2024年泰国IMO代表队选拔考试试题

题1.设a₁,…..,an,b₁,...,bn为2n个正整数，使得下列n+1个乘积a₁a₂a₃…an,b₁a₂a₃…an,b₁b₂a₃…an按此顺序形成严格递增的等差数列.求最小的正整数，使得这个正整数可以为该数列的公差.题2.设ABC为一个锐角三角形，其外接圆为w.一个圆T内切于w于点A,并且也切BC于点D.设AB和AC分别与T交于点P和Q.设M和N为直线BC上的点，使得B为DM的中点，C为DN的中点.直线MP和NQ在点K相交，并分别再次与F交于点I和J.射线KA与三角形IJK的外接圆再次交于点X≠K.证明∠BXP=∠CXQ.题3.设N为一个正整数，考虑一个N×N的网格.一个右下路径是网格单元的一个序列，其中每个单元要么是序列中前一个单元右侧的一个单元，要么是下方的一个单元.一个右上路径是网格单元的一个序列，其中每个单元要么是序列中前一个单元右侧的一个单元，要么是上方的一个单元.证明N×N网格的单元不能被划分成少于N条右下或右上路径.例如，下面的5×5网格的划分使用了5条路径题4.设m和n为大于1的正整数.在一个m×n网格的每个单位平方内都有一枚硬币，所有硬币的背面朝上.一次操作包括以下步骤：选择网格中的一个2×2方块；翻转左上角和右下角单位平方内的硬币；翻转右上角或左下角单位平方内的硬币.确定所有可能的(m,n)对，使得在有限次操作后每枚硬币都显示正面.题5.已知a₁<a₂<a₃<...为正整数，使得对于每个k≥1,ak+1整除2(a₁+a₂+…+ak).假设对于无限多个质数p,存在k使得p整除ak.证明对于每个正整数n,存在k使得n整题6.设N为一个正整数.证明存在三个1,...,N的排列a₁,...,an,b₁,...,bn和C₁,...,CN,使得对于每个k=1,2,...,N,都有第三天题7.对于正整数n和k≥2,定义E.(n)为最大的指数r,使得k"整除n!.证明多个n使得E1o(n)>E₉(n),并且题9.设ABC为一个锐角、不等边三角形，其垂心为H.设la为通过点B关于CH的对称点和点C关于BH的对称点的直线.类似地定义直线Cb和C.假设直线la、b和e确定一个三角形T.证明T的垂心、外心以及H共线.题10.求将n×n网格的n²个方格划分成n个大小分别为1、3、5、...、2n-1的连通块的方法数，使得每个块关于连接网格右下角和左上角的对角线对称.一个连通块是指一组方格，其中任意两个方格可以通过该组内的相邻方格序列相连.两个方格相邻当且仅当它们共享一条边.题11.设ABC为一个三角形，其内心为I.设AI与BC交于D.点P,Q位于三角形ABC内部，使得∠BPA+∠CQA=180°并且B,Q,I,P,C按此顺序共圆.BP与CQ交于X.证明◎(ABC)和⊙(APQ)的交点位于直线XD上.题12.设a,b,c,d为满足下列条件的正整数：求a+b+c+d的所有可能值.题13.求所有整系数多项式P,满足对于这些多项式，存在一个整数an,使得P(an)=n"对所有正整数n成立.题14.设a₁,a₂,...,a₂023为正整数，满足a₁,a₂,...,a₂023是1,2,..,2023的一个排列，并且|a₁-a₂|,|a₂-a₃|,...,|a₂022-a₂023|是1,2,...,2022的一个排列.证明max(a₁,a₂023)≥507.题15.艾丽莎有2023个宝箱，最初所有宝箱都是未上锁且空的.每天，艾丽莎会选择一个未上锁的宝箱放入一颗新的宝石，之后，一个仙女会根据以下规则行动：如果有多于一个宝箱未上锁，它会上锁其中一个，或者如果只有一个宝箱未上锁，它会打开所有宝箱.已知这个过程会永远进行下去，证明存在一个常数C,具有以下性质：无论仙女选择上锁哪些宝箱，艾丽莎可以确保任意两个宝箱中宝石数量的差值永远不会超过C题16.设ABCD为一个圆内接四边形，满足∠BAD<∠ADC.设M为不包含A的弧CD的中点.假设存在一个点P在ABCD内部，使得∠ADB=∠CPD和∠ADP=∠PCB.证题17.设n≥2为一个正整数.保罗有一个1×n²的矩形条，由n²个单位正方形组成，且对于所有1≤i≤n²,其中第i个正方形标记为i.他希望将矩形条切割成若干块，每块由连续的单位正方形组成，然后通过平移(不旋转或翻转)这些块来得到一个n×n的正方形，满足以下性质：如果第i行第j列的单位正方形标记为aij,那