2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上学期第一次月考数学学情检测试题说明：1.测试总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.过点，倾斜角为直线方程为（）A. B. C. D.2.已知两条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（）A. B. C. D.4.关于空间向量，以下说法错误的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若，则与的夹角是锐角C.已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量D.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面5.如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（）A. B.1 C. D.6.直线l过点，且与圆C：相交所形成长度为整数的弦的条数为（）A.6 B.7 C.8 D.97.直线关于直线对称的直线方程为（）A. B. C. D.8.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（）A.6 B. C. D.二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若直线，，且l⊥m，l⊥n，则D.若l，m是异面直线，，，且，，则10.下列结论正确是（）A.已知点Px,y在圆：上，则的最大值是B.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离D.已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称11.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（）A.的取值范围为B.四边形面积最小值为C.存在点使D.直线过定点第Ⅱ卷（92分）三、填空题（每空5分，共15分）12.若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为____________.13.已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是__________.14.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．（1）求的长；（2）求和夹角的余弦值．16.在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．（1）若Q为的中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成的角正弦值为，求．17.如图，在三棱柱中，平面.（1）求证：平面平面；（2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．（1）求圆的标准方程．（2）若是圆C上任意一点，求取值范围（3）已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．（1）求证：；（2）若，求三棱台的体积；（3）若到平面的距离为，求的值．2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上学期第一次月考数学学情检测试题说明：1.测试总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.过点，倾斜角为的直线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得.【详解】由题可得直线的斜率为，所以直线方程为：，化简可得：；故选：B2.已知两条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到到直线的最远距离为，此时直线垂直于，即可求出直线方程．【详解】因为直线，所以可将直线方程变形为，，解得，，由此可得直线系恒过点到直线的最远距离为，此时直线垂直于，，直线的斜率为，，，直线的一般方程为．故选：A4.关于空间向量，以下说法错误的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若，则与的夹角是锐角C.已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量D.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面【正确答案】B【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断.【详解】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对；B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错；C：若、、是共面的向量，则存在且，显然无解，所以、、是不共面的向量，对；D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对.故选：B5.如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（）A. B.1 C. D.【正确答案】C【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为异面直线与间的距离，建立如图所示空间直角坐标系，则，则，，设与异面直线与都垂直的向量，则，解得，取，则，所以，则异面直线间的距离为.即间最小距离为.故选：C6.直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【正确答案】D【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.【详解】由题设，圆的圆心为，且半径，而，即点在圆内，且圆心到该点的距离，当直线与、的连线垂直时，弦长最短为，而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为，所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为，根据圆对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条，综上，共9条.故选：D7.直线关于直线对称的直线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解.【详解】由，解得，则直线与直线交于点，在直线上取点，设点关于直线的对称点，依题意，，整理得，解得，即点，直线的方程为，即，所以直线关于直线对称的直线方程为.故选：D8.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（）A.6 B. C. D.【正确答案】B【分析】求出球的半径，利用条件得到三棱锥A﹣BCD的外接球即为以为棱的长方体的外接球，从而得到，结合基本不等式求出侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，则，解得，因为AD⊥平面ABC，，所以三棱锥的外接球，即为以为棱的长方体的外接球，故，其中，故，三棱锥（以A为顶点）的侧面积为，由基本不等式得，故，当且仅当时，等号成立，，故，当且仅当时，等号成立，所以.故选：B关键点点睛：特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若直线，，且l⊥m，l⊥n，则D.若l，m是异面直线，，，且，，则【正确答案】ABC【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行.【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误．对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误．对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误．对于D，因为，设平面平面，，所以，因为l，m是异面直线，，所以l，a相交，因为，，，所以，因为，，l，a相交，所以，D正确．故选：ABC10.下列结论正确的是（）A.已知点Px,y在圆：上，则的最大值是B.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离D.已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称【正确答案】AD【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；转化为寻找对称点问题，即可判断D.【详解】A选项：因为点在圆上，所以当时，取得最大值，故A正确；B选项：由所以，即直线过点，因为直线和线段相交，故只需或，故B错误；C选项：圆的圆心到直线的距离为，而点是圆的圆外一点，所以，即，故直线与圆相交，故C错误；D选项：在上任取点，则关于直线x+y=0对称的点坐标，代入方程，得：①当时，，②当时，为任意实数；故D正确.故选：AD.11.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（）A.的取值范围为B.四边形面积的最小值为C.存在点使D.直线过定点【正确答案】ABD【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.【详解】圆心到直线的距离为，所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确；对于D，设，则，，以PC为直径的圆的圆心为，半径为，所以以PC为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以PC为直径的圆的公共弦，联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确；故选：ABD第Ⅱ卷（92分）三、填空题（每空5分，共15分）12.若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为____________.【正确答案】（答案不唯一）【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.【详解】因为点在圆外，则，解得，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围为，例如符合题意.故（答案不唯一）.13.已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是__________.【正确答案】（或）【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解；解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解.【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中.由题意得解得满足，所以外接圆的方程为.解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率，则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆.线段的中点为，半径，所以外接圆的方程是.故（或）14.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．【正确答案】【分析】建立空间直角坐标系，先求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可．【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，由平面，设，所以，设，所以，即，解得，所以，则，设直线的夹角为，则，所以，所以点到直线的距离为，故．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．（1）求的长；（2）求和夹角的余弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】由题意得，又，，，，，故，故；【小问2详解】，则.16.在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．（1）若Q为的中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成的角正弦值为，求．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性质即可证明；（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据线面夹角的向量公式列出方程求解即可．【小问1详解】连接并延长，交于点，则为的中点，连接，因为为直三棱柱，所以平面平面，，，又分别为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面．【小问2详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，所以，由直三棱柱可得，为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，由得，，取，则，因为直线与平面所成的角正弦值为，所以，整理得，，解得或（不合题意舍），所以．17.如图，在三棱柱中，平面.（1）求证：平面平面；（2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出平面，故，结合得到平面，证明出面面垂直；（2）求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的夹角余弦公式进行求解.【小问1详解】证明平面平面，.又，且平面，平面平面.又，且平面，平面.平面，平面平面.【小问2详解】由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有.以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设平面的一个法向量，则即取，同理可得平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．（1）求圆的标准方程．（2）若是圆C上任意一点，求的取值范围（3）已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案.（2）若Mx,y是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可.（3）设，Px,y，分别表示出，由为定值得出答案.【小问1详解】依题可设圆心坐标为，则圆的方程为，因为直线与圆相切，所以点到直线距离，因为，所以，故圆的标准方程为.【小问2