2024-2025学年高中数学第一章集合与函数概念章末复习提升课热考强化素养提升新人教A版必修1

PAGE1-第一章集合与函数概念1．已知集合A＝{x|y＝eq\r(3－x)}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝()A．∅B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．(－∞，3]∪{4}解析：选C.因为y＝eq\r(3－x)，要使函数有意义，则需3－x≥0，即x≤3，即A＝(－∞，3]，又B＝{0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{0，1，2，3}，故选C.2．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2，x∈[0，1]，,2，x∈（1，2），,x＋1，x∈[2，＋∞）))的值域是()A．R B．(0，2)∪(2，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，2]∪[3，＋∞)解析：选D.①当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]；②当x∈(1，2)时，f(x)＝2；③当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝x＋1∈[3，＋∞)．综上所述，f(x)的值域为[0，2]∪[3，＋∞)．故选D.3．(2024·沈阳期末)已知函数y＝eq\f(k,x－2)(k≠0)在[3，8]上的最大值为1，则k的值为()A．1 B．－6C．1或－6 D．6解析：选A.由题意知，当k＞0时，函数y＝eq\f(k,x－2)在[3，8]上单调递减，因为函数在[3，8]上的最大值为1，所以eq\f(k,3－2)＝1，所以k＝1；当k＜0时，函数y＝eq\f(k,x－2)在[3，8]上单调递增，因为函数在[3，8]上的最大值为1，所以eq\f(k,8－2)＝1，解得k＝6(舍去)，故选A.4．(2024·赣州高一检测)如图，点P在边长为2的正方形的边上运动，设M是边CD的中点，则当P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程x与△APM的周长y之间的函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选D.依据题意和图形可知，点P按A→B→C→M的依次在边长为2的正方形边上运动时，若0＜x≤1，则△APM的周长为y＝eq\r(5)＋x＋eq\r(（x－1）2＋22)＝eq\r(5)＋x＋eq\r(x2－2x＋5)；若1＜x≤2，则△APM的周长为y＝eq\r(5)＋x＋eq\r(（x－1）2＋4)＝eq\r(5)＋x＋eq\r(x2－2x＋5)；若2＜x≤4，则△APM的周长为y＝eq\r(5)＋eq\r(（x－2）2＋22)＋eq\r(（4－x）2＋12)＝eq\r(5)＋eq\r(x2－4x＋8)＋eq\r(x2－8x＋17)；若4＜x＜5，则△APM的周长为y＝eq\r(5)＋(5－x)＋eq\r([2－（x－4）]2＋22)＝eq\r(5)＋(5－x)＋eq\r(x2－12x＋40)；由此知，y关于x的函数图象分三段，且为非线性函数，故满意条件的是选项D.故选D.5．(2024·湖州高一检测)已知函数f(x)＝eq\f(2ax2＋1,x)(a∈R)．(1)若f(1)＝2，求函数y＝f(x)－2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域；(2)当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，试推断f(x)在(0，1]上的单调性，并用定义证明你的结论．解：(1)依据题意，函数f(x)＝eq\f(2ax2＋1,x)，若f(1)＝2，则eq\f(2a＋1,1)＝2，解得a＝eq\f(1,2)，则f(x)＝eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)，则y＝f(x)－2x＝eq\f(1,x)－x，设g(x)＝eq\f(1,x)－x，分析易得g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上为减函数，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，g(2)＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，故y＝f(x)－2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))).(2)f(x)＝eq\f(2ax2＋1,x)＝2ax＋eq\f(1,x)，当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)在(0，1]上为减函数，证明：设0＜x1＜x2≤1，f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax2＋\f(1,x2)))＝(2ax1x2－1)·eq\f(（x1－x2）,x1x2)，又由a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))且0＜x1＜x2≤1，则(x1－x2)＜0，(2ax1x2－1)＜0，则f(x1)－f(x2)＞0，即函数f(x)在(0，1]上为减函数．6．(2024·辽阳期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝1－x.(1)求f(0)＋f(－2)；(2)求f(x)的解析式；(3)求关于x的不等式－2≤f(x)≤0的解集．解：(1)依据题意，当x≥0时，f(x)＝1－x.则f(0)＝1－0＝1，f(2)＝1－2＝－1，又由函数为偶函数，得f(－2)＝f(2)＝－1，则f(0)＋f(－2)＝－1＋1＝0.(2)设x≤0，即－x≥0，则f(－x)＝1－(－x)＝1＋x，又由函数为偶函数，得f(x)＝f(－x)＝1＋x，则f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x，x<0，,1－x，x≥0.))(3)依据题意，当x≥0时，f(x)