25版《高中一遍过》数学人教A必修二

天星教育上课认真听下课练天星天星教育上课认真听下课练天星遍辽别再盲目刷题!3区8过高效刷题法，1课1练一遍过杜志建名校都在用的高效刷题秘籍!学完1课，练透1课!1课1练一遍过屋√高效学习手册《学思用》√屋高中数学必修第二册必修第二册RA南京师范大学出版社一遍过.高中数学：必修.第二册：RJA/杜志建主编.一南京：南京师范大学出版社，2019.11(2024.10重印)I.①一…Ⅱ.①杜…Ⅲ.①中学数学课-高中-习题集IV.①G634中国版本图书馆CIP数据核字(2019)第243135号责任编辑出版发行电子信箱一遍过.高中数学必修第二册(RJA)杜志建南京师范大学出版社江苏省南京市玄武区后宰门西村9号(邮编：210016)(025)83598919(总编办)(0371)68698015(读者服务部)http://press.njnu.ed辉县市伟业印务有限公司890毫米×1240毫米1/162019年11月第1版2024年10月第6次印刷69.80元南京师大版图书若有印装问题请与销售商调换版权所有侵犯必究补贴和赠送样书。联系方式gt;>>>3区8过高效刷题法，1课1练一遍过新课学习>>>>3区8过高效刷题法，1课1练一遍过新课学习练“过基础”“过能力”点对点练透教材，打牢基础知识点1集合的概念与元素的特性6[2024山东青岛二中期初]已知ra|1,2,21.A.某校2024年人学的全体高一年级新生C某个班级中学习成绩较好的所有学生7集合|xeNlx-2<2|用列举法可表示为D.不等式3x-10<0的所有正整数解()A.[-8,27]B.[23]C.[49]D.[8,课后强化练“过易错”“过疑难”“过专项”扫除易错，突破重难，提升解题力这四强化专目练章末培优章末培优练“过素养”“过高考”直通高考，培优拔高练“过综合”综合检测，查缺补漏(2022全买乙文-1.5分1合M=|2合星=[alrcl,N=|l-lcx2B230.=|xlx-10,喇InN-C5(解nA)DMui,N0,-a].B=|1a-2,2-21,若A)(4)山愿意得s)>g(x)_.则1081-西，所以m 的EK讲解册讲解册本书特色亮点题速览(部分)本书特色亮点题速览(部分)浩瀚题海，你耍练更好、更新的题结合中国象棋考查平面向量的概念过能力第4题创新情境结合魔方考查几何体的表面积过易错第3题以投壶为背景考查相互独立事件的概率过基础第6题平面向量与三角函数结合过能力第3题模块融合复数与集合结合过基础第9题立体几何与三角函数结合过能力第3题结合物理中的力考查平面向量过基础第6题学科横跨结合物理中的电路图考查随机事件过基础第4题结合生物中的遗传性状考查概率的计算过能力教材变式——投影向量过基础第12题灵活变式变条件利用正、余弦定理求塔的高度过基础教材变式——棱锥的体积过基础第10题结合莫利定理考查正弦定理过素养第3题拓展思维结合三面角余弦定理考查线面平行过素养第2题定义“差异量”考查古典概型过综合第19题[2024清华大学强基计划]复数乘方运算的三角表示过素养第7题强基计划[2024中国科学技术大学强基计划]立体几何中的路径最短问题过素养第4题[2023全国高中数学联赛一试B卷]考查古典概型过素养提分干货高中数学必备心识●1平面向量常用结论向量的向量的数量积的(7)a²-b²=(a+b)·(a-b(8)a²+b²=0⇔a=b=0.(1)已知向量a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),λ∈R,则a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂),a-b=(x₁-x₂,y₁-y₂),λa=(λx₁,λy₁),a·b=x₁x(2)若a=(x,y),则lal²=x²+y²,lal=√x²+y².坐标运算坐标运算①a,b(b≠0)共线⇔a=λb(λ∈R)⇔x₁y₂-x₂y₁=0;为非零向量).2复数运算常用结论(1)①(1±i)²=±2i;②(1+i)(1-i)=2;③(3)in+¹=i,i4"+²=-1,i4n+³=-i,3频率分布直方图常用结论频率分布直方图频率分布直方图用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积(该小组的频率)的乘积之和近似代替平均数.可以用最高小矩形底边中点的横坐标来近似代替众数.(1)小矩形的面积=组距×颦鑫=频率；(2)各小矩形的面积的总和等于1.频率分布直方图必记公式、性质必记公式、性质1正弦定理、余弦定理B,B,2三角形面积公式(1)S(h。,h,,h。分别为边BC3多面体的侧面积、表面积和体积公式4旋转体的侧面积、表面积和体积公式表面积(S表)2πr(l+r)πr(l+r)体积(V)πr²h5概率的基本性质(3)如果事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).图书给人的整体感觉是新意浓，图示等文本类型的采用增加了创新性，凸显了对高阶思维的考查。命题紧随形势变化，情境设置符合学生的生活实际，设问指向能力和素养。着意关联教材是最大的亮点，试题延伸拓展了教材内容，利于学生深入理解课内所学，形成举一反三的能力。辽宁省语文高级教师郑老师体例结构清晰、知识点考查全面、选题经典且不乏创新新颖试题，整体来说是一本非常实用的同步教辅资料。练习册中的“八过”将基础知识、基本能力、基本素养全面而系统地进行了考查，并且将重难点设置成专项训练，解决学生的痛点；解析中的一题多解有助于学生拓展思维；学思用中的解题通法总结到位，微专题选题经典，与练习册的专项形成反复练习。山西省数学高级教师阴老师本书英语试题关注应用性、创新性和开放性，具有预测和引领作用。试题情境、选材真实，关注社会热点和传统文化，引导德智体美劳全面发展。设题严谨，设问方式和角度巧妙，深入考查思维能力。讲解的内容有创新、有优化，比如注重辨析、迁移、联系、综合、拓展等，便于学生内化知识、方法、技巧，提升素养和能力；且讲解的内容击中学生的需求和痛点，常规资料中比较少涉及。四川省英语高级教师何老师练习部分整体设计符合学生学习规律，由简单到复杂，由单一到综合，由教材到实际，由模拟到真题演练，有利于学生学习能力的提升和思维的进阶。选择题涉及的知识点覆盖面广，且重难点突出，注重必备知识和能力的考查，材料的选取比较新，主观题的设计体现新高考要求，注重对学生政治认同、科学精神、公共参与以及法治意识的引导和培育。《学思用》短小精悍，重难点清晰，典例适切，很实用。辽宁省政治高级教师张老师体例设计务实、系统，从课时练到单元测练习完整；难易梯度性都很好，符合学情，适合学生自用。选用名校最新模拟题，题目十分精良符合课标、新高考的特点；考查角度新颖，富含时代气息，紧扣社会热点。知识点考查没有遗漏，灵活运用教材史料，且注意到了单元间的衔接性考查。解析分析到位，对错分析精准，形式多样且服务于内容。山东省历史高级教师殷老师图书知识脉络清晰，具有较强的针对性，能够帮助学生更加高效地构建知识体系。各章节的题目数量少而质量精，既能帮助学生提高做题时效，又留有反思余地。另外，图书题目难度层层递进，依次实现过基础、过能力、过素养的目标，帮助同学们达到从能力到素养的提升。湖南省地理高级教师童老师与其他练习书相比，该书体例安排更加完备，梯度层次鲜明；题目较新，情境创设贴合实际，体现素养导向；专题归纳重难题型，配合《学思用》使用，完整全面，突出重点，突破难点，澄清疑点!陕西省物理高级教师王老师栏目设置科学合理，符合学生学习规律，有利于学生必备知识的掌握和学习能力的提升。试题选择考虑了近几年高考试题的改革变化，所选试题新颖，具有代表性，知识覆盖全面，总体质量高。图表解析指明思路，拉线批注点出关键，归纳总结和易错提醒等活动性栏目，对学生有很好的指导意义。河北省化学高级教师孙老师图书栏目设计合理，有梯度、有层次，解析中的拓展栏目内容丰富、实用。本书通过练习和有特色的解析，带动基础知识的巩固、核心概念的理解和生命观念的形成；能突出每个单元的疑难点和易错点，同时将科学方法和科学思维融入练习中，提升学科素养。浙江省生物高级教师张老师——整理自《一遍过》内容质量评审意见书天星教育3区8过高效刷题法，1课1练一遍过主编杜志建本册编委(排名不分先后)于华东马克亮汤小梅杜慧陈芳欧元富彭涛韩松桥邓天勇刘卫东李小斌赵孝华慕泽刚叶晓斌吴金辉郭来鹏廖庆伟朴建也阴瑞玲陆建东梅晓成熊焕军南京师范大学出版社一遍过》学完1课练透1课，1课1练一遍过一遍过》学完1课练透1课，1课1练一遍过拓展区学习区拓展区 第二节平面向量的运算课时1向量的加法运算、减法运算 课时2向量的数乘运算 课时3向量的数量积 第三节平面向量基本定理及坐标表示课时1平面向量基本定理 课时2平面向量的正交分解及坐标表示 课时3平面向量数量积的坐标表示 易错疑难集训(一) 第四节平面向量的应用 课时2余弦定理 课时3正弦定理 课时4余弦定理、正弦定理应用举例 易错疑难集训(二) 专项拓展训练解三角形中的最值与取值范围问题 过专项25章末培优专练 全章综合检测 一遍过》学完1课练透1课，1课1练一遍过学习区·第一节复数的概念第二节复数的四则运算课时2复数的乘、除运算………………第三节*复数的三角表示课时1复数的三角表示式………………过基础42182拓展区易错疑难集训……………………过易错过疑难44184第二节立体图形的直观图……过基础过能力53191第三节简单几何体的表面积与体积拓展区易错疑难集训……………………过易错过疑难61199专项拓展训练1空间几何体的外接球、内切球及棱切球…………过专项62200更多讲解和典例详见学思用第八章微专题1[P41]专项拓展训练2立体几何中的最值问题(1)…………过专项64202更多讲解和典例详见学思用第八章微专题2[P43]学习区第四节空间点、直线、平面之间的位置关系课时2空间点、直线、平面之间的位置关系……………过基础67205第五节空间直线、平面的平行课时1直线与直线平行………………过基础68206第六节空间直线、平面的垂直拓展区专项拓展训练3立体几何中的翻折问题……………过专项84221专项拓展训练4立体几何中的探索性问题………过专项85222更多讲解和典例详见学思用第八章微专题4专项拓展训练5立体几何中的最值问题(2)………过专项86223更多讲解和典例详见学思用第八章微专题5专项拓展训练6立体几何中的截面问题……………过专项87225更多讲解和典例详见学思用第八章微专题6反馈区·全章综合检测……………过综合92233学习区第一节随机抽样课时1简单随机抽样……………………过基础96238第二节用样本估计总体课时2总体百分位数的估计…………过基础104242课时4总体离散程度的估计………………正文答案学习区第一节随机事件与概率课时1有限样本空间与随机事件 课时2事件的关系和运算 课时3古典概型 过基础过能力122252课时4概率的基本性质 过基础过能力124254第二节事件的相互独立性 过基础过能力126256拓展区易错疑难集训 学习区第三节频率与概率 过基础过能力129260拓展区专项拓展训练概率与统计的综合问题 更多讲解和典例详见学思用第十章微专题[P79]章末培优专练 反馈区全章综合检测 4年16套试卷中对应知识点的考查频次.eOeO第六章平面向量及其应用第一节平面向量的概念过基础知识点1平面向量的概念及几何表示1下列命题中是真命题的是()B.零向量的方向是任意的C.向量的模一定是正数2(多选)[2024河北石家庄期中]下列选项正确B.向量的模可以比较大小C.单位向量的方向都相同D.只有零向量的模等于03如图所示，小正方形的边长均为1,则IABI= ,ICDI=,IEFI=如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小(2)求IBCI的最大值与最小值.知识点2相等向量与共线向量A.若a//b,则a与b的方向相同或相反6[2024重庆市巴南区段考]下列说法正确的是D四点共线C.若非零向量a与b共线，则a=bD.若a=b,则lal=IblA.AB=DCB.IABI=IDCID.AB<DC[2024江西瑞昌一中月考]如图，B是线段AC相交的全等的等边三角形，(2)与向量EA共线，且模相等的向量是学习区学习区 学学习区1(多选)下列能使a//b成立的是()A.a=bB.Ial=1blC.a与b方向相反D.Ial=0或lbl=0CEFG,四边形CGHD是完全相同的菱形，则下列结论中一定成立的是()A.IABI=IEFIB.AB与FH共线C.BD与EH共线D.CD=FG3[2024河南省青桐鸣大联考]在四边形ABCD中，AC与BD交于点0,且AO=OA.AC⊥BDB.四边形ABCD是梯形C.四边形ABCD是菱形D.四边形ABCD是矩形4新情境[2024湖北省黄州中学段考]中国象棋国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，则可跳到A₁处，也可跳到A₂处，用向量AA,AA₂表示马走了示马走了“一步”的向量共有个.5跨模块如图，在平行四边形ABCD中，与BD交于点0,设点集S={A,B,C,D,0},集合T={MNIM,N∈S,且M,N不重合},则集合T中元素的个数为.6如图，半圆的直径AB=6,点C是半圆上的一点，点D,E分别是AB,BC上的点，且AD=1,BE=4,DE=3.(2)求IACi.7如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B,然后沿北偏西一定角度的某方向行走 了100√13m后到达点C,最后向东走了200m后到达点D,发现点D在点B的正北方. (2)求DA的模.北东东第二节平面向量的运算知识点1向量的加法运算4年1考 1[2024湖南长沙市一中期末]向量AB+(OM+ A.BMB.ABC.AO2如图所示的方格纸中有定点0,P,Q,E,F,G,A.OHB.OGC.FOD.EO3[2024河北张家口段考]已知四边形ABCD为A.BC+CD=DBB.BA+BC=DBC.AB+AD=BCD.AB+BD=BC4[2024河北雄安新区模考]若lal=2,e为单位知识点2向量的减法运算6[2024河南濮阳联考]在正六边形ABCDEFA.0B.FCC.BFD.BEA.AB-AD=BDB.OA-OC=0C.BD-CD=BCD.BO+OC=DAA.a+b-cC.b-a+c9(多选)[2024四川绵阳南山中学期中]下列各A.AB+BC+CAB.AB+AC-BD+CDC.OA-OD+ADD.NQ+QP+MN-MP10若向量a,b满足lal=8,1bl=12,则la-bl学习区学习区上课认真听上课认真听下课练天星 1(多选)如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,16三个大小相同的力a,b,c作用在同一物体P学学习区A.AB+AE=ACB.IBEI=IECIC.AB-CD=EDD.ED+CB=02[2024江西宜春期中]设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且IBCl=4,IAB+ACl=3已知△ABC的三个顶点A,B,C及△ABC所在平面内一点P满足PA+PB=PC,则点P在A.△ABC的内部B.线段AB上C.直线BC上D.△ABC的外部4已知风力发电机叶片的长度为20m,每两个叶片之间的夹角都相同，风机塔(杆)的高度为5[2024山东日照期中]如图，设P₁P₂…P₂024是半径为1的圆0的内接正2024边形，M是圆0上的动点，则IP₁P₂+P₂P₃+P₃P+…+P₂02₃P²02-P₁MI的取值范围为a,PB=b,PC=c,判断△ABC的已知a,b是两个非零向量.(1)若lal=√7+1,1bl=√7-1,且la-bl=4,求la+bl; 过基础教材必备知识精练答案P141知识点1向量的数乘运算知识点2向量共线定理的应用1[2024湖北武汉一中段考]若a,b为已知非零6已知非零向量a,b且AB=a+2b,BC=-5a+向量，且4(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.4a-5bB.-5a+4b2[2024河北九校联盟期中]向量a,b,e₁,e₂在bbeC.2e₁-3e₂线为AD,点0满足AO=3OD,则OC=()4[2024河北保定中学调研]如图，P是△ABC所在平面内一点，且,D,E是BP的三等分点，则下列选项正确的是()A.BA=ECB.PA+PC=4BDD.PA-PC=BC-BA5[2024江苏常州市联盟学校联考]已知AB= A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D设a,b是两个不共线的向量，则“a+Ab与8[2024湖南长沙市明德中学入学考试]如图，(1)用a,b分别表示BC,MN;学习区学习区过能力学科关键能力构建6[2024湖北恩施联考]若D为△ABC内一点，[2024浙江省北斗星盟联考]如图，已知PQ,学学习区2[2024陕西咸阳市实验中学月考]如图所示，0b,则用a,b表示OA+0A₁+0A₂+…+OA,A.21(a+b)B.22(a+b)C.11(a+b)3[2024鄂东南教改联盟期中]如图，在△ABC,则λ(AB+AC),BP=(1-2μ)BC,x,μ∈R,则λ+5(多选)已知M为△ABC的重心，D为BC的中A.IMAI=IMBI=IMCIB.MA+MB+MC=0 共线.(1)求3m+6n的最小值.(2)若△ABC所在平面内一点0满足2AO=口知识点1向量的数量积4年7考1[2024河南省部分重点高中联考]在菱形ABCDA.50°B.130°C.80°2(多选)[2024天津期中]已知lal=2,1bl=3[2024四川树德中学月考]已知向量a,b的夹))4[2024江苏七市调研]已知三个单位向量a,b,c满足a=b+c,则向量b,c的夹角为()人人DE=EC,, 6已知lal=1,(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.知识点2向量的垂直关系4年2考[2024北京房山区期中]已知向量a,b满足学习区学习区8[2024浙江绍兴适应性考试]已知e₁,e₂是单b=λe₁-e₂,且a⊥b,则λ=()知识点3投影向量A.45°B.60°C.120°D.135° 12|教材习题62T24变式(多选)[2024广东佛山月考]如图，在圆0中，弦AB的长度为2,点B.AB·BO=-2D.若圆0的半径为2,则过能A已知a+b+c=0,lal=1,Ibl=Icl=2,则a·学习区A已知a+b+c=0,lal=1,Ibl=Icl=2,则a·学习区3(多选)[2024河北秦皇岛期末]在△ABC中，4跨模块[2024河南九师联盟联考]如图，在矩形ABCD中，过边AB上的点P₁,P₂分别作AB的垂线，分别交CD于P₇,P₈,过AD边上的点Ps,P₆,则集合{yly=AB·AP,i=1,2,3,…,A.2B.45(多选)[2024海南海口期中]△ABC是边长为2的等边三角形，已,AC=a-(1)用a,b表示CD,E;(2)若AB=3,AC=2,∠CAB=60°,则当CD⊥A.b是单位向量第三节平面向量基本定理及坐标表示课时1·平面向量基本定理过基础学习区知识点1对平面向量基本定理的理解6(多选)[2024湖南名校联盟模考]如图，在平学习区A.{AD,AB}B.{DA,BC心C.{CA,DC}D.{OD,OB}2已知{e₁,e₂}是平面内的一个基底，则下列选项D.若A=90°,lal=2,1bl=√2,则EFIECA.{2e₁-e₂,2e₂-4e₁}D.{e₁+e₂,2e₂+e₁}8已知{e₁,e₂}是平面内的一个基底，若向量a=3[跨模块[2024安徽宿州期中]已知{x,y}可以4e₁-2e₂与b=-2e₁+λe₂共线，则实数λ=作为平面向量的一个基底，集合A={ala=A.BCAB.ACB(2)若AI=AB+λBQ=AC+μCR,求实数λ和知识点2平面向量基本定理的应用4年3考μ的值.4[2024福建厦门双十中学期中]在平行四边形5[2024江苏省如东高级中学期中]a,b是两个上课认真听nno 过能力学科关键能力构建答案P146学学习区1如图，平面内的两条相交直线OP₁和OP₂将平面分成I,Ⅱ,Ⅲ,IV(不包含边界)四个部分，D.a<0,b<0,F为 4[2024湖北十堰期末]如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E,F,G,H分别是DF,AG,BH,CE的中点.已知向量e₁,e₂分别是与向量AB,AD方向相同的单位向量，且向量,已知AB/CD,C.4e₁+e₂与CE交于点0.(1)若AO=mAB+nAC(m,n∈R),求mn的值；(2)设△ABC的面积为S,△OBC的面积为S'7[2024山西大同期末]如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点E是线段AB上的一点，且AE=2EB,点F是线段BD上的一点.(1)若DF=FB,且DB=xDE+yCF,求x+y ,x²-2μ的最小值是课时2·平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示知识点1平面向量的正交分解及坐标表示1在平面直角坐标系中，如果用i,j分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量，且A(2,A.2i+3jB.4i+2jC.2i-j2已知向,将向量OP绕原点0沿 3[2024浙江省新力量联盟期中]已知A(3,7),B(5,2),把向量AB先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得向量A'B'的坐A.(-1,7)C.(2,-5)D.知识点2平面向量加、减运算的坐标表示4若向,DC=(2,1),A.(-1,-2)5[2024天津市第二南开中学期中]已知两点A(4,1),B(7,-3),若AB+AC=0,A.(1,5)B.(-3,C.(-1,-5)6若a+b=(-3,-4),a-b=(5,2),则向量a=,向量b=知识点3平面向量数乘运算的坐标表示4年4考A.(21,2)B.(-21,2)C.(2,21)8[2024浙江台州期末]已知向量a=(1,x),b=(x,4),x∈R.若(a+b)//b,则x=()对角线的交点为0,则CO=()口10[2024四川遂宁模考]已知D,E分别为A.(4,5)C.(-5,-7)[2024山东邹平一中月考]在正方形网格中A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12[2024陕西西安高新一中期中]已知点0(0,0),向量OA=(1,3),OB=(-3,5).若点P满足AP=PB,则点P的坐标为;若点P满足AP=2PB,则点P的坐标为学学习区上课认真听上课认真听下课练天星0111已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=7在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,-2),(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ=()(1)若点D(-2,3),AB=a,AC=b,试用基底2(多选)已知a=(1,1),b=(2,0),c=(2,4),(2)若AP=AB+λAC(λ∈R),且点P在第四学习区学习区3跨模块[2024湖南株洲期末]已知θ为第三象AA4如图，A,B,C是圆0上三个不同的点，且∠AOB=120°,∠AOC=30°,则OC=()8i已知e₁,e₂是平面内两个不共线的非零向量，且A,E,C三点共线(3)已知D(3,5),在(2)的条件下，若A,B,C,C.(2)若e₁=(2,1),e₂=(2,-2),求BC的坐(3)已知D(3,5),在(2)的条件下，若A,B,C,小值为6[2024上海市宜川中学期中]如图所示，⊙0是正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆的外接圆，若点P是00上的动点，设A₁P=λA₁A₃+μA₁A6,λ,M∈R,则λ+μ的最大值是_课时3平面向量数量积的坐标表示知识点1平面向量数量积的坐标表示1[2024江苏镇江期中]已知a=(2,-1),b=(3,2[2024江西赣州联考]已知向量a=(1,2),b=心心3[2024湖北部分学校模考]已知向量a=(1-x,-x-3),b=(1+x,2),a·b=-4,4[2024江苏扬州联考]在矩形ABCD中，已知心A心5易错题已知a=(1,0),b=(0,1),若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角，则实数k的取6[2024安徽铜陵期末]已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量b-a在向量a上的投影向量为λa(λ∈R),则λ=7[2024北京师范大学附属中学期末]已知点A,B,C是半径为3的圆上三点，BC=2,点D是知识点2平面向量垂直的坐标表示4年2考8已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+9(多选)[2024浙江杭州期末]已知向量a=(√3,1),b=(x,-3),则下列命题正确的是B.若a⊥b,则x=√310[2024广东佛山期末]已知四边形ABCD中，AC=(-2,1),BD=(2,4),则四边形ABCD11[2024人大附中月考]已知点P(1,1),0为坐标原点，点A,B分别在x轴和y轴上，且 12跨模块已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(1)求向量b+c的模的最大值；学学习区上课认真听下课练天星过能力学科关键能力构建答案P151学习区学习区1[2024广东广州二中期中]已知向量a=(1,2),b=(3,1),向量c满足c⊥a,a//(2跨模块[2024重庆十八中月考]已知向量a=(2,1),b=(0,2),c=(-1,1),集合A={mlm=a+λ₁b},B={nIn=b+λ₂c},其中λ₁,A.A∩B=C.若d∈A∩B,则<a,d)为钝角3|跨模块[2024安徽县中联盟月考]函数y=的部分图象如图所示，则(OA+4|教材习题63T15变式(多选)如图，视位向量.若向量OP=xe₁+ye₂,则把有序数对(x,A.a·b=-35[2024北京昌平区统考]已知正方形ABCD的边长为1,点P满足AP=λAB(0<λ<1).当 (1)在①(ta+b)⊥(a+tb),②Ita+bl=la+tbl,③<ta+b,b〉=45°这三个条件中任选(2)若向量c=(x,y),且c=-ya+(1-x)b,(2)是否存在实数λ,使(OA-λOP)⊥CM?请说明理由.疑难点1平面向量中的最值与范围问题))心心2已知向量a,b满足lalC.(-4,2)D.[3已知单位向量a,b,若对任意实数x,lxa+bl≥4如图所示，正方形ABCD的边长为1,A,D分别5[2024湖南长沙雅礼中学月考]如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2,对称中心为0,以0为圆心作半径为1的圆，点M为圆0上任意疑难点2平面向量与三角形的“四心”6i已知A,B,C是同一平面内不共线的三点，0是平面ABC内一定点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈[0,+0],则点P的轨迹一A.外心B.垂心C.内心D.重心点P满,λ∈[0,A.内心B.垂心C.重心D.外心 ,则k=9(多选)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此拉线定理.已知△ABC的外心为0,垂心为H,重心为G,且AB=2,AC=3,则下列说法正确的能新A.AH·BC=0能新D.OH=OA+OB+OC拓展区拓展区第四节平面向量的应用课时1平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例过基础教材必备知识精练学学习区知识点1向量在平面几何中的应用1[2024湖南常德期中]在△ABC中，BA·AC+A.等腰直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰(非直角)三角形 3[2024河南商丘期末]已知△ABC所在平面内4用向量法证明：圆的直径所对的圆周角为直角.知识点2向量在物理中的应用5已知三个力f=(-2,-1),f₂=(-3,2),f₃=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体6如图，在重100N的物体与铅垂线的夹角分别为A.50√3N,50√3NB.50N,100NC.50√3N,50ND.100N,50√3N[2024广东广州市第六十五中学月考]有一条发渡河.小船航行速度的大小为15km/h,方向B.h,与水流方向夹角为60°C.m/h,与水流方向夹角为45°D.km/h,与水流方向夹角为30°和垂直于水平面的向量的夹角均为取9.8m/s²,3≈1.7,精确到0.1N)()A.14.4NB.15.6N两个力F₁=(1,1),F₂=(4,-5)作用于同一个质2某学生体重为mkg,处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为N(重力加速度大小为g),如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角为BB3(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在A.小船受到的绳子的拉力不断增大B.小船受到的绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变λ)AC,若向量BA在向量BC上的投影向量为μBC,其中,则cos∠AOC的取值范5如图，一条河两岸平行，河的宽度AC=√3km,一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船已知船在静水中的速度v₁的大小为Iv₁I,水流的速度v₂的大小为Iv₂I=2km/h.求：(2)船在静水中的速度v₁与水流速度v₂夹角的余弦值.(1)求角B.(2)已知点D是AB上一点，满足AD=λAB,点E是边CB上一点，满足BE=λBC,是否存在非零实数λ,使得AE⊥CD?若存在，求出λ的值；学习区学习区BAB口上课认真听下课练天星学习区学习区课时②余弦定理过基础知识点1利用余弦定理解三角形4年16考1在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,3[2024湖南张家界一中期中]在△ABC中，,AC=4,BC=3,则cosB=()4[2024吉林长春外国语学校期中]在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量5在△ABC中，已知a²+c²+bc-6b=2a6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的7黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.8在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，(1)求B的大小；知识点2利用余弦定理判断三角形的形状9[2024山西晋中期中]若三角形的三边长分别为20,30,40,则该三角形的形状一定是()A.锐角三角形B.直角三角形10[2024重庆市朝阳中学期中]在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形1在△ABC中，内角A,B,C的对边分则AB边上的中线长为()3(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别且.在下面的三个条件中任选一个补(1)求角C;(2)若c=√3,求△ABC周长的取值范围.学学习区5[2024鄂北六校联考]定义：已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,Cb=5,则c的最小值为_6|教材64阅读与思考的应用[2024湖北重点高中 式(其中a,b,c为三角形的三边，S为三角形面积)表示.在8如图，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,(2)若,求b的值.下课练天星一遍过高中数学·必修第二册·RJA课时3·正弦定理知识点1利用正弦定理解三角形4年16考1设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,学习区学习区2(多选)[2024江苏盐城五校联考]在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2√2,c=2√3,,则C的值可以是()3[2024四川成都七中月考]在△ABC中，CA=4△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A.2√3B.2√2C.√35[2024陕西榆林月考]在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinCcosB,A.3B.3√3[2024山东菏泽一中月考]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的周长为8[2024河南洛阳强基联盟联考]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=√2,(1)求sinB和a的值；知识点2利用正弦定理判断三角形的形状A.锐角三角形B.直角三角形10(多选)[2024江苏南通期末]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.下列说法正A.若sin²A+sin²B=sin²C,则△ABC为直角三6[2024湖南衡阳月考]在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ab=2sinAsinB,则2已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形3已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别4[2024浙江宁波期末]在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,5(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别A.A+3C=π6[2024湖南长沙市一中期中]在△ABC中，,D为边BC上一点，若2CD=AD=BD,则sin∠ADC=7[2024浙江宁波期末]在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=30°.(1)已知b=√2,bcosA+acosB=2.学习区学习区8已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,(1)求C;(2)若D为AB边上一点，AC·BD=BC·AD,上课认真听下课练天星课时4余弦定理、正弦定理应用举例 学习区学习区知识点1测量距离的边分别记为a,b,c):2[2024湖北十堰期末]在一个港口，有一艘船A.15(√3+1)nmileB.30(√6-√2)nmile知识点2测量高度3[2024江苏无锡联考]某数学兴趣小组成员为测量某塔的高度OP,在塔底0的同一水平面测得塔顶P的仰角为60°,在B处测A.20√3mB.30√2mC.20√6mD.6变式[2024福建厦门杏南中学期中]某科研小组为测量某塔的高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,如图所示.A.3√6mB.4√一点C,测得塔顶的仰角为θ,由C向塔前进30m后到点D,测得塔顶的仰角为20,再由D为40,则θ= 度航行30min后到达N处，又测得灯塔在货轮若一辆汽车通过高速公路AB段用时约50s,A.20B.40C.40-20/3D.40+22如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=45°,C点的仰角∠CAB=30°以及一座山高BC=50m,则山高MN=()3[2024北京十一中期中]如图，A,B,C,D都在的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B测得B点和D点的仰角均为60°,AC=1km,则B,D的距离为km.4[2024江苏镇江期末]某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路AB进行实地测绘，他们选择了C,D两地作为测量点(如图).通过测量得知C,D两地相距300m,A,B分别个相邻路灯A,B之间的距离是100m,为了测测得A=75°,B=60°.(1)求A,C两点之间的距离.(2)假设你只携带着量角器(可以测量以你为顶点的角的大小).请你设计一个通过测量角CD的长.学学习区上课认真听下课练天星易错疑难集训(二) 易错点忽略三角形中的隐含条件致误2已知钝角三角形ABC的面积是1,且AB=√2.拓展区拓展区3在钝角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,则c的取值范围是A.(√5,3)B.(1C.(√3,√5)4[2024人大附中深圳学校段考]在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a>b.若,则cosAsinC的取值范围 疑难点1三角形解的个数问题疑难点2解三角形中的探究性问题1[2024福建南平市高级中学期中]在△ABC案，包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=示，并在图中标出);(2)用文字和公式写出计2,b=2√3,,则此三角形()算AB的步骤.C.有两解D.解的个数不确定2[2024重庆南开中学期中]已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,,则下列条件能使△ABC有两个解A.b=43在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=6,A=60°,若满足条件的三角形有两个，C.(3,6)D.(34在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=√3,A=60°,若此三角形有且只有一解，类型1利用基本不等式求解1若△ABC的内角满足sinA+√2sinB=2sinC,则cosC的最小值是()2在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,类型2利用三角函数单调性求解人口拓展区a,b,c,且c=b+2bcosA,则的取值范围拓展区[2024江西南昌模考]在锐角三角形ABC中，(1)求角A;A.△ABC外接圆的半径饼B.△ABC面积的最大值为43C.的最大值为2D.a²+b²的最小值为32[2024四川峨眉二中月考]在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2csinBcosA=b(sinAcosB+cosAsinB).(1)求A;(2)若△ABC的面积为16/3,D为AC的中点，求BD的最小值.(2)求△ABC的周长l的范围.[2024辽宁沈阳模考]如图，在四边形ABCD(2)求AB²+BC²+AC²的取值范围.过素养做扇面的能折叠的扇子，如图1.某折扇的结构简化图是如图2的扇形AOB,其中∠AOB=拓展区2哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC,BC围成的，其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为B,圆0与线段AB及两个圆弧均相第3题图第2题图第3题图3[2024河北邯郸期中]莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，该定理的内容如下：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形，这个三角形常被称作莫利正AC,BC=8,△DEF是△ABC的莫利正三角形，026卡类026卡类来测量、画圆和方形图案的工具.今有一块圆类型2强基计划5[2024厦门大学强基计划]若单位圆内接6[2024全国高中数学联赛重庆赛区预赛]在7[2024全国高中数学联赛福建赛区预赛]在8[2024全国高中数学联赛吉林赛区预赛]在AB+BP=AQ+BQ,则∠ABC=过高考高考真题同步挑战答案P166考点1平面向量的线性运算、数量积及坐标1[2022新高考I卷·3,5分]在△ABC中，点DA.3m-2nB.-2m+3n2[2024新课标I卷·3,5分]已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()3[2024新课标Ⅱ卷·3,5分]已知向量a,b满足lal=1,la+2bl=2,且(b-2a)⊥b,则4[2024全国甲卷理·9,5分]设向量a=(x+5[2022新高考Ⅱ卷·4,5分]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c〉=<b,c>,则6[2023全国甲卷理·4,5分]已知向量a,b,cBB7[2022全国甲卷理·13,5分]设向量a,b的夹b)·