八年级上第13章《全等三角形》全章教学案（含答案）

第十三章全等三角形

本/章/整/体/说/课

4教学目标

”知识写技能.

1.了解逆命题与逆定理的含义，能够判断真命题与假命题，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结

论的确定性.

2.了解全等图形的概念，能识别全等多边形（三角形）的对应顶点、对应角、对应边，知道全等多边形（三角

形）的对应边、对应角分别相等.

3.熟练掌握三角形全等的判定方法，并会运用这些判定方法判定两个三角形全等.

4.了解尺规作图的步骤，能利用基本作图方法作三角形.

5.在教学中，注意知识的形成过程和所学内容与现实生活的联系;注重让学生经历操作、观察、推理、想

象等探索过程.

r过程.制

1.通过探究知识的过程，了解全等图形和全等三角形的判定，以及尺规作图之间的内在联系.

2.使学生有效地使用逻辑推理的方式认识几何图形，知道证明的过程可以有不同的表达方式，学会演绎

推理证明的格式.

3.掌握全等三角形的证明思路和方法.

1.让学生通过动手操作，感受知识的形成过程,树立认真的学习态度，激发学生的学习热情.

2.利用小组合作学习的方法，在学习中多与同学进行交流，多种感官参与教学，主动探索，发现规律，归纳

概括，形成能力,养成学数学、爱数学的情感.

〈教材分析

学生已经学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，这些为学习命题和全等三角形的有关

内容做了准备.通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识.全等三角形是研究图形的重要工

具，学生只有掌握了全等三角形的相关知识，并且能够灵活运用它,才能学好以后要学的四边形.在本章中，全

等三角形的判定既是重点，也是难点，同时也是中考的热点.全等三角形在中考中主要考查全等三角形的判定

证明，并会将有关知识应用到综合题的解题过程中去，如把某些问题转化为三角形的问题求解，能从复杂的图

形中寻求全等的三角形以获得自己需要的信息也是中考的要点.

a教学重难点

【重点】

1.命题、定理的有关概念.

2.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法.

3.证明的基本过程.

4.尺规作图.

【难点】

1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识.

2.证明的格式.

修教学建议

1.在命题与证明的教学中，要让学生通过大量的例子，分清命题的条件和结论，让学生逐步熟悉命题的形

式，要通过学生自主探索、合作交流，让学生归纳出举反例判断假命题的方法，在进行定理的教学时，还应让学

生确认可以通过逻辑推理证明的真命题才有可能作为定理，成为以后证明的依据.

2.对全等三角形的教学时，要引导学生正确分类,能根据所给数据画出三角形，通过比较，直观感知全等三

角形的判定方法，同时也要让学生能通过说理确认全等三角形的判定方法的正确性.在证明的过程中要指导

学生注意规范书写格式,规范推理过程，让学生的推理过程有理有据,同时要注重分析思路，让学生学会思考问

题，让学生学会对问题有清晰的思路过程.有必要养成固定的思考过程模式，如:证等角——全等三角形——

找到相关三角形——找全等条件一联系已知条件.

3.在教学尺规作图时，应要求学生采用先画草图分析作法，再进行尺规作图;对于''作一个角等于已知角”

的教学时，要注意引导学生进行分析，要让学生先自主探究，后合作交流，同时要让学生在动手操作的基础上总

结作图的步骤.

e课时划分

13.1命题与证明1课时

13.2全等图形1课时

13.3全等三角形的判定4课时

13.4三角形的尺规作图1课时

回顾与思考1课时

课/时/教/学/详/案

13.1命题与证明

■整体设计

①教学目标

,知识写技能.

i.理解逆命题的概念，能够判断命题的真假.

2.会把命题改写成“如果……那么……”的形式.

3.了解逆定理及证明的概念,会对一个真命题进行证明.

.过程写方字

1.感受几何中推理的严谨性，掌握推理的方法.

2.通过对几何问题的演绎推理，体会证明的必要性，培养学生的逻辑推理能力.

通过积极参与，获取正确的数学推理方法，理解数学的严谨性，并培养与他人合作的意识.

⑥教学重难点

【重点】

1.让学生弄清命题的条件和结论，熟悉命题的形式.

2.理解逆定理和证明的概念，能进行简单的证明.

【难点】理解证明的必要性.

①）教学准备

【教师准备】课件15

【学生准备】复习以前学过的几何定理等知识.

旧教学过.

E新课导入

导入一：

情境:小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.

小亮:“哈!这个黑客终于被逮住了

小刚:“是的，现在网络广泛应用于我们的生活中，给我们带来了方便，但.

坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着.

“这个黑客是小偷吗？”

“可能是喜欢穿黑衣服的贼

你听完这节片段的故事，有何想法？

同学们各抒己见，老师给予同学的各种回答评价后，发表自己的看法:在日常生活中，我们会遇到许多概念,

假如不对这些概念下定义，别人就无法理解这些概念的含义，以致无法正常地进行交流.同样，在数学学习中，

要进行严格的论证，也必须首先对所涉及的概念下定义.本节我们就一起学习命题与证明.

导入二：

在电影《流浪者》中，法官和流浪者有这样一段对话，法官说:‘'贼的儿子永远是贼，因为你是贼的儿子，所

以永远是贼.”同学们,法官这个推理对吗？显然是错误的，你知道这个荒谬的结论错在哪里吗？学完本节课''命

题与证明''你就会明白了.

［设计意图］通过风趣幽默的对话，让学生感知证明的重要性，从而激发学生的求知欲望，能够更好地投

入到本节课的学习之中，为学习本节课的知识做好铺垫.

导入三：

师:我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”“三条边相等的三角形是等边三角形”

等.根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确.

1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

2.两直线平行，同位角相等.

3.同旁内角相等,两直线平行.

4.平行四边形的四条边相等.

5.直角都相等.

［设计意图］通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题的真假，初步感知真命题和假命题，从而自然

地引入新知.

区新知构建

活动一：真假命题与互逆命题

思路一

【课件1】观察下面两个命题：

(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

(2)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等.

引导学生思考：

⑴在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？

(2)请再举例说明两个具有这种关系的命题.

归纳:像这样，一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.

在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.

让学生完成教材第32页“做一做‘，指出原命题和逆命题的真假性.

教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性.

［知识拓展］每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命

题的逆命题，但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换，必须正确运用数学语言.

强调:每个命题都有逆命题，但原命题正确,它的逆命题未必正确.要说明一个命题是假命题，只要举出反

例就可以了.

例如:“若，则a=6”这个命题是假命题，只要举出两个数的绝对值相等,但这两个数不相等的情况就可以判

断这个命题是假命题.如:，但5W5.

让学生举出反例说明:“如果*力0,那么a力0”是个假命题.

［设计意图］明确真、假命题与互逆命题，通过区分两类概念，从中体会要说明一个命题是假命题,只要举

出一个反例就可以了，培养学生举反例进行说明的能力.

思路二

［过渡语］刚才通过实例,我们初步了解了推理的重要性,首先我们来学习真假命题与互逆命题.

1.命题的条件和结论

教师讲解:在数学中，许多命题是由已知条件、结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推

出的事项.这样的命题常可以改写成“如果……那么……”的形式，用‘'如果”开始的部分是条件，“那么''开始的部

分是结论.

有的命题的条件和结论不十分明显，可以将它写成''如果……那么……”的形式，就可以分清它的条件和

结论了.例如:命题“直角都相等"可以写成'如果两个角是直角，那么这两个角相等”.

【课件2】下列命题的条件是什么？结论是什么？

(1)对顶角相等.

(2)如果a〉6,6〉c,那么a=c.

引导学生把⑴先改写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论.

解:(1)条件:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.

⑵条件:a>4力c,结论:a=c.

2.真假命题

［过渡语］命题有真命题和假命题,真命题就是条件成立,结论也一定成立的命题;而假命题是条件成立

时,不能保证结论总是成立的命题.请同学们看下面的问题.

【课件3】判断下列句子是否正确.

(1)三角形的内角和是180度.

(2)同位角相等.

(3)同角的余角相等.

(4)一个锐角与一个钝角的和是180度.

让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由.

3.互逆命题

教师讲解:例如“两直线平行，内错角相等”这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截，且两直线平

行”，结论是“那么内错角相等'’.如果把这个命题的条件和结论互换一下位置，新句子也是一个命题，这时条件

为“如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行''.这样我们就说后一个命

题是前一个命题的逆命题，前—命题也是后一个命题的逆命题.这两个命题互为逆命题.

一般来说,在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命

题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做这个原命题

的逆命题.

活动二:证明与互逆定理

［过渡语］要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已经学过的基本事实、定义、性质和

定理等,进行有理有据的推理,这种推理叫做证明.

【课件4】证明:平行于同一条直线的两条直线平行.

让学生首先判断这个命题的真假性，引导学生分析讨论证明的方法.

说明:教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求.

已知:如图所示，直线a,b,c,a〃c,b〃c.

b---------------------

求证:

证明:如图所示,作直线d分别与直线相交.

二.c（已知）,

，N1=N2（两直线平行，同位角相等）.

6〃c（已知），

N2=N3（两直线平行，同位角相等）.

；.N1=N3（等量代换）.

...a〃可同位角相等，两直线平行）.

即平行于同一条直线的两条直线平行.

一般地，证明命题按如下步骤进行：

⑴依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言乂2）根据图形写出已知、求证;⑶根据基本事实、已

有定理等进行证明.

教师讲解:如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也就成了定理.这两个定理叫做互逆定理，

其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.

我们已经知道命题''两直线平行，内错角相等“和它的逆命题”内错角相等，两直线平行”都是真命题，所以

它们都是定理，因此它们就是互逆定理.

你能举出我们学过的一些互逆定理吗？

一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.例如:“相等的角是对顶角'是假命题,但它的逆命题

”对顶角相等''是真命题，且是定理.

指导学生完成教材第33页“做一做”.

【课件5]已知:如图所示，点。在直线A?上，勿分别是N4%/以/1的平分线.

OB

求证:M_L0E.

证明:..•①平分/AOC、应'平分ZBOC,

：.ZCOD=ZAOC,Z.COE=ZBOC,

：.ZCO£H-ZCO^(ZAOC+ZBOC)=180°=90°,

即/加注90°,

:ODA_OB.

［设计意图］通过做一做锻炼学生的逻辑思维能力，巩固所学的知识,同时培养学生的合作探究精神和归

纳总结的能力，让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据.

叵课堂小结

每一个命题都是由条件和

命题的结论两部分组成的,条件是

注意:对每一个讨论的命题，其条件和结论不一定只有一个.

组成已知事项，结论是由已知事

项推断出的事项.

正确的命题称为真命题;错

真命题、误的命题称为假命题;举一

假命题、个例子，其具备命题的条件，注意:要说明一个命题是假命题，通常举出反例来说明.

反例而不具备命题的结论，这种

例子称为反例.

一般来说,在两个命题中，如

互逆命果第一个命题的条件是第

题与互二个命题的结论，而第一个注意:任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定理.

逆定理命题的结论是第二个命题

的条件，那么这两个命题叫

做互逆命题.如果一个定理

的逆命题是真命题,那么这

个逆命题也就成了定理，这

两个定理叫做互逆定理，其

中一个定理叫做另一个定

理的逆定理.

证明的

⑴画图;(2)写出已知、求

一般步注意:证明要做到有理有据.

证;(3)证明.

骤

F检测反馈

i.下列命题的逆命题一定成立的是()

①对顶角相等；

②同位角相等，两直线平行；

③若斫4则|a国b\;

④若产3,则x3x=0.

A.①②③B.①④C.②④D.②

解析:①对顶角相等，逆命题为湘等的角为对顶角,错误;②同位角相等，两直线平行，逆命题为:两直线平

行，同位角相等，正确;③若，4则|a|=|引，逆命题为:若I司在引，则a=b,错误;④若尸3,则在后0,逆命题为:若

*3年0,则行3,错误.故选D.

2.命题:①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等.其中假

命题有()

个个个个

解析:对顶角相等，所以①为真命题;在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，所以②为假命题湘

等的角不一定是对顶角，所以③为假命题;两直线平行，同位角相等，所以④为假命题.故选C.

3.已知三条不同的直线a,4c在同一平面内，下列四个命题：

①如果a/7b,a±C,那么6_LC;

②如果那么b〃c,

③如果6-La,cJ_a,那么Z?_LC；

④如果Z?_La,C-La,那么b〃c.

其中真命题的是.（填写所有真命题的序号）

解析:分析所给命题是否为真命题，需要分析条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.故填

①②④.

4.命题“如果〃是整数，那么2/7是偶数"的条件是，结论是，这是命题（填“真”或

“假）

解析:命题写成’如果那么...”的形式时，“如果”后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论.依此

可写出命题“如果n是整数，那么2/7是偶数”的条件和结论.根据偶数的定义可知该命题是真命题.

答案:"是整数2〃是偶数真

5.如图所示，直线48和直线CD、直线跳'和直线CF都被直线比所截.在下面三个条件中,请你选择其中

两个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.D

①BC£D1BC②BE〃CF,③41=42.

解析:可以由①②得到③:由48_1弱切_1_欧得到加〃。利用平行线的性质得到“被＞乙%3,又BE〃

CF,所以NEBONFCB,所以/ABCNEBO/DCBNFCB,即Z1=Z2.

解:（答案不唯一）已知:如图所示,A5_LB，SJ_宛;施〃或

求证:N1=N2.

证明：：ABV.BC,切_LBC,

：.AB//CD,：-2ABO2DCB、

又,.•BE//CF,：.N£BONFCB,

：.NABCNEB年/DCBNFCB,

.\Z1=Z2.

f5板书设

13.1命题与证明

活动一：真假命题与互逆命题

活动二:证明与互逆定理

度布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第34页练习第1,2题.

【选做题】

教材第34页习题第1,2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列语句中，不是命题的是（）

A.两点之间线段最短

B.对顶角相等

C.不是对顶角不相等

D.连接4出两点

2.举一个反例说明“一个角的余角大于这个角'是假命题,其中错误的是（）

A.设这个角是45°它的余角是45°,但45°=45°

B.设这个角是30°它的余角是60°,但30°<60

C.设这个角是60°它的余角是30°,但30°<60

D.设这个角是50°它的余角是40°,但40°<50

3.以下说法正确的有:（只填序号）.

①垂线段最短；

②在平面内，若a_l_6,6_Lc,则a〃c；

③“同旁内角互补，两直线平行’的条件是“同旁内角互补"，结论是“两直线平行”;

④过一点有且只有一条直线平行于已知直线.

4.已知下列命题:①相等的角是对顶角;②互补的两个角一定是一个锐角，另一个是钝角;③在同一平面内，平

行于同一条直线的两条直线平行;④互为邻补角的两角的平分线互相垂直.其中正确命题的序号

是.

【能力提升】

5.命题:若a〉6,则.

⑴请判断这个命题的真假，若是真命题，请证明;若是假命题，请举一个反例.

⑵若这个命题是假命题，请你适当修改命题的条件，使其成为一个真命题.

【拓展探究】

6.对于有理数a,6,规定一种新运算:a□左a•/b.有下列命题:

①（3）口4=8;

②aLJZ）=6IZIa;

③方程54）口3=6的解为尸5;

④（4口3）口2=4口（3口2）.

其中正确命题的序号是.（把所有正确命题的序号都填上）

7.如图所示，现有以下3个条件:①40/切②N炉N,③N用NE请以其中2个作为条件，第3个作为结论构

（1）你构造的是哪几个命题？

（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明.

【答案与解析】

LD（解析:命题是能够判断出正确或错误的句子，所以它必须对某件事情进行判断.）

2.B（解析:反例一般是举符合条件但结论不成立的例子.）

3.①②③（解析:垂线段最短，所以①正确;在平面内，若aJ_6,6_Lc,则a〃c,所以②正确;“同旁内角互补，两直

线平行”的条件是“同旁内角互补"，结论是''两直线平行”,所以③正确;过直线外一点有且只有一条直线平行于

已知直线，所以④错误.）

4.③④（解析:①相等的角是对顶角，错误，因为对顶角既要考虑大小，还要考虑位置;②互补的两个角，一个为锐

角,另一个为钝角，错误，还有可能是两个直角;③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公

理,正确;④互为邻补角的两角的平分线互相垂直,正确.所以只有③④命题正确.）

5.解:⑴假命题.如^l,b=2符合但不满足.⑵改成:若a>6>0,则或若0〉司>6,贝I」.

6.①③(解析:(3)口4=3X4+4=8,所以①

正确;a□酷所以②错误;方程（万4）口3=6可化为3（x4）+3=6,解得户5,所以③正

确;（4口3）口2=（4乂3+3）口2=15口2=15*2+2=32,4口（3口2）=4口（3乂2+2）=4口8=4><8+8=40,所以④错误.故填

①③.）

7.解:（1）①②为条件，③为结论;①③为条件，②为结论;②③为条件，①为结论.Q），：AB〃CD,：.NB=NCDF；：

NB=NC，：.2ONCDF、：.CE/7BF,：.N后所以由①②为条件，③为结论组成的命题是真命题.，

ZB=ZCDF,VZE=AF,：.CE^BF,：.ZC=ZCDF,：.N比NG,所以由①③为条件,②为结论组成的命题是真命

题.：ZE=ZF,：.CE//BF,：-NC=NCDF；：ZB=ZC,：-NB=2。巩...4£〃◎所以由②③为条件，①为结论组成

的命题是真命题.

区1_教学反思、

①）成功之处

本节课的主要内容是命题、定理、证明.为此，在导入时让学生通过生动的情境导入，提高了学生学习的

兴趣，激发了学生的好奇心.整个过程以学生与学生、学生与教师之间的''对话”“讨论”为出发点，以互助、合作

为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值.本

课的内容比较简单，但概念较多，因此在学习之后设计了大量练习，让学生在练习中巩固所学知识，加深对概念

的理解和运用.

①）不足之处

本节涉及的概念较多，在概念的传授上，教师没有做到成功引导，虽然有引导的内容，但实际效果不佳.在

判断一些较难命题的条件和结论时判断不够准确，语言表达不够清晰，对于定理部分的内容介绍较少.

①再教设计

1.加强对概念的剖析和引导，要注意它们的联系和区别，可组织学生讨论发现,这样学生通过小组的研讨,

能够增强他们对概念的认识和理解.

2.通过多举例，让学生发现命题、定理的区别，掌握定理的应用价值.

3.对于命题的剖析，要让学生尽量做到语言表述的严谨性，鼓励学生互相补充，同时，多加练习.

旧教材习题解答

练习（教材第34页）

1.解:⑴如果两个角相等，那么这两个角是直角.它是假命题，如Nl=50°,N2=50°,/l=N2/90°.

（2）如果两个角的和是平角，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角.它是假命题，如Nl=90°,N2=90°,N1+N

2=180°,但N1和N2都是直角.（3）如果两个角相等,那么这两个角是同角（或等角）的余角.它是假命题，如

Na=N£=130°〉90°,N。和/£不可能是某个角（或某两个相等的角）的余角.（4）如果两个角相等，那么

这两个角是同角（或等角）的补角.它是假命题，如Na=N£=200°>180°。和/£不可能是某个角（或某

两个相等的角）的补角.（5）如果两个数的和等于0,那么这两个数是互为相反数的两个非0数.它是假命题，

如a=0,左0,a+炉0,但a,6不为非0数.（6）能被2整除的数一定是偶数.它是真命题.（证明略）

2.证明:如图所示,•..Nl+N2=180°（已知）,N1=N3（对顶角相等）,...N3+N2=180°（等量代换）,可同旁

内角互补，两直线平行）.

习题（教材第34页）

1.证明:：点C是线段4?的中点（已知）,.,.49=23线段中点的定义）.又..•点〃是线段CB的中点,.ICB=2C蜷

段中点的定义您:等量代换）.

2.证明睁（已知）,N1=N3（已知）,次"N1=N4'O'£'N3（等式的性质），即N2=N4.

3.解:：庞〃阳已知),乙4吠50°(已知),/070°(已知),氏/4吠50°(两直线平行，

同位角相等),/。册/0180°(两直线平行，同旁内角互补),%ZM80°N伉180°70°=110°.

■备课资源

①)拓展应用

1.初中数学命题的三个特征

命题是对某一事件作出正确或不正确判断的语句.正确理解命题的关键是要抓住它的三个特征,下面举

例分析.

KSH下列各语句中，哪些是命题？哪些不是命题？

(1)相等的角是直角.

(2)直线是没有长度的.

(3)明天会下雨吗？

(4)两条直线被第三条直线所截.

(5)作直线AB//CD.

解:⑴(2)是命题，因为它们都是具有判断性的语句.⑶(4)⑸都不是命题，因为它们都不是判断性语句，⑶

是疑问句,(5)是叙述一个过程的语句.

2.数学命题有真假之分

正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.要判断一个命题是真命题需要进行证明，而判断一个命

题是假命题只要举出一个反例就可以.

取回I下列各命题是真命题还是假命题？

(1)有公共顶点的两个角是对顶角.

(2)四边形的内角和是360度.

(3)内错角相等.

解:不能认为肯定的命题就是真命题，否定的命题就是假命题.（1）假命题.如图1所小,41和N2是有公共

顶点的两个角，但N1和N2并不是对顶角.（2）真命题.如图2所示，一条对角线可以把一个四边形分成两个

三角形，由每个三角形内角和是180度可知四边形内角和是360度.⑶假命题.如图3所示,若直线AB与CD

不平行，则N1HN2.

3.命题的结构有固定的形式

每个命题都是由题设（条件）和结论两部分构成的，有些命题常常写成“如果那么...”的形式，具有这种

形式的命题中，“如果''部分是条件，就是命题证明中的“已知”；“那么”部分是结论，就是命题证明中的“求证”.

T）经典例题

阚何如图所示，下列六个条件:①N1=N£②N2=N£③N4+Nl=180°;④N8+N2=180°;⑤

N#180°;⑥/叱/后180°.从中选取两个作为条件，使得命题“如果,，那么四〃EP是

AB

2XD

一个真命题，并证明你的结论.（填序号）EF

解乂本题答案不唯一）可选①④.如果Nl=N£NB+N2=180°,那么CD//EF,AB//CD,：.AB//EF.

13.2全等图形

0整体设计

教学目标

r知识与技能r

1.了解全等图形以及全等图形的对应点、对应线段、对应角.

2.了解全等三角形，知道全等三角形的对应边相等，对应角也相等.

过程与方法

通过观察图形，找到全等三角形的对应边、对应角，利用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质进行

简单的推理和计算.

情感态度与价值观

培养学生的观察和动手能力，发展学生的几何观念.

①）教学重难点

【重点】掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质.

【难点】用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.

T)教学准备

【教师准备】课件17

【学生准备】搜集日常生活中形状、大小相同的图形.

口教学过.

E新课导入

导入一：

1.做一做:指导学生画边长为4cm的等边三角形和边长为4cm的正方形，并将它们剪下来.

2.交流讨论:同桌两人为一组，将剪下的图形放在一块，观察重合情况.

3.得出结论:两个三角形完全重合，两个正方形完全重合.

4.出示教材第35页图1321中⑴⑷(5),及思考"观察与思考”中的两个问题.

5.如图所示，找出图中全等的图形:和全等.

6.学生画三边长分别为4cm、5cm、6cm的三角形，剪下后两人一组放在一起，观察讨论,两个三角形是

否全等？

［设计意图］让学生观察图形,对图形有一个感性的认识.通过学生的动手操作，感知图形的全等,培养学

生的操作能力.

导入一:

【课件1】教师出示图片观察思考:如图所示，每组的两个图形有什么特点？

教师多媒体演示,实际操作把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图形叠放在一起.

学生讨论.

生1:每组的两个图形大小都一样.

生2:每组的两个图形都可以重合.

师:同学们的观察力很棒，上面的两组图形，每组中的两个图形能够完全重合.那么现实生活中还有哪些

能够完全重合的图形的例子呢？

学生举例.

师:很好，我们今天就来学习全等图形的相关知识（板书课题）.

［设计意图］通过简单的生活图例和教师的演示，导出本节课的教学内容,有利于提高学生学习的积极

性.

导入三：

如图所示，正方形网格中有12棵树，请你把这个正方形网格划分为四小块，要求每块的形状、大小都相同,

并且每块中恰好有三棵树.

要想划分相等的几部分,就需要用到全等的有关知识，也就是我们今天要学习的内容.

［设计意图］通过问题情境的设计，激发学生对全等知识的探究欲望，从而积极地投入到本节课的教学

中.

国新知构建

［过渡语］图形的形状和大小是几何研究的重要内容,全等图形研究的是图形形状和大小的相互关系.

探究一:全等图形的概念

思路一

师:我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形.

【课件2］观察下面两组图形，它们是不是全等图形？并指出它们的相同点与不同点.

(2)

学生观察讨论.

生:它们不是全等图形.

师:为什么？

生:在图(1)里的两个图形都是八边形，但是它们的大小不相等.在图(2)中的两个图形都是由三个大小相

同的小正方形组合而成的，它们的大小相等，但形状不相同.

师:回答得很好，这位同学不仅观察力很棒，并且语言组织能力也很强.同学们也要像他一样不仅要善于

观察更要善于总结.如果上面两组图形不是全等图形，那么全等图形有什么样的特征呢？

生:全等图形的形状、大小都相同.

师:全等图形的形状、大小都相同.当两个全等的图形重合时，互相重合的点叫做对应点，互相重合的边叫

做对应边,互相重合的角叫做对应角.

【课件3】观察下面的全等图形，找出图形的对应边、对应点和对应角.

［设计意图］理解和掌握全等图形的定义，明确全等图形必须具备的条件:一是形状相同;二是大小相等.

另外通过练习让学生明确两个全等图形点、角、边的对应关系.

思路二

师:我们身边经常看到“一模一样”的图形,比如两张由同一底片冲印出来的完全相同的照片，用两张纸重

叠在一起剪出的两张窗花等，你还能举一些这样的‘'一模一样”的例子吗？

问题:几何中，我们把上面所列举的“一模一样”的图形叫做‘全等图形"，那么我们怎么给“全等图形'下一个

几何定义呢？是：

(1)形状相同的两个图形？

(2)大小相等的两个图形？

(3)能够完全重合的两个图形？

讨论结果:能够完全重合的两个图形叫全等图形.

【课件4］(1)你能把如图(a)所示的长方形分成2个全等图形吗？把如图⑶所示的等边三角形分成3

个全等三角形吗？把如图(c)所示的长方形分成4个全等三角形吗？

(2)你会把下图㈤和⑺分别分成四个全等的图形吗？试一试.(保留你画的痕迹)

S)(7)

指导学生小组讨论完成.

说明:当两个全等的图形重合时，互相重合的点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做

对应角.

［知识拓展］两个全等图形，它们的形状和大小应该是完全相同的，缺一不可.两个全等图形与它们的相

对位置无关.全等多边形是全等图形的特例，所以如果两个全等多边形能够达到重合状态，那么它们重合的边

(对应边)、重合的角(对应角)分别相等.

探究二:全等三角形

［过渡语］在全等多边形中,最常见的就是全等三角形,下面我们来研究一下全等三角形的有关知识.

1.全等三角形的性质的探究

思路一

L全等三角形的定义及性质

(1)定义:全等三角形是能够完全重合的两个三角形，是形状相同、大小相等的两个三角形.

(2)反例:举出不全等的三角形的例子，利用教师和学生手中的含有30度角的三角板说明只满足形状相同

的两个图形不是全等图形，强调定义的条件.

师:请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形？

学生在生活中找图形.

⑶对应元素及性质:教师结合手中的教具说明全等三角形的对应边、对应角、对应顶点,引导学生发现

全等三角形的对应边相等,对应角相等.

2.学习全等三角形的表示符号

解释，3，，的含义及读法，并强调对应顶点写在对应位置上

举例说明：

如图所示,：&｛及超4%码已知）,.14左板/年施,吩曲全等三角形的对应边相等）,/生/4/比/£/

华/可全等三角形的对应角相等）.

教师小结：

在书写全等三角形时，如果将对应顶点写在对应位置上，那么将两个三角形的顶点同时按顺序轮换，可写

出所有对应边和对应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间.

总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想.

思路二

学生动手制作，先做一个三角形，然后将做好的三角形按在纸上沿它的各边做第二个三角形.

师:与学生交流，做好的同学试着把你们手中的两个三角形叠放在一起看看,它们会怎样？

生:完全重合.

师:嗯，对.我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

【课件5】出示将A/BC沿直线平移后得到的A/B'C'（如图所示）.

师:现在请同学们认真观察并指出图中的对应顶点、对应边、对应角.

学生小组讨论后得出：

对应顶点是A和和和C.

对应边是和4'£',及7和B'C\AC^A'C.

对应角是//和和/和N。'.

师:AABC与AA'£'C'全等记作AABC^NA'B'C'.想一想:全等三角形的对应边有什么关系？对应角有什

么关系？

生:全等三角形的对应边相等、对应角相等.

师:非常准确，这就是全等三角形的性质.知道两三角形全等，那么我们就可以得出以上结论，三组对应边

分别相等,三组对应角分别相等.可是在找全等三角形的对应元素时,一般有什么规律呢？

教师多媒体出示【课件6】

有公共角的，公共角是对应角.有对顶角的，对顶角是对应角.

在两个全等的三角形中:一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.一对最大的角是对应角，一对

最小的角是对应角.

［设计意图］通过教师的多媒体演示和学生的观察学习及小组的合作交流，认识全等三角形的性质.

2.例题讲解

［过渡语］刚才通过探究我们学习了全等三角形的性质,利用这个性质我们可以求边的长度和角的大

小.

【课件7】

AD

由昭固已知:如图所示，44及泾小。硒入4=78°,/斤35°,除18.B二ECF

(1)写出和△〃用的对应边和对应角.

(2)求N尸的度数和边)的长.

让学生说出对应边和对应角.

引导学生分析:N尸的对应角是可先根据三角形内角和定理求出的度数.

［设计意图］通过例题的讲解，使学生进一步掌握全等三角形的性质,并能熟练应用性质解决相关问题，

培养学生分析问题和解决问题的能力.

叵课堂小结

1.全等图形:能够完全重合的两个图形叫做全等图形，这里的重合是指完全重合，这里的全等不等同于相

等，全等指两个图形完全重合，而相等是对两个量而言,可以是长度、重量，也可以是面积、体积.

2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，这些性质是探讨全等三角形的基础，也是今后探索其他较复杂

图形的性质的重要依据.在利用全等三角形的性质进行计算和证明时，要注意对应元素相等.

w检测反馈

1.如图所示,△/&NA4厅;48和力34c和a是对应边，那么N仍尸等于()

A.AACB

B.ABAC

C.NF

D.NCAF

解析:・.・AABC^△AEF,：./EA2/BAC.故选B.

2.下列说法正确的是（）

A.面积相等的两个图形全等

B.周长相等的两个图形全等

C.形状相同的两个图形全等

D.全等图形的形状和大小都相同

解析:根据全等图形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行分析即可.故选D.

3.如图所示的四个图形中，全等的图形是（）

A.①和②B.①和③

C.②和③D.③和④

解析:③和④可以完全重合，因此全等的图形是③和④.故选D.

4.如图所示，若A//且A5=5,4层3,贝IJ的长为）

.5

解析:：AABE^AAC^A3=5,：.A(^AB=5,"A^3,：.EC=ACAE=53=2.故选A.

5.如图所示，已知AH以舞A/龙,/俏/£/居四则另外两组相等的对应边为，另外两组相等的

对应角为.

解析:YAABC^AADE,N俏NE,AB=AD,：.AC=AE,BC=DE,NBA俏NDAE,NB=NADE.

答案:AC=AE,BODENBAC=NDAE、NB=NADE

6.如图所示,若白刃性6。比；且/365°,/座4=135°,求/。的度数.（提示:四边形的内角和为360°）

解析:根据全等三角形对应角相等可得N俏NO,N旃再根据三角形的内角和等于180°表示出

N侬;然后利用四边形的内角和等于360°列式求解即可.

解:：A刃屋AOBC,

・•・N俏NOBOZOAD,

,・，N365。，

：.ZOBC=180°65°N俏115°ZC,

在四边形/鳏中，

N价N6mN的+N%氏360°,

.*.65°+115°N6H35°+115°Z£=360°,

AZ6^35°.

区板书设计

13.2全等图形

探究一:全等图形的概念

探究二:全等三角形

1.全等三角形的定义及性质

(1)能够完全重合的三角形叫做全等三角形

(2)全等三角形的对应边相等、对应角相等

2.例题讲解

叵五置作业

一、教材作业

【必做题】

1.教材第36^7页练习第1,2题.

2.教材第37页习题A组第1,2题.

【选做题】

教材第37页习题B组第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在如图所示的各组图形中，是全等图形的是（）

I)

2.如图所示,A/硒H作仍N比则对于结论:①［小初②/科比/切氏③炉园④N玖比N用C其

中正确结论的个数是（

个个个个

3.如图所示,比^AZffiF,N4=50°,立e30°,则NE的度数为（）

C

A.30°B.50°C.60°D.100

4.如图所示，点£4〃。在同一条直线上，△/及售A颇;49=4,*10,则等于)

5.如图所示,AAB3ADB&且N4和N4优1和ZDBC是对应角,请写出三组对应边:

;另一组对应角:(4).

【能力提升】

6.根据下列解题过程填空.图2

⑴如图1所示，已知直线即与仍切都相交，且四〃。试说明N1=N2的理由.

解:：加〃叫已知),

：.Z2=Z3(),

•••Z1=Z3(),

.\Z1=Z2().

(2)如图2所示，已知A4。便△及加，试说明劭成立的理由.

解:：A4。偿ABOD,

.♦.NG)，

：.AC/7BI\).

7.如图所示，已知A以侬分别是两个三角形的最长边,/4=/伉35°,/&2良100°,3=10

D

E

求N4ET的度数.

【拓展探究】

8.如图所示,A9侬A网/尸和N"是对应角，在A9'G中，尸G是最长边，在AJW中，版是最长边，上2.1

cm,£7^1.1cm,M^3.3cm.

(1)写出其他对应边及对应角；

(2)求线段网及线段例的长度.

【答案与解析】

LC(解析:由全等图形的概念可以判断C中图形完全相同,符合全等图形的要求,A,B,D中图形很明显不相同,A

中大小不一致,B,D中形状不同.)

2.C(解析:：AABC^A/俄.•.〃%£故①正确;NE4户N胡，，N用C=N防屏/物4,故②错误;正因故③正

确;N为庆N物，故④正确.综上所述,结论正确的是①③④，共3个.)

3.D(解析:：A4况2走50°,Ne30°华30°,NZ>N/=50°,：.N后180°ZDZ

j&180°50°30°=100°.)

4.A（解析:：AABC^ADEF,作如，即

CW女册孙'.册％女4,层10,.,.屐（CE49=（104）=3,.,.抬■屐4+3=7.）

5.⑴4?和施⑵4，和%⑶8。和比（4）N〃B和Ng解析:根据全等三角形对应顶点的字母写在对应

位置上写出对应边和对应角即可.）

6.⑴两直线平行，同位角相等对顶角相等等量代换（2）/8全等三角形的对应角相等内错角相等，

两直线平行

7.解:,：XEAB^XDCE,：./BEA=NCD%\QQ°,VZ^=ZC=35°