2024-2025学年高中数学课时分层作业16离散型随机变量的方差含解析北师大版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(十六)离散型随机变量的方差(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较B[∵DX甲>DX乙，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．]2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝eq\f(1,3)(k＝1,2,3)，则D(3X＋5)＝()A．6B．9C．3D．4A[EX＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，∵Y＝3X＋5可能取值为8,11,14，其概率均为eq\f(1,3)，∴EY＝8×eq\f(1,3)＋11×eq\f(1,3)＋14×eq\f(1,3)＝11.∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×eq\f(1,3)＋(11－11)2×eq\f(1,3)＋(14－11)2×eq\f(1,3)＝6.]3．同时抛掷两枚匀称的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则Dξ＝()A．eq\f(15,8)B．eq\f(15,4)C．eq\f(5,2)D．5A[两枚硬币同时出现反面的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,4)))，因此Dξ＝10×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(15,8).故选A.]4．已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则①EX＝－eq\f(1,3)；②DX＝eq\f(23,27)；③P(X＝0)＝eq\f(1,3).其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3C[EX＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正确；DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正确；③P(X＝0)＝eq\f(1,3)明显正确．]5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(n－k)，k＝0,1,2，…，n，且Eξ＝24，则Dξ的值为()A．8B．12C．eq\f(2,9)D．16A[由题意可知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，所以eq\f(2,3)n＝Eξ＝24.所以n＝36.所以Dξ＝n×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)×36＝8.]二、填空题6．若事务在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事务在一次试验中发生的概率为________．0.5[事务在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ听从两点分布，则Dξ＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.]7．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，Eξ＝1，则Dξ＝________.eq\f(2,5)[由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由Eξ＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以Dξ＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).]8．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(1,12)若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.eq\f(5,12)eq\f(1,4)[由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－1－02×a＋0－02×b＋1－02×c＋2－02×\f(1,12)＝1，))解得a＝eq\f(5,12)，b＝c＝eq\f(1,4).]三、解答题9．一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事务是相互独立的，并且概率是eq\f(1,3).(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．[解](1)易知司机遇上红灯次数ξ听从二项分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴Eξ＝6×eq\f(1,3)＝2，Dξ＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).(2)由已知η＝30ξ，∴Eη＝30Eξ＝60，Dη＝900Dξ＝1200.10．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1依据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．[解]∵EX1＝0，EX2＝0，∴EX1＝EX2.∵DX1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；DX2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴DX1<DX2.由上可知，A面大钟的质量较好．[实力提升练]1．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6B[∵X～B(10,0.6)，∴EX＝10×0.6＝6，DX＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴Eη＝8－EX＝2，Dη＝(－1)2DX＝2.4.]2．已知A1，A2为两所高校实行的自主招生考试，某同学参与每所高校的考试获得通过的概率均为eq\f(1,2)，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参与其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则DX＝()A．eq\f(3,16)B．eq\f(5,4)C．eq\f(25,64)D．eq\f(19,64)A[因为X的取值为0,1，P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以EX＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，DX＝eq\f(9,16)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,16)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16).故选A.]3．设一随机试验的结果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则ξ的方差Dξ＝________.m(1－m)[随机变量ξ的分布列为：ξ01P1－mm所以Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m.所以Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．]4．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则EX，DX的值分别是________、________.p(1－p)p[由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故EX＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X听从两点分布，∴DX＝p(1－p)．]5.现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量X1(万元)，依据市场分析，X1的分布列为X11211.811.7Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)投资B项目100万元，一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p(0≤p<1)．经专家测算评估，B项目产品价格的下调次数与一年后获得相应利润的关系如下表：B项目产品价格一年内下调次数X(次)012投资100万元一年后获得的利润X2(万元)1312.52(1)求X1的方差DX1；(2)求X2的分布列；(3)若p＝0.3，依据投资获得利润的差异，你情愿选择投资哪个项目？(参考数据：1.22×0.49＋0.72×0.42＋9.82×0.09＝9.555)[解](1)X1的分布列为X11211.811.7Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)则EX1＝12×eq\f(1,6)＋11.8×eq\f(1,2)＋11.7×eq\f(1,3)＝11.8，DX1＝(12－11.8)2×eq\f(1,6)＋(11.8－11.8)2×eq\f(1,2)＋(11.7－11.8)2×eq\f(1,3)＝0.01.(2)设Ai表示事务“第i(i＝1,2)次调整，价格下调”，则P(X＝0)＝P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(A2))＝(1－p)2，P