C．f(3)>0D．函数f(x)在定义域内是减函数解析：选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上肯定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必需是减函数．4．函数f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．多数个解析：选B.作出y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.5．若函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是()A．－2 B．0C．1 D．3解析：选A.f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)的图象在(1，2)上是连绵不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：37．已知函数f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．解析：依题意有a＋log2a＝1，即log2a＝1－a，易知a＝1，所以f(x)＝1＋log2x，令f(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，所以函数只有一个零点2，符合题意；当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝eq\f(1,8).综上a＝eq\f(1,8)或a＝0.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))9．推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出．(1)f(x)＝x4－x2；(2)f(x)＝4x＋5；(3)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(2)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，方程4x＋5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(3)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.10．已知函数f(x)＝eq\f(cx－1,x＋1)(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．(1)求c的值；(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；(3)已知函数g(x)＝f(ex)－eq\f(1,3)，求函数g(x)的零点．解：(1)因为1为函数f(x)的零点，所以f(1)＝0，即c＝1.(2)证明：设0≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2－1,x2＋1)－eq\f(x1－1,x1＋1)＝eq\f(2（x2－x1）,（x2＋1）（x1＋1）)，因为0≤x1<x2≤2，所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数．(3)令g(x)＝f(ex)－eq\f(1,3)＝eq\f(ex－1,ex＋1)－eq\f(1,3)＝0，所以ex＝2，即x＝ln2，所以函数g(x)的零点是ln2.[B实力提升]11．方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为()A．(0，2) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选C.令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3eq\f(2,3)<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，所以方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为(2，3)．12．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3013．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？解：方程f(x)＝0在区间