八年级下册《变量与函数》课件与练习

第十九章

一次函数19.1函数19.1.1变量与函数第1课时

变量与常量

1.通过识别简单实际问题中的变量和常量及其意义，能举出现实生活中的常量和变量，形成初步的抽象能力.2.通过寻找两个变量之间的数量关系和变化规律，发展抽象能力.学习重点：变量和常量的意义.学习难点：寻找变量之间的关系.t（分）…1251015…S（米）……问题：1.在这个行程问题中，我们所研究的对象有几个量？2.几个所研究的对象中，哪些是变化的量，哪些是始终不变的量？他们之间存在怎样的数量关系？五一假期，李想和朋友从河中门口出发，骑自行车去润泽湖公园游玩，假设他们匀速行驶，每分钟骑200米骑车的总路程为s米，骑车的时间为t分钟.填一填：（创设情境）学生活动一【一起探究】t/h12345s/km思考下面问题，并填表：1.汽车以60

km/h

的速度匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th．60120180240300速度×时间路程=____________（1）在以上这个过程中，变化的量是_______________．始终不变的量是________________．（2）试用含t的式子表示s，s=_______.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间____的变化过程.时间t、路程s速度60千米/时60t

st票房收入=

单价×售票张数第一场票房收入=10×150=1500（元）第二场票房收入=10×205=2050（元）第三场票房收入=10×310=3100（元）2.每张电影票的售价为10元，第一场售出票150张票，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？（1）在以上这个过程中，变化的量是_

．始终不变的量是___________．（2）试用含x的式子表示y，y=______.这个问题反映了票房收入____随售票张数____的变化过程．10x售票张数x、票房收入y

售价10元yx圆面积S与圆的半径r之间的关系式是_________；其中变化的量是_______；始终不变的量是_____.这个问题反映了____________随_______的变化过程．3.圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r

分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？

S

的值随r的值的变化而变化吗？S=πr2πS，r圆的面积S半径r数值发生变化的量数值始终不变的量上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？变量常量S=60ty=10x变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.请指出上面各个变化过程中的常量、变量.y=5–xS=πr2在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.学生活动二【一起探究】

5a，m2，πC，r

S，h学生活动二【自主探究】指出下列事件过程中的变量和常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油

x

升，车主加油付油费为y元；（2）小明看一本200

页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n；（3）用长为40cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为xcm，其面积为Scm2；（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.例2

阅读并完成下面一段叙述：⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是

,变量是

；⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是

,变量是

；3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：_.

在不同的条件下，常量与变量是相对的at，ssa，t学生活动二【一起探究】区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.请你举出生活中变化的实例，并指出其中的常量与变量.学生活动三【一起探究】怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度L(cm)?例3

弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：解:由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.重物的质量(kg)12345弹簧长度(cm)10.51111.51212.5如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度

L(cm)为

.L=12-0.5m

VRa，n50

3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是

__，

其中的常量是_______，变量是

.

Q=40-5t40，5Q，t4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是

．y=0.5xx5080100150y254050755.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.x

123…ny…11+21+2+31+2+3+…+n完成表格，并写出瓶子总数y

与层数x之间的关系式.

C2.在圆的周长公式C=2πR中，下列说法正确的是()A.

C,π,R

是变量,2是常量B.

R是变量,C,2,

π是常量

C.

C是变量,2,R,π是常D.

C,R

是变量,2,π是常量D3.小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数

x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表示为_____________.y=2x4.一个三角形的底边长5cm,高h可以任意伸缩.写出面积S随h变化关系式,并指出其中的常量与变量.

解：变量是s,h

5.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7℃，已知山脚下温度是23℃，写出温度y℃与上升高度xm之间的关系式，并指出其中的常量与变量.解：y=23-0.007x变量是x

，y常量是23，0.0076、等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表示为

，变量:

，常量:

.x,y2,180

思考：用10cm长的绳子围成矩形，试改变矩形的长、宽，观察矩形的面积怎样变化，试举出三组长、宽的值.计算相应矩形的面积的值，然后探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Scm2，怎样用含x的式子表示S？1

长

xcm宽(5-x)cm432.5122.5面积scm2466.25解：从现实问题出发，寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法及步骤：1.确定事物变化中的变量与常量.2.尝试运算寻求变量间存在的规律.3.利用学过的有关知识确定关系式.变量和常量的概念:在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量叫做

;数值始终不变的量叫做

.

变量常量知识梳理课后作业1.在圆的周长C=2πr中,常量与变量分别是(

)A.2是常量,C,π,r是变量B.2,π是常量,C,r是变量C.C,2是常量,r是变量 D.2是常量,C,r是变量B课时学业质量评价2.以固定的速度v(m/s)向上抛一个小球,小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的关系式是h=vt-4.9t2,在这个关系式中,常量、变量分别为(

)A.4.9是常量,t,h是变量 B.v是常量,t,h是变量C.-4.9,v是常量,t,h是变量 D.4.9是常量,v,t,h是变量C3.一根冰激凌的单价为6元,购买x根这种冰激凌时,花费为y元,则用x表示y是____________,其中变量是_______,常量是_____.y=6xx，y64.汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶的路程为skm,行驶的时间为th;如表格所示,表是部分t值所对应的s的值.则行驶的路程s(km)和行驶的时间t(h)的关系式为__________,在这个关系式中,_____是常量,_________是变量.s=60t60t/h12345s/km60120180240300t，s5.下列问题中哪些是变量,哪些是常量?这些量之间具有怎样的关系?(1)某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出水0.2升,小明发现不断改变放水时间x(分)的大小,饮水机中剩余水量y(升)就随之发生变化;(2)等腰三角形顶角度数y随底角度数x的变化而变化.解:变量为x,y;常量为20,0.2.关系为y=20-0.2x.解:变量为x,y,常量为180°,2.关系为y=180°-2x.6.有边长为1的小等边三角形卡片若干张,使用这些三角形卡片拼出边长分别为2,3,4,……的大等边三角形(如图所示).根据图形推断,每个大等边三角形所用的小等边三角形的卡片数S与大等边三角形的边长n的关系式是___________.S=n2第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数《第1课时变量与常量》同步练习变量与常量的识别1.小军用50元钱买单价为8元的笔记本,他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式为Q=50-8x,则下列说法正确的是(

)

A.Q和x是变量 B.只有50是常量C.50和x是常量 D.只有x是变量A基础过关2.李师傅到单位附近的加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,则其中的常量是(

)A.金额 B.数量C.金额和数量D.单价D3.某年第一期国债存期为3年,年利率为p,不计复利.购买x元这期国债,3年后可得利息y=3px元.在y,p,x中,变量的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3C4.已知y与x之间的关系为y=x-1.显然,当x=1时,y=0;当x=2时,y=1.在这个等式中(

)A.x是常量,y是常量 B.x是变量,y是常量C.x是常量,y是变量 D.x是变量,y是变量D5.下列关于常量和变量的说法中,正确的说法有(

)①在一个变化过程中,允许出现多个变量和常量;②变量就是变量,不可以转化为常量;③变量和常量是相对而言的,在一定条件下可以相互转化;④在一个变化过程中,变量只有2个,常量可以没有,也可能有多个A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B

C7.谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化过程中变量是___________________.

厚度和时间能力突破

y=3xx,y9.阅读并完成下面一段叙述:(1)某人持续以am/min的速度跑步,tmin跑了sm,其中常量是_______,变量是________.

(2)在tmin内,不同的人以不同的速度am/min各跑了sm,其中常量是_______,变量是__________.

(3)sm的路程,不同的人以不同的速度am/min各需跑的时间为tmin,其中常量是_________

,变量是___________

.

as,tta,ssa,t10.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间有如下关系:(其中0≤x≤30)(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?素养达标25710121314172047.853.556.359.059.859.959.858.355.0解:由题中表格可知,提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量;(2)当提出概念所用时间是5分钟时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念几分钟时,学生的接受能力最强?(4)从表中可知,当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?解:由题中表格所知,当提出概念所用的时间为5分钟时,学生的接受能力是53.5;解:提出概念13分钟时,学生的接受能力最强,为59.9;解:当x在2分钟至13分钟的范围内时,学生接受能力逐步增强.当x在13分钟至20分钟的范围内时,学生接受能力逐步降低.第十九章

一次函数19.1函数19.1.1变量与函数第2课时

函数1.通过丰富的实例,了解函数的概念,能举出函数的实例,初步形成模型观念.2.以问题情境为载体,初步了解函数的三种表示方法及其特点,提高创新意识和应用意识.3.能确定简单函数的自变量的取值范围，并会求函数值，发展运算能力.学习重点：自变量和函数的意义.学习难点：从变化的角度分析问题.完成下列问题，并指出其中的变量与常量.①小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表示为_____________；②圆的周长C与半径r的关系式________________；③n边形的内角和S与边数n的关系式______________；④等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表示为

.y=2xs=(n-2)×180°

（小试身手）c=2πr（探索研究）1.小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表示为________；y=2x请同学们根据题意填写下表:

x（本）12345y（元）

2468102.圆的周长C与半径r的关系式________________；半径r12345圆周长c2πC=2πr请同学们根据题意填写下表:4π6π8π10π顶角x30°40°50°60°…底角y边数n3456…内角和s3.n边形的内角和S与边数n的关系式______________;s=(n-2)×180°180°540°360°720°4.等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表示为__________.75°70°65°60°（探索研究）请同学们根据题意填写下表:

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确实的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量,y是x的函数．(1)两个变量；(2)两个变量之间有对应关系；(3)取定x的每一个值，y都有唯一的值与x对应.对于函数y=2x

,取定x=3,y都有唯一的值6与x=3对应，此时我们把6叫做当自变量的值为3时的函数值．一般地，如果当x=a时,y=b,则b叫做当自变量为a时的函数值.学生活动一【一起探究】函数一语，起用于公元1692年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作.他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献.

1.判断下列问题中的变量y是不是x的函数？是（1）在y

=2x

中的y与x；（2）在y

=x2

中的y与x；是（3）在y2=x

中的y与x；不是学生活动二【辨析概念】（4）在下面的我国人口统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数(y)吗？年份人口数（亿）198410.34198911.06199411.76199912.52是在计算器上按下列程序进行操作:输入x（任意一个数）按键×2＋5=显示y（计算结果）填表:x13-40101y显示的数y是x的函数吗？为什么？711-35207(5)如图，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏某部位的生物电流，它们是两个变量，其中y是x的函数吗？yx是(自变量)函数关系可以表述为：输入x函数关系输出y(因变量)y的值是唯一的

汽车速度v滑行距离s当v=60时,s=12

学生活动三【一起探究】

考考你在计算器上按下列程序进行操作：输入x（任意一个数）按键×2=显示y（计算结果）下表中的x和y是输入的5个数与相应的计算结果，x1230-1y3571-1所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的关系式（用含x的式子表示y

）+，1y是x的函数y=2x+1学生活动四【一起探究】1.请用含有自变量的式子表示下列问题中的函数关系.（2）多边形的边数为n，内角和度数为y.（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为

t，行驶的路程为

s.s=60t

y=180〫(n-2)思考：（1）中，t取-2时有实际意义吗？（2）中，n

取2时有实际意义吗？那么函数关系式中的自变量的取值范围应该怎样规定呢？××函数自变量的取值范围:使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.1.当用函数关系表示实际问题时，自变量的取值不仅要使函数关系式有意义，还应该使实际问题有意义.2.当函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况.不同类型函数自变量取值范围的确定:

2求出下列函数中自变量的取值范围：（1）y=2x；解:函数式子无特殊情况，自变量x的取值范围为任何实数.解:函数式子含有二次根式，则被开方数≥0，由n-1≥0得n≥1，∴自变量n

的取值范围是n≥1.整式型

根式型解:函数式子含有分母，则分母不能为0，由x+2≠0得

x≠-2,∴自变量n

的取值范围是x≠-2.解:函数式子含有分母和二次根式，则分母不能为0并且被开方数≥0，自变量的取值范围是

k≤1且k≠-1.分式型复合型

3.希望高中今有1000本图书借给学生阅读，每个学生可以借阅5本书，写出剩余的图书本数y和借阅学生人数x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围.分析：每个学生可以借书5本，则x个学生可以借书5x本，根据剩余图书数量=图书的总数量-借出的图书总量,列出函数关系式.解：每个学生可以借书5本，则x

个学生可以借书5x本.则y与x之间的函数关系式为

y=1000-5x.自变量的取值范围为0≤x≤200，且x取整数.实际问题自带取值范围！不同类型函数自变量取值范围的确定概念：使函数解析式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.①整式型（全体实数）；②分式型（使分母不为0的实数）；③根式型（使根号下的式子的值大于或等于0的实数）；④零次型（使幂的底数不为0的实数）函数函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确实的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量,y是x的函数．自变量的取值范围1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的自变量与因变量.（1）正方形的面积S

随边长x

的变化;（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕地面积y随着人数x的变化而变化;S=x2，自变量是x，因变量是S(3)长方形的周长是18,它的长是m，宽是n.m=9-n，自变量是n，因变量是m

2.下列各曲线中不表示y

是

x的函数的是()DA.B.C.D.

D

输入x值y=x+2-2≤x≤-1y=x2-1＜x

＜1y=x+21≤x≤2输出y值A5.某中学的校办工厂现在年产值是15万元,计划.今后每年再增加2万元,年产值y(万元)与年数x的函数关系式是________,其中自变量x的取值范围是

.y=2x+15x≥1且为整数

A.x<4B.x≥4且x≠-3C.x>4D.x≤4且x≠-3

D解:∵花盆图案形如三角形,每边花有n个,总共有3n个,其中重复了算3个,∴s与n

的函数关系式为

s=3n－3(n>1的整数）7.如图所示,每个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆总个数为S,按此规律,试推断S与n的函数关系式.8.一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的余油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。（1）写出表示y与x的函数关系的式子；（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？解:函数关系式为

y=50－0.1x；解:当x=200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30，因此,当汽车行驶200km时,油箱中还有油30L.（2）指出自变量x的取值范围解:由x≥0及50－0.1x≥0，得0≤x≤500.∴自变量的取值范围是0≤x≤500.①x从0开始②最多500km(2)腰长AB=3时,底边的长.(1)y关于x的函数解析式;9.等腰三角形ABC的周长为10,底边BC长为y,腰AB长为x,求:解:y=10-2x.解:y=10-2x=10-2×3=4.(3)自变量x的取值范围;解:2.5＜x＜5.三边定理就是取值范围的限制条件10.某书定价30元，如果一次购书20本以上，超出20本的部分打八折，请写出付款金额y（单位：元）与购书数量

x（单位：本）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围.此题要分情况讨论：①购书数量不超过20

本；②购书数量超过20

本.解：y=30x（0≤x≤20）600+24（x-20）（x>20）

①购书数量不超过20

本，

y=30x.②购书数量超过20

本，

20

本按照30

元的单价，总共需要600

元；超过的数量为（x-20），超过部分的单价为24

元，所以总价格为y=600+24（x-20）.条件不同关系式就不同，可见自变量范围的重要性函数的概念:一般地，在一个变化过程中,有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是______，y是x的___________.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的____________.自变量函数知识梳理函数值课后作业1.下列所述不属于函数关系的是(

)A.长方形的面积一定,它的长和宽的关系B.x+2与x的关系C.匀速运动的火车,时间与路程的关系 D.某人的身高和体重的关系D课时学业质量评价

A3.下列曲线中,表示y是x的函数的是(

)

A. B. C. D.D4.在△ABC中,BC=8.如果BC边上的高AH=x在发生变化,那么△ABC的面积S=______,在这个问题中,变量有_______,其中_____可以看成是______的函数.4xS，xSx

解:全体实数.解:全体实数.解:x≠-2.解:x≥2.6.一台拖拉机在开始工作前,油箱中有油60L,开始工作后,每小时耗油6L.(1)写出油箱中的剩余油量W(L)与工作时间t(h)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.(2)工作3h以后,油箱中的剩余油量为多少?解：W=60-6t,自变量t的范围0≤t≤10.解：当t=3时,W=60-6×3=42(L).答:工作3h以后,油箱中的剩余油量为42L.第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数《第2课时函数》同步练习函数的概念1.函数是研究(

)A.常量与常量之间的关系B.常量与变量之间的关系C.变量与常量之间的关系D.变量与变量之间的关系D基础过关2.下列说法不正确的是 (

)A.长方形的长一定时,其面积y是宽x的函数B.圆的周长公式C=2πr中,π和r都是自变量C.高速公路上匀速行驶的汽车,其行驶的路程y是行驶的时间x的函数D.等腰三角形的周长一定时,腰长y是底边长x的函数B

C4.下列各图象中,不表示y是x的函数的是(

)A. B.C.D.D5.观察图象和表格,下列判断正确的是(

)

表格：A.y1是x的函数,y2不是x的函数B.y1和y2都是x的函数C.y1不是x的函数,y2是x的函数D.y1和y2都不是x的函数Cx-21y11234

AB8.地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化,在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y=35x+20来表示.当深度x增加5km时,y的值 (

)A.减少175℃ B.增加175℃C.不变 D.增加195℃B9.如图所示,自变量x的取值范围为______________,函数值y的取值范围为_____________.

0≤x≤40≤x≤5

B能力突破11.