三角函数模型的简单应用与生涯规划教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数模型的简单应用与生涯规划教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）三角函数模型的简单应用与生涯规划教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册课程基本信息1.课程名称：三角函数模型的简单应用与生涯规划

2.教学年级和班级：高一（1）班

3.授课时间：2024年10月15日星期一第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生运用三角函数模型解决实际问题的能力。

2.提升学生数据分析与逻辑推理的数学思维能力。

3.增强学生数学建模与数学应用意识，激发学生对数学学科的兴趣。

4.培养学生运用数学知识进行生涯规划的能力，提高其综合素质。教学难点与重点1.教学重点

-理解三角函数模型的基本概念，如正弦、余弦、正切等函数在周期性现象中的应用。

-掌握三角函数模型在解决实际问题中的应用，如描述周期性变化、计算周期等。

-通过实例分析，学会如何建立三角函数模型，并能够运用模型进行问题求解。

2.教学难点

-理解三角函数的周期性及其在模型中的应用，特别是对于非标准周期的情况。

-将实际问题转化为数学模型，识别并提取问题中的关键信息。

-在解决实际问题时，正确选择和使用合适的三角函数模型，避免模型适用性错误。

-对于学生而言，难点在于如何将实际问题中的周期性变化与三角函数的周期性特征相对应，以及如何正确设定函数的相位和振幅。例如，在分析潮汐变化时，学生需要理解潮汐的周期与日月的引力作用之间的关系，并将这种关系转化为三角函数模型。教学资源-软件资源：数学教学软件、三角函数图形计算器、在线数学教育平台

-课程平台：学校内部教学平台、人教版数学课程资源库

-信息化资源：三角函数模型相关教学视频、在线互动教学工具

-教学手段：实物教具（如钟表、摆动装置）、多媒体教学设备（如投影仪、电脑）教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对三角函数模型的应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们在生活中遇到过周期性的现象吗？比如潮汐的涨落、季节的变化等。”

展示一些关于周期性现象的图片或视频片段，让学生初步感受三角函数模型在描述周期性现象中的应用。

简短介绍三角函数模型的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.三角函数模型基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解三角函数模型的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解三角函数的定义，包括正弦、余弦、正切等函数的基本性质。

详细介绍三角函数的组成部分，如周期、振幅、相位等，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.三角函数模型案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解三角函数模型的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的三角函数模型案例进行分析，如季节变化、股票价格波动等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解三角函数模型的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用三角函数模型解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与三角函数模型应用相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对三角函数模型的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调三角函数模型的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括三角函数模型的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调三角函数模型在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用三角函数模型。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，提升学生的应用能力。

过程：

布置课后作业：让学生选择一个生活中的周期性现象，尝试用三角函数模型进行描述和分析，并撰写一份简短的报告。

在整个教学过程中，教师应注重引导学生积极参与，鼓励学生提出问题，并通过小组讨论、展示等方式培养学生的合作精神和创新能力。同时，教师应适时提供反馈，帮助学生巩固知识点，提升数学思维能力。学生学习效果1.理解与应用能力提升

学生能够理解并掌握三角函数模型的基本概念，如正弦、余弦、正切等函数的周期性、振幅和相位等特征。

学生能够将三角函数模型应用于解决实际问题，如分析季节变化、潮汐涨落、股票价格波动等周期性现象。

2.数学建模能力增强

学生学会了如何从实际问题中提取关键信息，并将其转化为数学模型。

学生能够运用三角函数模型进行预测和解释，提高了数学建模的实践能力。

3.逻辑推理与分析能力提高

学生在分析案例时，能够运用逻辑推理来识别问题中的关键因素，并运用三角函数模型进行合理分析。

学生通过小组讨论和课堂展示，提高了批判性思维和问题解决能力。

4.合作与沟通能力发展

在小组讨论和课堂展示中，学生学会了如何与他人合作，共同完成任务。

学生通过表达自己的观点和倾听他人的意见，提高了沟通和协作能力。

5.生涯规划意识增强

学生通过学习三角函数模型在现实生活中的应用，认识到数学知识在解决实际问题中的重要性。

学生开始思考如何将数学知识应用于未来的学习和职业规划中，增强了生涯规划意识。

6.学习兴趣与动力激发

通过案例分析和小组讨论，学生发现数学知识与日常生活紧密相关，激发了学习数学的兴趣。

学生在解决实际问题的过程中体会到学习的成就感，增强了学习的动力。

7.创新与探索精神培养

学生在课后作业中尝试将三角函数模型应用于新的情境，培养了创新思维和探索精神。

学生在遇到问题时，能够主动寻找解决方案，提高了自主学习和解决问题的能力。重点题型整理1.**题型一：周期性现象的三角函数模型建立**

-题目示例：某城市一年中某地区的月平均气温变化呈现出周期性，已知该地区1月份的平均气温为5℃，7月份的平均气温为30℃，假设气温变化可以用正弦函数模型来描述，求该地区月平均气温的函数模型。

-答案：设月平均气温的函数模型为y=A*sin(ωx+φ)+k，其中A为振幅，ω为角频率，φ为相位，k为平均值。

通过计算可得A=(30-5)/2=12.5，k=(5+30)/2=17.5。

根据周期T=12，可得ω=2π/T=π/6。

由于正弦函数的周期为2π，所以周期为12个月，即一个周期内气温从最高点到最低点再到最高点，因此φ=π/2。

所以，函数模型为y=12.5*sin(π/6*x+π/2)+17.5。

2.**题型二：三角函数模型参数求解**

-题目示例：已知某工厂的日产量y（单位：台）随时间t（单位：天）的变化可以用函数模型y=100*sin(2π/7*t+π/3)+150来描述，求该工厂在第一周内的最大产量和最小产量。

-答案：由于函数模型中sin函数的取值范围为[-1,1]，因此最大产量为y_max=100+150=250台，最小产量为y_min=-100+150=50台。

3.**题型三：实际问题的三角函数模型匹配**

-题目示例：一个摆动的钟摆在经过t秒后的位移s可以用函数模型s=A*cos(ωt)来描述，已知摆长L=0.5米，重力加速度g=9.8m/s²，求摆动频率f。

-答案：根据单摆的周期公式T=2π√(L/g)，可得T=2π√(0.5/9.8)≈1.4秒。

摆动频率f=1/T≈1/1.4≈0.71Hz。

4.**题型四：三角函数模型的优化问题**

-题目示例：一个农场种植了某种作物，其生长速度可以用函数模型y=A*sin(ωt)+k来描述，其中A为生长速率的最大值，ω为角频率，k为起始值。已知作物在5天内生长了10cm，求该农作物的最佳生长周期。

-答案：由于作物生长了10cm，且生长速度达到最大值，即A=10cm/5天=2cm/天，假设起始值k为0，则有2*sin(ω*5)=10，解得ω=π/5。

因此，最佳生长周期T=2π/ω=10天。

5.**题型五：三角函数模型的实际应用**

-题目示例：某城市一年的降雨量变化可以用函数模型y=A*sin(ωt)+k来描述，已知该城市一年中最多的降雨量是500毫米，最少的降雨量是50毫米，降雨量的平均值为250毫米，求该城市的年降雨量函数模型。

-答案：设A为振幅，k为平均值，根据已知条件，有A=(500-50)/2=225，k=250。

由于振幅A是平均降雨量k的两倍，可以推断出ω=2π/T，其中T为降雨量变化周期。

由于降雨量在一年内达到最高和最低值，因此T=1年=365天。

所以，ω=2π/365，函数模型为y=225*sin(2π/365*t)+250。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了三角函数模型在解决实际问题中的应用，重点探讨了如何将实际问题转化为三角函数模型，并运用这些模型进行预测和分析。以下是本节课的主要内容：

1.三角函数模型的基本概念，包括正弦、余弦、正切等函数的周期性、振幅和相位。

2.如何建立三角函数模型，包括识别周期、确定振幅和相位等步骤。

3.通过案例分析和小组讨论，学生学会了如何将三角函数模型应用于实际问题，如季节变化、潮汐涨落、股票价格波动等。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握情况，以下是一些当堂检测题目：

1.题目：某城市一年的平均气温变化可以用函数模型y=A*sin(ωt)+k来描述，已知该城市一年中最热的月份平均气温为30℃，最冷的月份平均气温为-10℃，平均气温为15℃。求该城市平均气温的函数模型。

答案：A=(30-(-10))/2=20，k=15，ω=2π/12，函数模型为y=20*sin(2π/12*t)+15。

2.题目：一个摆动的钟摆在经过t秒后的位移s可以用函数模型s=A*cos(ωt)来描述，已知摆长L=1米，重力加速度g=9.8m/s²，求摆动频率f。

答案：周期T=2π√(L/g)≈2秒，频率f=1/T≈0.5Hz。

3.题目：某工厂的日产量y（单位：台）随时间t（单位：天）的变化可以用函数模型y=100*sin(2π/7*t+π/3)+150来描述，求该工厂在第三天和第七天的产量。

答案：将t=3代入函数模型，得y=100*sin(2π/7*3+π/3)+150≈200台。

将t=7代入函数模型，得y=100*sin(2π/7*7+π/3)+150≈300台。

4.题目：一个农场种植的作物生长速度可以用函数模型y=A*sin(ωt)+k来描述，已知作物在5天内生长了10cm，求该作物的最佳生长周期。

答案：A=10cm/5天=2cm/天，ω=2π/T，T=2π/ω，函数模型为y=2*sin(2π/T*t)+k。

5.题目：某城市一年的降雨量变化可以用函数模型y=A*sin(ωt)+k来描述，已知该城市一年中最多的降雨量是600毫米，最少的降雨量是100毫米，降雨量的平均值为300毫米，求该城市的年降雨量函数模型。

答案：A=(600-100)/2=250，k=300，ω=2π/12，函数模型为y=250*sin(2π/12*t)+300。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-三角函数的定义和基本性质

-三角函数模型的周期性、振幅和相位

-三角函数模型在描述周期性现象中的应用

②关键词：

-正弦、余弦、正切

-周期、振幅、相位

-建立模型、应用模型、解决问题

③逻辑关系：

①了解三角函数的基本概念和性质，是学习三角函数模型的基础。

②掌握三角函数模型的周期性、振幅和相位，是建立和应用模型的关键。

③通过实际案例分析和小组讨论，将三角函数模型应用于解决实际问题，是本节课的重点和目标。教学反思与总结今天这节课，我们学习了三角函数模型在解决实际问题中的应用，我感觉整体上还算顺利，但也有些地方可以改进。

首先，我觉得在导入新课的时候，我用了图片和视频来吸引学生的注意力，这确实起到了不错的效果。学生们对周期性现象的兴趣被激发出来了，他们对于三角函数模型的应用也有了初步的认识。但是，我也注意到有些学生对于这些图片和视频的关联性理解不够，可能需要我在今后的教学中更加注重将抽象的数学概念与具体的生活实例相结合。

在讲解基础知识的时候，我尽量用简单明了的语言来解释三角函数的定义和性质，同时通过图表和示意图来帮助学生理解。我发现，学生们对于三角函数的周期性、振幅和相位这些概念的理解比较困难，我可能需要更多的时间来反复讲解和练习，让他们通过实际操作来加深印象。

案例分析环节，我选择了几个与生活密切相关的案例，比如季节变化、潮汐涨