河南省商丘市2024-2025学年高一上学期期末数学试题【含答案解析】

商丘市普通高中2024—2025学年高一年级期末（上）联合考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码将贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需要动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先化简集合B，再求并集，从而可得结果.【详解】因为集合，，所以，所以中元素个数为故选：C.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式得到.【详解】.故选：B3.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】指数式化为对数式，利用对数运算法则得到，再对数式化为指数式，得到.【详解】，.故选：C4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数，指数函数单调性和中间值比较大小.【详解】由于在R上单调递减，，由于，故，由于在上单调递增，故，故.故选：D5.要得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将两个函数名称变成一样，再根据平移规则变换即可.【详解】，根据“左加右减”平移规则，将函数的图象向左平移个单位长度，得到.故选：A.6.若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复合函数单调性得到，故，由于真数大于0，结合函数单调性得到不等式，求出答案.【详解】由题意得且，解得且，由于在上单调递减，而在上单调递减，由复合函数单调性可知，需在上单调递增，故，故，又真数大于0，故在上恒成立，由于在上单调递减，故只需，解得，故.故选：D7.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案.【详解】两边平方得，①，两边平方得，②，式子①+②得，即，即，所以.故选：B8.已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出的图象，数形结合得到，令，解得，由韦达定理得到，结合单调性求出，得到答案.【详解】画出的图象，如下：有3个不同的实数根，，，故，令，解得，显然为方程，即的两个根，故，故，因为，在上单调递减，所以.故选：A【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若A，B均为非空集合且，则“”是“”的必要不充分条件B.若a，，则“”是“”的充分不必要条件C.若x，，则“”是“”的充要条件D.“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据并集概念，得到A正确；B选项，由对数函数单调性得到充分性成立，举出反例，必要性不成立，得到B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立；D选项，解不等式得到的解集，根据推出关系得到D正确.【详解】A选项，A，B均为非空集合且，，但，故则“”是“”的必要不充分条件，A正确；B选项，，故，充分性成立，，不妨设，此时无意义，必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，B正确；C选项，x，，若，此时，充分性不成立，C错误；D选项，，解得，由于，但，故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：ABD10.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】B选项，由条件得到，故，并得到，故B正确；举出反例得到AD错误；再由得到，由，得到，从而，C正确.【详解】B选项，，又，故，由可得，即，由可得，所以，故，由可得，即，所以，B正确；不妨设，满足和，此时，，AD错误；两边同除以得，，，故，即，不等式两边同除以得，所以，C正确；故选：BC11.若函数满足对任意，，都有，且当时，，则（）A.的值不可能是0 B.C.是奇函数 D.是增函数【答案】AC【解析】【分析】AB选项，赋值，得到或，当时，，排除，得到，；C选项，令得，C正确；D选项，举出反例即可.【详解】AB选项，中，令得，解得或，令得，又或，当时，，因为当时，，故不合要求，当时，，由于当时，，故，满足要求，故，A正确，B错误；C选项，中，令得，由于，故是奇函数，C正确；D选项，满足要求，但不是增函数，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：处理抽象函数问题，常用方法为赋值法，经常赋值0，等，并结合函数奇偶性和单调性来解决问题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】变形得到，由基本不等式求出最值.【详解】，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为：13.已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：℃）满足的关系式为，a，，若该食品在0℃时的保鲜时间是128h，在4℃时的保鲜时间是在24℃时保鲜时间的2倍，则该食品在20℃时的保鲜时间是________h.【答案】64【解析】【分析】根据题意得到方程组，求出，得到解析式，代入，求出答案.【详解】由题意得，解得，故，当时，.故答案为：6414.已知函数在上的最大值为，则________.【答案】1【解析】【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案.【详解】，时，，，故，故，解得.故答案为：1四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为.（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用函数的最小正周期公式求出的值，再根据函数图象关于直线对称的性质求出的值，从而得到函数的解析式；（2）利用整体代换计算单调递增区间即可.【小问1详解】已知的最小正周期，那么，解得.因为函数的图象关于直线对称，对于函数，其图象关于直线对称，所以，即，可得.又因为，当时，满足条件，所以.【小问2详解】令解不等式左边：，得到.解不等式右边：，得到.所以的单调递增区间是.16.已知函数且.（1）若的图象经过点，求不等式的解集；（2）若存在x，使得，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集；（2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围.【小问1详解】将代入得，，解得，故，其在上单调递增，，故，解得，故不等式的解集为；【小问2详解】，，解得，且，故在上有解，即在上有解，其中在上单调递增，且，当时，，故，所以，又且，解得.17.已知.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式，结合正弦余弦齐次式，弦化切即可求解;（2）利用同角三角函数的基本关求出，根据二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】,.【小问2详解】,且,,,,,,,.18.已知（且）是偶函数.（1）求a的值；（2）用单调性的定义证明在上单调递增；（3）解关于x的不等式.【答案】（1）4（2）证明过程见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）变形得到，由得到方程，求出；（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；（3）不等式变形为，分，，，和，五种情况，求出不等式解集.【小问1详解】，故，由题意得，即，若且，无解，若且，解得，负值舍去，故；【小问2详解】由（1）知，，任取，，则，因为，，在R上单调递增，所以，，故，即，所以在上单调递增；【小问3详解】，故，变形为，当时，，解得，解集为当时，有两个根，分别为当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式解集；当时，不等式为，解集为；当时，，不等式解集为综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19.给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”.（1）若是上的“单位距函数”，求a的值.（2）若函数在区间上的最小值为.（i）求的表达式；（ii）若，为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值.【答案】（1）1（2）（i）；（ii），【解析】【分析】（1）先得到为奇函数，并分和两种情况，变形后，结合对勾函数单调性和奇偶性得到，从而得到方程，求出答案；（2）（i）化简换元，变形得到，，分类讨论，结合函数单调性，得到答案；（ii）在（i）基础上，得到为整数，从而得到，为区间上“单位距函数”，结合（i）可得单调性，从而得到方程，解得.【小问1详解】定义域为R，且，故为奇函数，当时，，当时，，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，理由如下：任取且，则，因为且，所以，，，故，即，所以在单调递减，同理可证在上单调递增，则，所以，故，由对称性可知，当时，，所以，故，解得；【小问2详解】（i），令，变形为，由于，则，当，即时，在上单调递减，故，当，即时，在上单调递增，故，当，即时，，综上，；（ii），，由（i）可得，故为整数，因为，所以，需为整数，则，即时，为整数，满足要求，为区间上的“单位