【数学】数系的扩充和复数的概念+课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章<<<7.1.1数系的扩充和复数的概念1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点)3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件.(难点)学习目标

导语一、复数的有关概念二、复数的分类课时对点练三、复数相等的充要条件随堂演练内容索引一复数的有关概念我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？问题提示为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2=-1.1.复数(1)定义：我们把形如

的数叫做复数，其中i叫做________，满足i2=

.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的

，b叫做复数z的

.2.复数集(1)定义：全体复数构成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做

.(2)表示：通常用大写字母

表示.a+bi(a，b∈R)虚数单位-1实部虚部复数集C(1)i2=-1.(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.

注

意

点<<<

例

1

1+3i-2-i+10+i0i2实部1-20+100-1虚部30-000复数的代数形式z=a+bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

反思感悟

复数z=2i+3i2的实部是A.0B.2 C.3 D.-3跟踪训练

1√由于i2=-1，则z=2i+3i2=-3+2i，所以实部是-3.二复数的分类1.复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下：实数虚数

例

2

(2)z是虚数；

(3)z是纯虚数.若z是纯虚数，则m需满足

反思感悟(1)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R).特别注意若z为纯虚数，则b≠0且a=0.(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.(1)(多选)下列说法正确的是A.对于复数a+bi(a，b∈R)，若a=0，则a+bi为纯虚数B.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b=0，则a+bi为实数C.若a∈R，则(a2+1)i是纯虚数D.实数集是复数集的真子集跟踪训练

2√√√对于复数a+bi(a，b∈R)，若a=0，b=0，则a+bi为实数0，若b=0，则a+bi=a为实数，故A错误，B正确；若a∈R，则a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故C正确；显然D正确.(2)已知m∈R，复数z=lgm+(m2-1)i，当m为何值时，①z为实数；

②z为虚数；

③z为纯虚数.

三复数相等的充要条件在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当

.特殊地，a+bi=0⇔

.a=c且b=da=b=0(1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值.例

3由复数相等的充要条件，得

(2)已知复数x2-1+(y+1)i大于复数2x+3+(y2-1)i.求实数x，y的取值范围.由题意得，两个复数都是实数.因为x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i，

反思感悟(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.复数相等问题的解题技巧

复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m=

.

跟踪训练

35

1.知识清单：(1)数系的扩充.(2)复数的概念.(3)复数的分类.(4)复数相等的充要条件.2.方法归纳：方程思想.3.常见误区：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式.随堂演练四1234

√

2.若复数z=ai2-bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有A.b=0 B.a=0且b≠0C.a=0或b=0 D.ab≠01234√z=ai2-bi=-a-bi，由纯虚数的定义可得a=0且b≠0.3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，则实数m的值为A.-1B.±1 C.1D.-21234√因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，所以m2-m-2≠0且m2-1=0，解得m=1.4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为

.

1234

∵x2-y2+2xyi=2i，

课时对点练五答案题号12345678答案BDABCDACDA或-｛0｝题号11

121314

15答案CBABC1+2i或2+i

C对一对123456789101112131415169.

答案123456789101112131415169.

答案1234567891011121314151610.

答案1234567891011121314151616.

答案1234567891011121314151616.

答案123456789101112131415161.设a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件123456789101112131415基础巩固√16答案123456789101112131415因为a，b∈R，当“a=0”时，“复数a+bi是纯虚数”不一定成立，也可能b=0，即a+bi=0∈R.而当“复数a+bi是纯虚数”时，“a=0”一定成立.所以a，b∈R，“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.16答案2.已知2-ai=b+3i(a，b∈R)(i为虚数单位)，则a+b等于A.5 B.6 C.1 D.-1123456789101112131415√16依题意得b=2且a=-3.∴a+b=-1.答案

√123456789101112131415

16答案1234567891011121314154.(多选)下列命题中错误的有A.若x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1B.若复数z∈R，则其虚部不存在C.若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0，则z1=z2=z3D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应√√16√答案123456789101112131415由复数相等的定义知A正确；实数的虚部为0，故B错误；对于C，只有当z1，z2，z3∈R时，才有z1=z2=z3，否则不成立，故C错误；D显然错误.16答案

123456789101112131415√

16√√答案6.已知a，b∈R，若a2-b+(a-b)i>2(i为虚数单位)，则a的取值范围是A.a>2或a<-1 B.a>1或a<-2C.-1<a<2 D.-2<a<1123456789101112131415√16答案123456789101112131415

16答案1234567891011121314157.已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立，则实数a的值为

.

16答案1234567891011121314158.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，若z1>z2，则a的取值集合为

.

｛0｝16

答案

123456789101112131415

16答案(2)虚数；123456789101112131415

16答案(3)纯虚数.123456789101112131415

16答案12345678910111213141510.已知M=｛1，(m2-2m)+(m2+m-2)i｝，P=｛-1，1，4i｝，若M∪P=P，求实数m的值.16答案123456789101112131415

16答案11.若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则A.a=-1 B.a≠-1且a≠2C.a≠-1 D.a≠2123456789101112131415√综合运用16答案123456789101112131415复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0，解得a≠-1.16答案12.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n，且z=m+ni，则复数z等于A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i123456789101112131415√16

答案

123456789101112131415√√√16答案1