人教版数学九下同步讲练课件27.2 相似三角形 第六课时

27.2相似三角形第6课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入(1)什么叫相似三角形？对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.(2)如何判定两个三角形相似？①定义；②预备定理(平行)；③三边对应成比例；④两个角对应相等；⑤两边对应成比例，且夹角相等；

温故知新直角三角形（HL)新课精讲探索新知1知识点相似三角形对应线段的比

三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？问

题探索新知探究：

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′.ABDCA’B’D’C’探索新知∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′.又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ABD∽△A′B′D′.∴类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k.探索新知归

纳

这样，我们得到：

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.

一般地，我们有：

相似三角形对应线段的比等于相似比.探索新知例1如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH

内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比

为1∶2，若BC＝30cm，AD＝10cm，求矩形EFGH的周长．探索新知导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，所以△AEH

与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相

似比可求出HG的长，进而求出EH的长，即可求得

矩形EFGH的周长．解：设HG＝xcm，则EH＝2xcm.易得AP⊥EH.∵AD＝10cm，∴AP＝(10－x)cm.∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC．∴

解得x=6．∴HG＝6cm，EH＝12cm.∴矩形EFGH的周长为36cm.探索新知总

结

相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中“对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中线，对应角的平分线．典题精讲如图，△ABC

与△A′B′C′相似，AD，BE

是△ABC

的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高，∴又BE，B′E′分别是△ABC，△A′B′C′的高，∴

∴证明：ABDCEA’B’D’C’E’典题精讲已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为

，

则△ABC与△DEF对应中线的比为(

)A.B.C.D.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，若BD＝4cm，则B′D′的长是(

)A．3cmB．4cmC．6cmD．8cmAC探索新知2知识点相似三角形周长的比

某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米(如图)．现在的问题是：它的周长是多少？问

题探索新知解答：将上面生活中的问题转化为数学问题是：

如图，已知DE∥BC，AB=30m，BD=18m，

△ABC

的周长为80m，求△ADE的周长.

探索新知∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴由比例的性质可得，而△ADE的周长=AD＋AE＋DE，△ABC的周长=AB＋AC＋BC，∴∴△ADE的周长=32m.探索新知归

纳

从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周长比等于相似比.探索新知例2已知两个相似三角形的最短边分别为9cm和6cm.

若它们的周长之和为60cm，则这两个三角形的周

长分别是多少？导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，由此可

确定相似比，进而根据已知条件，解以一个三角形

周长为未知数的方程即可．探索新知解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边

AC＝9cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6cm.则∴△ABC和△A1B1C1的相似比为设△ABC的周长为xcm，

则△A1B1C1的周长为(60－x)cm.∴∴△ABC的周长为36cm，△A1B1C1的周长为24cm.解得x＝36，60－x＝24.探索新知总

结

相似三角形周长的比等于相似比．在解题时，如果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.典题精讲△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF

的周长比为(

)A．1∶2B．1∶3

C．1∶4D．1∶16C典题精讲如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为(

)

A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5A探索新知3知识点相似三角形面积的比相似三角形面积的比与相似比有什么关系？如图，由前面的结论，我们有问

题ABCDEF探索新知归

纳这样，我们得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方．探索新知例3

如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．

若△ABC的边BC上的高为6，

面积为，求△DEF的边EF上的高和面积．ABCDEF探索新知解：在△ABC和△DEF中，∵

AB=2DE，AC=2DF，∴又∠D=∠A，∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为∵△ABC的边BC上的高为6，面积为∴△DEF的边EF上的高为

面积为

探索新知总

结

利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题．警示：不要误认为面积的比等于相似比．典题精讲1判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.

(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍； （）

(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.

（）√×典题精讲已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(

)A．1∶4B．4∶1C．1∶2D．2∶12A如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(

)A.B.C.

D.3D典题精讲有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于(

)A．1：

B．1：2C．2：3D．4：94D典题精讲如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是(

)A．1：3B．1：4C．1：5D．1：255B易错提醒如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.解：因为S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.所以所以易错提醒易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．学以致用小试牛刀1若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(

)A．3∶2B．3∶5

C．9∶4D．4∶9A小试牛刀如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是(

)A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③2D小试牛刀如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(

)A．25：9

B．5：3

C.

D．3A小试牛刀4如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABC＝2∠BAM.(1)求证：AG＝BG；(2)若M为BC的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG的面积．小试牛刀∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC.∴∠ABC＝2∠ABG.又∵∠ABC＝2∠BAM，∴∠BAG＝∠ABG.∴AG＝BG.证明：(1)求证：AG＝BG；小试牛刀证明：(2)若M为BC的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG的面积．∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴△BGM∽△DGA.∵M为BC的中点，∴BM＝

BC＝

AD.即△BGM与△DGA的相似比为1∶2，∴S△BGM∶S△DGA＝1∶4.∵S△BGM＝1，∴S△DGA＝4.小试牛刀5如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°.(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．小试牛刀解：(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交

⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；如图.小试牛刀解：(2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．如图，连接OD，设⊙O的半径为r.在△ABE和△DCE中，∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝AC＝r.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∵OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC＝45°，∴∠DOC＝90°.小试牛刀在Rt△ODC中，DC＝∴小试牛刀6如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(，

)，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD对应的函数解析式；(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．小试牛刀(1)求直线AD对应的函数解析式；解：设直线AD对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将D(0，1)，A(，)的坐标代入解析式得

解得∴直线AD对应的函数解析式为y＝

x＋1.小试牛刀解：(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．直线AD对应的函数解析式为y＝

x＋1.令y＝0，得x＝－2.∴B(－2，0)，即OB＝2.直线AC对应的函数解析式为y＝－x＋3.令y＝0，得x＝3.∴C(3，0)，即BC＝5.小试牛刀设E(x，＋1)

，①当E1C⊥BC时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1BC.∴△BOD∽△BCE1.此时点C和点E1的横坐标相同．将x＝3代入y＝

x＋1，解得y＝.∴E1(3，).②当CE2⊥AD时，如图，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，∴△BOD∽△BE2C.小试牛刀过点E2作E2F⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，∠CE2F＋∠BE2F＝90°.∴∠E2BF＝∠CE2F.∴△E2BF∽△CE2F，则