湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题 含解析

学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试题85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点到准线的距离为（）A.B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义求解即可.【详解】抛物线，则，焦点为，准线为，所以焦点到准线的距离为2.故选：C2.在等差数列中，若，则的值为（）A.30B.40C.50D.60【答案】D【解析】【分析】利用等差数列下标和的性质得，进而可求.【详解】由，得，即，所以故选：D3.已知，是双曲线P是和的等差中项，则的值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】第1页/共20页，进而可证，即可求.【详解】由双曲线，得，，因为是和等差中项，所以，即①，由双曲线的定义得②，由①②得，，，所以，即，故故选：B4.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最小值时n为（）A.8B.9C.8或9D.9或10【答案】C【解析】【分析】由等比数列的通项公式可得，利用二次函数与指数函数的性质即可求解.【详解】由题意得，因为，，所以，函数的开口向上，对称轴为，因为，所以或时，取最小值，即取最小值.故选：C.5.在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（）第2页/共20页A.若，则点的轨迹为椭圆B.若，则点的轨迹为椭圆C.若，则点的轨迹为直线D.若，则点的轨迹为双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可.【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误；设，由，所以，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误；由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误；由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确.故选：D6.设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意可设，，结合与的关系可得.【详解】因数列，均为等差数列，故由，可设，，则，，第3页/共20页则故选：B7.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由内切圆性质可得，结合椭圆的定义即可求解.【详解】连接并延长，交x轴于点Q，则，则，所以，所以，由得，所以.故选:C.8.已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上第4页/共20页的倾斜角为的直线交椭圆于AB是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，处的切线方程，进而即可求解.【详解】解：由题可知，直线AB的斜率k为，设，则椭圆的离心率，所以，，即焦点坐标为，所以抛物线方程为，故在点处的切线方程为，令，，因为，所以是首项2，公比的等比数列，即故选：A.二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（）第5页/共20页A.B.C.若，则D.【答案】BCD【解析】【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D..【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即，，直线AB的斜率不可能为0，设其方程为，联立，消去x，得，，故，故A错误，B正确；对于C，若，则，则，C正确；对于D，由抛物线的定义知，，又，，即选项D正确.故选:BCD10.设等差数列的前n项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（）A.当最大时，B.使的最大k值为4045C.第6页/共20页D.在数列中，当时，取最大值【答案】ACD【解析】【分析】由，则或，结合有最大值，则，利用等差数列前n项和的最值即可判断A，利用等差数列的性质与前n项和公式即可判断B，利用二次函数的性质可判断C，利用数列与不等式可判断D.【详解】由得，则或，即或，因为有最大值，所以，故当最大时，，A正确；因为，，B错误；根据等差数列前n项和的函数性质，先增大后减小，因为的图象过原点，且，又因为，，所以，所以C正确；当时，，又因为，当时，，当时，，因为且，第7页/共20页所以，D正确.故选：ACD.已知双曲线的右顶点为，过点A作的一条切线与双曲线交于点BAB中点为PA作的另一条切线与双曲线交于点DABAD的斜率分别为，）A.双曲线方程为B.双曲线的离心率C.D.过定点【答案】ABD【解析】【分析】根据题意设点代入方程化简得出即求出离心率判断B，得出轨迹方程可判断A，结合点到直线距离及韦达定理即可判断C，应用斜率公式计算求解得出定点判断D.，，代入双曲线方程得：①，②，①-②得：，即，由题可知，，，所以，又因为是AB中点，所以，，即，所以，则，故B正确;第8页/共20页由题得，，所以双曲线方程为，故A正确；圆M的圆心为，半径为r，设切线方程为，则，即，则，是上述方程的两根，根据韦达定理可得，故C错误;由，则，，设AD的中点为Q，由①可得：，即：，，因为，，所以③，④，因为，将③④分别代入，则：，即⑤，，即⑥，⑤-⑥得：，所以直线BD过定点，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.若等比数列的各项均为正数，且，则__________.【答案】6第9页/共20页【解析】【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算求解可得.【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，则，因为，由等比数列的性质知：，所以故答案为：613.已知数列满足，且，则数列通项公式为__________.【答案】【解析】【分析】由递推公式可得，从而得到是等比数列，利用等比数列通项公式得到从而得到的通项公式.【详解】解：因为，所以，又因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即故答案：14.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据条件依次求得P点坐标、与，进而得，由第10页/共20页，令，则，即可求得t的取值范围.【详解】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则，所以，，即，所以，因为，令，则所以，即，所以，故故答案为：第11页/共20页率，然后根据离心率范围求解.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列各项均为正数，设数列的前n项和为，其中（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】1）利用前n项和与通项公式的关系证明是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可.（2）写出新数列的通项公式，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求和即可.【小问1详解】，当时，，得或舍，当时，，，即，数列的各项均为正数，即，，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，【小问2详解】，①，②，①-②得：，第12页/共20页16.已知双曲线的左顶点为e为的直线l交双曲线左支于A，B两点.（1）求双曲线C的标准方程;（2）若O是坐标原点，且，求直线l的斜率.【答案】（1）（2）【解析】1）根据顶点和离心率列方程求解可得；（2）设出直线方程，联立双曲线方程消去y，韦达定理结合列方程求解可得.小问1详解】由题得，解得，双曲线C的标准方程为【小问2详解】由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立双曲线的方程，得，设，，则，，直线l交双曲线左支于A，B两点，第13页/共20页，解得，，，即，解得或，，时，17.设数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）令，设为数列的前n项和，是否存在常数t，使对恒成立?若存在，求出t的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，最小值为【解析】1）利用数列的与的关系式消去，判断为等比数列，即得其通项；（2）代入计算并化简，利用裂项相消法求得，由数列解析式的单调性求得其范围即可.第14页/共20页【小问1详解】由①，当时，，即，当时，②，①-②得：，即，所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，故，【小问2详解】由，可得，，，故由于单调递增，可得，即，则存在常数t，使对恒成立，即，故t的最小值为18.已知平面内一个动点Q到点的距离比它到直线的距离少（1）求点Q的轨迹方程;（2）已知是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC，BD交于点P，且，设的中点分别为点①证明：三点共线;②若点P为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值.第15页/共20页【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】1）设点，由题意得，化简可得；（2CD分别为PA，PB的中点，可得轴，则M，N，P三点共线；②点，，时，取得最大值，即可求得四边形面积的最大值.【小问1详解】设点，由题得，将上式两边同时平方，得，化简得：，当时，，当时，，此时轨迹不存在，综上：点Q的轨迹方程为【小问2详解】第16页/共20页①由，，可知C，D分别为的中点，即得，则直线AB和直线CD的斜率相等，即，设，，，，则点M的横坐标，点N的横坐标，由，得，即，则，所以，所以轴.设，由点是的中点，可得，，因点在抛物线上，故，整理得，同理得，，是方程的两个根，，第17页/共20页且，，有，得轴，故三点共线.②因为点为半椭圆上的动点，则，且，又，则，因为，因，且相似比为，故，其中，当时，取得最大值，此时四边形面积取得最大值为第18页/共20页【点睛】关键点点睛：（2）①得到后，利用斜率公式得，则轴，再证得轴，即得M，N，P三点共线；的面积用表示为：数的性质求最大值.19.已知，共有mi，，或中至少有一个仍是中的项，则称数列为“乘或除封闭数列”.（1）若且，判断数列是否为“乘或除封闭数列”;（2）已知递增数列，3，，27，“乘或除封闭数列”，求，，（3）已知各项均为正且单调递增数列为“乘或除封闭数列”，若，证明：数列是等比数列.【答案】（1）不是（2），，；（3）证明见解析【解析】1）利用题目定义验证即可；（2）利用或中至少有一个仍是中的项，推理可得答案；（3）结合新定义得出，进而可得数列是等比数列.【小问1详解】由题意知，数列为2，4，8，16，32，因为和均不是中的项，所以数列不是“乘或除封闭