2024-2025学年高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2几何概型均匀随机数的产生课后课时精练新人教A版必修3

PAGE1-3.3.1几何概型3.3.2几何概型匀称随机数的产生A级：基础巩固练一、选择题1．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案C解析正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm与9cm之间，线段AB的长度为12cm，故所求概率为eq\f(9－6,12)＝eq\f(1,4).2．某人向图中的靶子上射箭，假设每次射击都能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，则最简单射中阴影区域的是()答案B解析由题意，设图中每个等边三角形的面积为1，则正六边形的面积为6.选项A：阴影面积为2，射中阴影区域的概率为eq\f(1,3)；选项B：阴影面积为3，射中阴影区域的概率为eq\f(1,2)；选项C：阴影面积为2，射中阴影区域的概率为eq\f(1,3)；选项D：阴影面积为2.5，射中阴影区域的概率为eq\f(5,12).因为eq\f(1,2)>eq\f(5,12)>eq\f(1,3)，所以最简单射中阴影区域的是选项B.故选B.3．在我国古代数学著作《九章算术》勾股章有一《池葭出水》的趣题(如图所示)：“今有池方一丈，葭生其中心，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的顶端正好与水面一样平，问水有多深？该植物有多长？(“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止运用，1丈＝10尺，1米＝3尺)．若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水下的概率是()A.eq\f(9,10)B.eq\f(12,13)C.eq\f(13,14)D.eq\f(14,15)答案B解析设水深为x尺，则(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12，即水深12尺，芦苇长13尺，则所求概率P＝eq\f(12,13).4．分别在区间[1,6]，[1,4]内各任取一个实数，依次记为m，n，则m>n的概率是()A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8答案C解析画出图形(如图所示)，m，n所满意的区域为矩形ABCD，而m>n所满意的区域为梯形ABCE，所以m>n的概率P＝eq\f(S梯形ABCE,S矩形ABCD)＝eq\f(15－\f(9,2),15)＝0.7.故选C.5．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事务“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案A解析由－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1得logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故事务“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).二、填空题6．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的概率为________．答案eq\f(π,12)解析由已知得到三角形为直角三角形，三角形ABC的面积为eq\f(1,2)×3×4＝6，离三个顶点距离都不大于1的地方如图三角形的阴影部分，它的面积为半径为1的半圆面积S＝eq\f(1,2)π×12＝eq\f(π,2)，所以其恰在离三个顶点距离不超过1的概率为P＝eq\f(\f(π,2),6)＝eq\f(π,12).7．记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．答案eq\f(5,9)解析由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).8．“丁香”和“小花”是好挚友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间(假定她们在这一时间段内任一时刻等可能地到达)在歌乐山健身步道起点处会合，若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟．若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟．若在等待时间内对方到达，则她俩就一起欢乐地爬山，否则，她们均不再等候对方而独自去爬山，则“丁香”和“小花”欢乐地一起爬歌乐山的概率是________(用数字作答)．答案eq\f(47,72)解析由题意知本题是一个几何概型．设“小花”和“丁香”到达的时间分别为(8＋x)时和(8＋y)时，则0≤x≤eq\f(1,2)，0≤y≤eq\f(1,2)，若两人见面，则0≤x－y≤eq\f(15,60)＝eq\f(1,4)，或者0≤y－x≤eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)，如图，正方形的面积为eq\f(1,4)，落在两直线之间部分的面积为eq\f(1,4)－eq\f(1,18)－eq\f(1,32)，所以“丁香”和“小花”欢乐地一起爬歌乐山的概率是eq\f(\f(1,4)－\f(1,18)－\f(1,32),\f(1,4))＝eq\f(47,72).故答案为eq\f(47,72).三、解答题9．在转盘嬉戏中，假设有红、绿、蓝三种颜色．在转盘停止时，假如指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问：若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为eq\f(1,5)，输的概率为eq\f(1,3)，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解因为赢的概率为eq\f(1,5).所以红色所占角度为周角的eq\f(1,5)，即α1＝eq\f(360°,5)＝72°.同理，蓝色占周角的eq\f(1,3)，即α2＝eq\f(360°,3)＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°.B级：实力提升练10．如图所示，在地上画一个正方形方框，其边长等于一枚硬币直径的2倍，向方框中投硬币，硬币完全落在正方形外的状况不计，求硬币完全落在正方形内的概率．解如图所示，设正方形ABCD的边长为4a，硬币的半径r＝a，则正方形O1O2O3O4的面积为4a2，曲边多边形EFGHI