数学物理方法chapt01省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

序言对一个物理问题处理，通常需要三个步骤利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；解该数学问题；将所得数学结果翻译成物理，即讨论所得结果物理意义。

第1页《数学物理方法》主要内容第一章、复变函数第二章、复变函数积分第三章、幂级数展开第四章、留数定理第五章、傅里叶变换第六章、拉普拉斯变换第七章、数学物理定解问题第八章、分离变数法第九章、二阶常微分方程级数解法第十章、球函数复变函数论数学物理方程第2页

第一篇复变函数论第3页一.复数二.复数表示三.复数运算四.复变函数五.导数六.解析函数七.平面标量场

第一章复变函数第4页复数引入第5页

需尤其指出：能够证实当有三个不一样实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方(参考：范德瓦尔登着《代数学》,丁石孙译,科学出版社，1963年).至此，我们明白了这么事实，此方程根求得必须引入虚数概念.卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数地位就应确定下来，但对虚数本质还缺乏认识.“虚数”这个名词是由十七世纪法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定.“虚数”代表意思是“虚假数”，“实际不存在数”，以后还有些人“论证”虚数应该被排除在数世界之外.由此给虚数披上了一层神秘外衣.第6页

十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard·Euler，1707-1783)试图深入解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中数”或“不可能数”.他在《对代数完整性介绍》(1768－1769年在俄国出版，1770年在德国出版)一书中说：因为全部能够想象数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数.所以很清楚，负数平方根不能包含在可能有序数中，就其概念而言它应该是一个新数，而就其本性来说它是不可能数.因为它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想中数，于是Euler首先引入符号作为虚数单位.第7页

十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家Wessel(威塞尔)、瑞士工程师阿尔甘（Argand）以及德国数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用.尤其地,在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎曼（Rieman，1826－1866）.柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数映像性质，经过他们不懈努力，终于建立了系统复变函数论.第8页

1.1复数概念

第9页复数无序性实数能够比较大小，是有序，但复数不能比较大小，即复数是无序.复数相等假如且则复数共轭第10页

1.2复数表示

1.2.1复数几何表示—复数平面(1)直角坐标表示法:在坐标平面xoy上,用点(x,y)表示复数xy复矢量xoy复平面第11页第12页第13页第14页例:将用代数式,三角式和指数式表示出来第15页2复数几何表示------复数球面p’p复平面上点复数球面上点存在一一对应关系第16页1.3复数运算1.四则运算两条基本规则a代数运算规则b复数四则运算也满足交换律、结合律和分配律。第17页2复数乘幂与方根两个复数相乘，其模等于它们模乘积，其辐角等于它们辐角和.复数乘幂第18页第19页

复数方根

第20页例1

求根例2

将与表示为与幂例3试确定不等式所确定点集是什么图形？

第21页第22页1.4复变函数第23页1.4.1复变函数定义若在复数平面(或复数球面)上存在一个点集E,对于E每一点(每一个z值),按照一定规律有一个或多个复数值ω与之相对应,则称ω为z函数---复变函数.z称为ω宗量记做比较实变函数第24页区分

a:自从有了复变函数论，实数领域中禁区或不能解释问题，比如：负数不能开偶数次方；负数没有对数；指数函数无周期性；正弦、余弦函数绝对值不能超出1；……等已经不复存在.b:实变函数能够用几何图形表示出来;复变函数不能经过同一平面或同一空间上几何图形表示出来,它几何意义是两个复平面上点集之间对应(z平面到w平面一个映射)第25页例:试研究复变函数将z平面以下曲线变成ω平面上曲线1.双曲线2.倾角直线第26页1.4.2区域概念内点●z0ε●z0ε外点●z0ε境界点第27页区域严格定义是同时满足以下两个条件点集：

(i)全由内点组成；

(ii)含有连通性即点集中任意两点都能够用一条折线连接起来且折线点全都属于该点集；区域可用B表示

注：通常所谓某区域是连通，即指B中任何两点都能够用完全属于B一条折线连接起来

··z1z2第28页闭区域：区域B及境界限组成点集称为闭区域，用表示注：若无特殊申明区域仅包含内点，不含境界点，区域指是开区域区域B＋边界＝闭区域1.4.3复变函数例子第29页多项式为正整数有理分式为正整数根式初等函数定义式第30页第31页第32页上述极限值存在和相等和路径无关第33页1.5导数设函数是定义于区域上单值函数，若在上某点极限存在，且与方式无关,则称函数在点可导，此极限值称为在点导数，记为或

即

1.5.1第34页求导公式第35页第36页1.5.2柯西－黎曼条件（C－R条件）————复变函数可导必要条件第37页复变函数可导充分必要条件函数偏导数存在，且连续，而且满足C-R条件第38页1.6解析函数若函数在点及其邻域上处处可导，则称在点解析若函数在区域D上每一点都解析，则称是区域D上解析函数1.6.1第39页复变函数在某点解析

某点可导

某点极限存在

某点连续第40页怎样判断一个函数是否解析函数在D内解析充要条件：a:及在D内处处可微b:及在D内处处满足C-R条件第41页1.6.2解析函数与调和函数关系调和函数：假如在区域B内实变函数含有二阶连续偏导数且满足laplace方程则称为区域D内调和函数，其中是laplace算符第42页2共轭调和函数：假如两个实函数及均为区域D内调和函数且又满足C-R条件，则称为共轭调和函数第43页3解析函数，调和函数及共轭调和函数之间关系若在区域B内解析，由C－R条件同理因为和满足C-R条件，所以为共轭调和