【压轴专练】专题05 整式乘除法中常考三种题型大全（解析版）-2021-2022学年八上压轴题攻略

专题05整式乘除法中常考三种题型大全类型一、不含某项字母求值例1．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．（1）求b的值；（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）展开式中不含x的二次项和一次项，，解得：，；（2）当时，．【变式训练1】已知将展开的结果不含和项，（m、n为常数）（1）求m、n的值；（2）在（1）的条件下，求的值．（先化简，再求值）【答案】（1）；（2），-1792【详解】（1），，由题意得：，解得：；（2），当，时，原式【变式训练2】关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4+m化简后不含有项和常数项，且an+mn＝1，求a，m，n的值．【答案】a＝2，m＝3，n＝【详解】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4+m＝2a+ax﹣6x﹣3﹣4+m＝（2a﹣4）+（a﹣6）x+m﹣3，∵化简后不含有项和常数项，∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0，a＝2，m＝3，又∵an+mn＝1，∴2n+3n＝1，∴n＝．【变式训练3】（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系；（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．【答案】（1）代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；（2）1；（3）k=20，另一个因式为：．【详解】解：（1）＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s．故代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；（2）∵（）（）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，又∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，=；（3）∵二次三项式有一个因式是，∴==，∴2m-5=3，5m=k，∴m=4，k=20，另一个因式为：．类型二、与几何的综合问题例1.如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：________；（2）从中你发现什么结论呢？_________；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①28；②．【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，故答案为：，；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，，故答案为：；（3）①，，又，；②设，，则，，，答：的值为．【变式训练1】如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“”型的图形（阴影部分）．（1）用含，的代数式表示“”型图形的面积并化简；（2）若米，“”型区域铺上价格为每平方米元的草坪，请计算草坪的造价．【答案】（1）；（2）草坪造价为8500元【详解】解：（1）由题意得：“”型图形的面积为；∵，∴，∴“”型图形的面积为（平方米），∴造价为（元）．【变式训练2】学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图．（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：；（2）选取张型卡片，张型卡片，则应取张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是（用含，的代数式表示）；（3）选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为；（4）选取张型卡片，张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则与有什么关系？请说明理由．【答案】（1）；（2）4，；（3）；（4）或，见解析．【详解】解：（1），故答案为：；（2）取张型卡片，张型卡片，面积之和为：，由完全平方公式的几何背景可知，一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，即，故应取4张型卡片能拼成一个新的正方形，此正方形的边长为：，故答案为：4，；（3）选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，由图可知，型卡片是一个边长为的正方形，也可以是一个边长为的正方形，减去张型卡片的面积，即，即得到等量关系：，故答案为：；（4）设MN的长度为x，，，，，或（舍去）或，或．【变式训练3】（发现问题）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2请解答下列问题：（1）请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式（直接写出等量关系式即可）（自主探索）（3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为（3a＋2b）（2a＋3b）长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝_____（拓展迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______【答案】（1）（a－b）2＝a2－2ab＋b2；（2）（a＋b）2－4ab＝（a－b）2；（3）图见解析，19；（4）（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3【详解】（1）阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积即，故答案为；（2）阴影部分面积=，大正方形面积=，长方形面积=大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积，即：；（3）将面积为的长方形画出后，按比例分割，图如下：看图即可得：，，所以，，故答案为19；（4）大正方体体积=各小长方体体积之和，即：故答案为．类型三、规律性问题例1.（1）填空：；；．（2）猜想：．（其中n为正整数，且）．（3）利用（2）猜想的结论计算：①②【答案】（1），，；（2）；（3）①；②【详解】（1）；；；故答案分别为：，，；（2）由（1）的规律可得：原式，故答案为：；（3）①；②∵即．【变式训练1】观察下列各式：……（1）根据以上规律，______；（2）你能否由此归纳出一般规律：______；（3）根据以上规律求的结果．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）根据已知等式的规律可得：，故答案为：；（2），故答案为：；（3）令x=2，n=2018由（2）可得．【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．（1）根据上面的规律，（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为；（2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值；（3）若（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值．【答案】（1）6；（2）﹣1；（3）﹣1【详解】解：（1）第五行即为1、4、6、4、1对应（a+b）4展开式中各项的系数，∴（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为6，故答案为6；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，．．．．．．根据展式中的2最大指数是5，首项a=2，末项b=-3,∴25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5＝[2+（﹣3）]5＝（2﹣3）5＝﹣1；（3）∵（x﹣1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，∴当x＝1时，（1﹣1）2020＝a1×12020+a2×12019+a3×12018+……+a201912+a2