2024-2025学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积课时作业含解析新人教A版必修2

PAGE1-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积[基础巩固](25分钟，60分)选择题(每小题5分，共25分)1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则该圆锥的表面积为()A．πB．2πC．3πD．4π解析：设圆锥的母线长为l，则l＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为()A．26B．28C．30D．32解析：所求棱台的体积V＝eq\f(1,3)×(4＋16＋eq\r(4×16))×3＝28.答案：B3．若圆柱的底面半径为1，其侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是()A．4π2B．3π2C．2π2D．π2解析：依题意，圆柱的母线长l＝2πr，故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.答案：A4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4eq\r(3)，则该正方体的棱长为()A.eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为eq\r(2)a，所以正三棱锥A－CB1D1的棱长为eq\r(2)a，其表面积为4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝4eq\r(3)，可得a2＝2，即a＝eq\r(2).答案：A5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，将△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体的体积是()A.eq\f(9,2)πB.eq\f(7,2)πC.eq\f(5,2)πD.eq\f(3,2)π解析：如图，△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是以△ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD为轴截面的圆锥后剩余的部分．因为AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，所以AE＝ABsin60°＝eq\r(3)，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝eq\f(5,2).V1＝eq\f(1,3)π·AE2·CE＝eq\f(5π,2)，V2＝eq\f(1,3)π·AE2·BE＝π，所以V＝V1－V2＝eq\f(3,2)π.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2024·重庆市巴南区校级月考]已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面面积是________cm2.解析：依据圆锥的侧面面积公式可得S侧＝π×2×eq\r(22＋12)＝2eq\r(5)π(cm)2.答案：2eq\r(5)π7．[2024·郑州市校级月考]底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个直棱柱的侧面面积是________．解析：依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为eq\r(152－52)＝10eq\r(2)，底面的另一条对角线长为eq\r(72－52)＝2eq\r(6).又菱形的两对角线相互垂直平分，故底面边长为eq\r(5\r(2)2＋\r(6)2)＝2eq\r(14)，则这个直棱柱的侧面面积S侧＝4×2eq\r(14)×5＝40eq\r(14).答案：40eq\r(14)8．[2024·启东市校级检测]如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体积为π(a＋b)r2，所以所求几何体的体积为eq\f(1,2)π(a＋b)r2.答案：eq\f(1,2)π(a＋b)r2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．解析：因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．因为BC＝SB＝a，SD＝eq\r(SB2－BD2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)a，所以S△SBC＝eq\f(1,2)BC·SD＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2.故四面体S－ABC的表面积S＝4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．解析：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)π×(52＋5×2＋22)×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.[实力提升](20分钟，40分)11．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积()A．与点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置都有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值解析：因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×4＝eq\f(16,3)，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关．答案：D12．如图所示，正方形ABCD的边长为6cm，BC，CD的中点分别为E，F，现沿AE，EF，AF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________．解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此这个三棱锥的表面积等于正方形ABCD的面积，为6×6＝36(cm2)．答案：36cm213．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg，问须要油漆多少千克？(无需求近似值)解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3m，母线长为5m，正四棱柱的高为4m，底面是边长为3m的正方形，圆锥的表面积为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的一个底面积为9m2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39)(m2)．所以须要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8)(kg)．14．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．解析：如图，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3.在