2025年中考数学总复习《二次函数与线段周长问题》专项测试卷（附带答案）

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数与线段周长问题》专项测试卷（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交点C．(1)求抛物线与直线的解析式；(2)若点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点F，交直线于点D，求线段的最大值；(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．(1)求抛物线的表达式；(2)当时，求的面积；(3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值．(3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标．4．已知抛物线)交x轴于点和点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标；(3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，求出P点坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，且，点G为线段的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值；(3)如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线，点Q为新抛物线上的一个动点，直线与线段交于点N，与y轴交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的表达式(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值；(3)点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．7．如图：已知抛物线：，平移后的抛物线经过点O0,0和点．设点P为抛物线上一动点，横坐标为m．(1)抛物线的表达式为________．(2)若，为点P在上的对应点，过点P作x轴的垂线与交于点Q．①当时，求m的值．②当四边形中有一组对边平行时，求m的值．(3)点A在原抛物线的对应点为，过点A和作直线，过点P作x轴的垂线与直线交于点E，点P关于y轴的对称点为，以和为邻边作矩形，若抛物线在矩形内（包含边界）的最高点和最低点的差为2，直接写出m的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，，．

(1)求抛物线的解析式；(2)在线段上有一动点，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交于点．求的最大值，以及此时点的坐标；(3)如图，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度得到新抛物线，若点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标．9．如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．(1)求二次函数与一次函数的解析式、(2)点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线AB于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标：(3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，连接．直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点，连接、、、．(1)用m来表示的长；(2)当为等腰三角形时，求m的值；(3)如图2，直线l经过的中点且与抛物线交于M、N两点，直线分别与l、x轴交于G、Q两点，当平分的面积时，求l的解析式．11．已知抛物线与直线交于A，B两点（A在B左）．(1)求A，B两点的坐标及的长；(2)如图1，点是直线上B点右侧一动点，过点P作直线与抛物线有唯一公共点M，若，求点P的坐标；(3)若抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后所得的抛物线交轴于D、E，点P是第二象限内新抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为H，的外接圆与相交于点K．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．12．如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点，与轴的正半轴交于点．已知点A−2,0，点，连接BC．(1)求拋物线的解析式；(2)如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点、B0,3在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．(1)求该抛物线的解析式；(2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标；(3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设．①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围；②当时，直接写出m的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若为以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．15．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为．①当时，求点P的坐标；②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值．16．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B．(1)若直线经过B，C两点，求直线解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；(3)设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标．17．如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为．(1)求该二次函数的解析式；(2)如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由；(3)如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式．18．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；参考答案1．(1)；；(2)；(3)，，，．【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象及性质、平行四边形的性质扥知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）利用待定系数法即可求得抛物线与直线的函数解析式即可；（2）设点，则，再得出，然后利用二次函数的性质求最值即可；（3）分平行于x轴和不平行于x轴两种情况，分别根据平行四边形的判定定理求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，∴，解得：，∴这个二次函数的解析式为；∵二次函数与y轴交于点C，∴点C的坐标为0,2设直线的解析式为，∵直线经过点∴，解得：，∴直线的解析式为．（2）解：由（1）得，设点，则，∴∴当时，最大，最大值是．（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．①若平行于x轴，如图所示，有符合要求的两个点，，此时．∵轴，∴点M、点关于对称轴对称，∴，∴，由，得到，；②若不平行于x轴，如图：过点M作轴于G，∵，∴，∴，，即，设，则有，解得：，又∵，∴，∴，．综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：，，，．2．(1)(2)(3)①；②【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）先求出直线的表达式为，再求得，可得出，，最后用三角形面积公式求解即可；（3）①过点作于，证明，推出，，由，可得，由题意直线的解析式为，设，，根据，构建方程求解，可得结论；②因为的周长为，所以要使得的周长最小，只要的值最小，因为，所以当点在上时，的值最小．【详解】（1）解：抛物线过，两点，，解得，；（2）解：设直线的解析式为，代入得，，直线的表达式为，当时，，解得，，当，，，，；（3）解：①如图1中，过点作于，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，当x=2时，，，，，，，，，；②如图2中，∵，，∴，∴，，的周长为，要使得的周长最小，只要的值最小，，当点在上时，的值最小，当x=0时，，∴，，，的周长的最小值为．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．(1)(2)，周长的最大值为(3)或【分析】（1）先求出，，再由可得点B的坐标，将点B的坐标代入可得出b的值，即可得抛物线的解析式；（2）由，得直线解析式为，证明是等腰直角三角形，知，设，，则，根据二次函数性质可得答案；（3）先由抛物线y的解析式得到新抛物线的解析式，再得出新抛物线的对称轴和点N的坐标，再由已知得，进而得，画出满足条件的点M，分两种情况，分别求出点M的坐标即可．【详解】（1）解：令x=0，则，∴，，∵，∴，将，代入得，，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴，∵轴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴周长，∴当取最大值时，的周长取最大值，设直线的解析式为，把，代入得，，解得，∴直线的解析式为，设，，∴，当时，有最大值，为2，此时，，∴当时，的周长有最大值，为；（3）解：∵，∴将抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线的解析式为，∴对称轴为直线，当时，，即，∴，令，解得，，∴，∵，，∴，∴，如图，分以下两种情况：当时，，∴，∴；当时，和y轴交于点F，，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，直线的解析式为，当时，，∴．综上，点M的坐标为或−3,2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，全等三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．4．(1)；(2)(3)或【分析】（1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；（2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论；（3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得，，抛物线的解析式为．，抛物线的解析式为，顶点坐标为．（2）解：令得，，，．，，，．平行于轴，平行于轴，，，，，，，当的长度最大时，取最大值．设直线的函数关系式为，把，代入，得，解得，，直线解析式为，设，则，．，当时，最大，此时取最大值，，；（3）解：∵是以为腰的等腰三角形，∴或，由（2）可得，，，，∴，，当时，，∴，即整理得，∵∴，此时；当时，，∵，∴∴，此时；综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.5．(1)(2)点P的坐标为，的最小值为(3)或【分析】（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线的解析式为，过点作直线，分析可知当取最大值时，此时直线与抛物线恰好只有唯一公共点，联立直线与抛物线的解析式，利用求出直线的解析式和此时点P的坐标；在直线上截取（在左侧），连接、，可推出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质将的最小值转化为的最小值，利用两点之间线段最短性质可得的最小值为的长，即可解答；（3）先求出B的坐标，再利用二次函数的平移得到新抛物线的解析式，设，，得出直线的解析式，结合是以为腰的等腰三角形，分两种情况①；②，利用勾股定理和一元二次方程求出、的值，再联立直线和抛物线的解析式求出点Q的坐标即可．【详解】（1）解：，，，代入，得，，解得：，抛物线的表达式为．（2）解：设直线的解析式为，代入，得，解得：，直线的解析式为，过点作直线，设直线的解析式为，，，是直线与直线的距离，当取最大值时，此时直线与抛物线恰好只有唯一公共点，联立，消去整理得：，直线与抛物线恰好只有唯一公共点，方程有两个相等的实数根，，解得：，即直线的解析式为，此时方程为，解得，代入，则，；在直线上截取（在左侧），连接、，，，四边形是平行四边形，，设，则，解得：，（舍去），，点G为线段的中点，，，，，，，的最小值为；综上所述，此时点P的坐标为，的最小值为．（3）解：对于，令，则，解得：，，，，，又将抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线，点通过平移恰好落在点上，抛物线向上平移4个单位，向右平移3个单位可以得到新抛物线，，；由（2）中的结论得，直线的解析式为，设，，设直线的解析式为，代入，得，解得：，直线的解析式为，在直线上，，整理得：，是以为腰的等腰三角形，或，①若，则，，整理得：，，解得：（舍去），，此时直线的解析式为，令，解得，，；②若，则，，整理得：，，解得：（舍去），，此时直线的解析式为，令，解得，，；综上所述，点Q的坐标为或．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、最短路径问题、等腰三角形的性质、一元二次方程、二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会利用点的坐标表示线段长度是解题的关键，本题属于二次函数综合题，同时涉及较大的运算量，需要较强的数形结合和运算能力，适合有能力解决难题的学生．6．(1)抛物线的表达式为；(2)周长的最小值为；(3)点的坐标为或．【分析】（）利用待定系数法解答即可；（）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为；取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论；（）求得的坐标，利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当在的上方时，如图,设交轴于，当在的下方时，如图，分别解答即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线，∴，解得：∴抛物线的表达式为；（2）解：令，则，∴或，∴A−2,0，B令，则，∴，设直线的解析式为，∴∴，∴直线的解析式为，设，∵轴，∴，∴，∵，∴当时，取得最大值，此时，，∴，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图，∵点是轴上的一动点，∴此时最小，，∴，∵，，∴，∴周长的最小值为；（3）解：由，∵B4,0，，∴。∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，就是将原抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，∴，分两种情况：当在的上方时，如图,设交轴于，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，由勾股定理得：，∴，∴，∴，同理得：的解析式为，∴，解得：（舍去），，∴点的坐标为；当在的下方时，如图，∵，∴，当时，，解得：（舍去），，∴点的坐标为；综上，点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，分类讨论的思想方法，掌握知识点的应用是解题的关键．7．(1)(2)①；②(3)12或或【分析】（1）根据平移的性质可设抛物线的表达式为，由抛物线经过点O0,0和点，可得，将点代入，建立方程求解即可；（2）由（1）可得抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到抛物线，根据题意得，则，，①根据，即可求出m的值；②分，两种情况讨论，利用点坐标的特征建立方程求解即可；（3）同理（2）可得，求出直线的解析式为，进而求出，作矩形，由题意得时，点重合，不能构成矩形，时，点重合，不能构成矩形，则时，当与抛物线有两个交点时，设抛物线对称轴左侧交于点N，可得抛物线在矩形内，点P的为最高点，点N为最低点，进而得解；当与抛物线只有一个交点或没有交点时，可得抛物线在矩形内，点P的为最高点，抛物线的顶点为最低点，进而得解；同理时，画出示意图，即可解答．【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的表达式为，∵抛物线经过点O0,0和点，∴，将点代入，则解得：∴抛物线的表达式为；（2）解：∵，∴，由（1）可得抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到抛物线，则，，①∵，∴点在点的上方，∴，即，∴；②当时，∵轴，∴轴，∵，∴，∴；当时，过点作于点G，设与x轴交于点E，则，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去）；当时，点重合，不能构成四边形，综上，当四边形中有一组对边平行时，m的值为；（3）解：同理（2）得，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴，如图，作矩形，时，点重合，不能构成矩形，时，点重合，不能构成矩形，当时，当与抛物线有两个交点时，设抛物线对称轴左侧交于点N时，∵点P关于y轴的对称点为，∴轴，则抛物线在矩形内，点P的为最高点，点N为最低点，∴点N的纵坐标为，∴，即，∴或（舍去）；如图，当与抛物线只有一个交点或没有交点时，则抛物线在矩形内，点P的为最高点，抛物线的顶点为最低点，∵抛物线：，∴抛物线的顶点坐标为，∴，即，∴（舍去）或（舍去）；当时，如图，当与抛物线有两个交点时，设与抛物线的左交点为N，与抛物线的左交点为Q，则抛物线在矩形内，点N的为最高点，点Q为最低点，∵点N的纵坐标为，点Q的纵坐标为，∴，即，∴或（舍去）；当时，如图，当与抛物线有交点时，设设与抛物线的交点为N，同理，，即，∴（舍去）或（舍去）；如图，当与抛物线有交点时，设设与抛物线的交点为N，∵，点与点P关于y轴对称，∴，∴，则抛物线在矩形内，点N的为最高点，点P为最低点，∴，即，∴；如图，当时，抛物线在矩形内没有图像，综上，m的值为12或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用．涉及待定系数法求解析式，矩形的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，理解题意，结合函数图象，综合运用这些知识点是解题关键．8．(1)(2)的最大值为，(3)或【分析】（）利用三角函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解；（）延长交轴于点，可得为等腰直角三角形，得到，即得，设，则，得到，再利用二次函数的性质解答即可求解；（）由平移可得新抛物线的解析式为，再分两种情况解答即可求解；本题考查了二次函数的几何应用，三角函数，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，即，∴，∴，∴，C0,−3，把、、C0,−3代入y=ax2，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，延长交轴于点，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，设直线的解析式为，把、C0,−3代入得，，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，∵，∴当时，的值最大，最大值为，此时；（3）∵，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度得到新抛物线，则，当轴时，如图，有，此时点的纵坐标为，把代入得，，解得，舍去，∴；

作线段的垂直平分线DE，交轴于点，连接CD交抛物线于点，可知，∴，设，∵，∴，解得，∴，设直线CD的解析式为，把C0,−3、代入得，，解得，∴直线CD的解析式为，由，解得舍去，，∴；

综上，点的坐标为或．9．(1)，(2)最大值为，点(3)或；或或【分析】（1）将点A代入抛物线解析即可确定二次函数解析式；再确定点C的坐标，然后由抛物线的对称性得出点，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意设点，则点，表示出长度的函数解析式，然后根据二次函数的基本性质求解即可；（3）分两种情况讨论：①当点在AB上方时，②当点在AB下方时，作出，然后利用平行线间的距离距离相等，分别先求出直线的解析式，然后求直线与抛物线的交点即为点的坐标．【详解】（1）解：∵二次函数经过点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为：，当x=0时，，∴，抛物线的对称轴为：，∴，设直线AB的解析式为，将点，代入得：，解得：，∴一次函数的解析式为：；（2）解：如图所示，过点作轴，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），设点，则点，∴，∵，∴当时，最大值为，当时，，∴点；（3）解：∵，，∴，∵，∴点Q到AB的距离为，①当点在AB上方时，作，如图所示，交y轴于点，过点F作，使得，过点作轴，设AB与y轴交于点，则，∴，当点与点重合时，∴，∴，不符合题意；∴点一定在轴正半轴上，∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，设直线的解析式为：，将点F代入得：，联立二次函数与一次函数得：解得：或，此时点或；②当点在AB下方时，作，如图所示，交轴于点，过点作，交AB于点，使得，过点作轴，设AB与轴交于点，则，∴，∴，，∴，，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴点，设直线的解析式为：，将点M代入得：，联立二次函数与一次函数得：解得：或，此时点或；综上所述，或；或或．【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，线段最值问题及面积问题，直线平行等，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键．10．(1)(2)(3)直线l的解析式为【分析】（1）根据题意先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，用含m的代数式表示即可；（2）先证明和是等腰直角三角形，根据为等腰三角形可得，建立方程求解即可得出答案；（3）设H是的中点，先得出，设直线l的解析式为，与抛物线解析式联立得，运用根与系数关系可得，再由题意可得的中点G的横坐标为2，建立方程求解即可得出答案．【详解】（1）解：在抛物线中，令，得，，令，得，解得：，，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，∵直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点，∴，，，∴；（2）解：由（1）可知：，，∴是等腰直角三角形，，，，，为等腰三角形，，∵是等腰直角三角形，，，解得：或，，∴；（3）解：设H是的中点，如图，，设直线l的解析式为，联立得，整理得：，∴，∵直线平分的面积，的中点G的横坐标为2，∴，即，解得：，∴直线l的解析式为．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积，一元二次方程根与系数关系的应用等，熟练掌握相关知识是解题关键．11．(1)，，的长为；(2)点P的坐标为；(3)线段的长为定值1．【分析】（1）联立抛物线与直线的解析式求出A，B两点的坐标，进而求出的长；（2）利用三角形的面积公式，结合得出点M的坐标，代入得出，再联立直线与抛物线，利用求出的值，得出直线的解析式，代入即可求出点P的坐标；（3）由题意得，平移后的新抛物线解析式为，可得出D、E两点的坐标，设的外接圆的圆心为，作交于点，轴交轴于点，连接、，设点P坐标为，且，再设点K坐标为，利用垂径定理证出点、G分别是、的中点，从而表示出、G的坐标，再利用勾股定理求出和，利用列出等式，化简求出的值，即可得出结论．【详解】（1）解：联立，解得：或，在B左，，，．综上所述，，，的长为．（2）如图，连接、，点P作直线与抛物线有唯一公共点M，，，由（1）得，，，，，对于，令，则，解得：，，，，代入到得，，，，联立，消去整理得：，点P作直线与抛物线有唯一公共点M，方程有两个相等的实数根，，解得：，，，对于，令，则，解得：，点P的坐标为．（3）抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位，新抛物线的解析式为，对于，令，则，解得：，，，；设的外接圆的圆心为，作交于点，轴交轴于点，连接、，如图所示：点P是第二象限内新抛物线上一动点，设点P坐标为，且，轴，，的外接圆与相交于点K，设点K坐标为，，，是的中点，同理可得，为的中点，由中点坐标公式可得，点F坐标为，点G坐标为，，，，轴，，，即点Q坐标为，，，在中，，在中，，，，，整理得：，又，，．线段的长为定值1．【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、中点坐标、垂径定理，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，学会利用垂径定理证明中点，并且利用勾股定理表示出线段的长度是解题的关键，本题是二次函数综合题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生．12．(1)(2)的最大值为16，此时点的坐标为(3)或【分析】（1）代入A−2,0，到抛物线，求出a、b的值即可；（2）作轴交轴于G，交直线于E，利用等腰和等腰的性质，转化的最大值为的最大值，再利用抛物线的顶点坐标公式求出点的坐标即可；（3）先求出平移后的抛物线解析式为，由得，作出二次函数的图象，记图象与轴交点为，顶点为，易得，，连接、，作交于点，轴交于点，然后通过相似三角形的判定、全等三角形的判定证明、分别为符合题意的点即可．【详解】（1）解：代入A−2,0，得，解得：，拋物线的解析式为．（2）如图，作轴交轴于G，交直线于E，令，则，即C0,6，，C0,6，，又，，轴，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，设，则，当时，有最大值8，即，此时，，，的最大值为16，此时点的坐标为．（3），，抛物线沿着射线的方向平移个单位，，抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位，新抛物线的解析式为：，由（2）中的结论得，，即，，；如图，作出二次函数的图象，记图象与轴交点为，顶点为，连接、，作交于点，轴交x轴于点，令，则，即，当时，有最大值6，即顶点坐标为；点是线段的中点，，，，，，，即，，又，是等腰直角三角形，，；，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，又，，，，即，，，是符合题意的一个点；轴，，，，又，，，，又，，；，，，，，，又，，是符合题意的另一个点；综上所述，的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的平移规律，学会通过作垂线构造直角三角形，能够利用等腰直角三角形的性质转化线段关系，能够利用直角边的比例证明相似三角形是解题的关键，本题属于二次函数综合题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生．13．(1)；(2)；(3)①；②或．【分析】（1）把点、B0,3代入，利用待定系数法求解；（2）先证，求出点F的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程即可求出点M的坐标；（3）①分，，，四种情况，分别求解；②分，，三种情况，令，解方程即可．【详解】（1）解：把点、B0,3代入得：，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）解：当时，或3，∴D点坐标为，∴.又∵，，∴，∴，∴F点坐标为0,1，设直线的解析式为，则，解得，，即，解方程组，得或，即M点坐标为．（3）解：由（1）知，，∴点C为1,4．P点坐标为．过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称，∴E点坐标为（2，3），如图所示：①（i）当点P在点B和点C之间时，即时，，，．（ii）②当点P在点C和点E之间时，即时，，，；（ⅲ）当点P在第一象限且在点E下方时，即时，，，．（iv）当点P在x轴及第四象限时，即时，，.．综合得：．②当时，，解得（舍去）；当时，都符合题意；当时，，解得（舍去）或（舍去）；当时，，解得（舍去）或．综上所述，m的取值范围为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象交点问题，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，注意数形结合及分类讨论是解题的关键．14．(1)；(2)的最大值7．此时(3)或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）设，求得直线的解析式，用含的式子表示出和，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用平移的性质求得平移后的抛物线的解析式，以及，，分两种情况讨论即可求解．【详解】（1）解：由题知，解得，；（2）解：设，令，得，．，令，得，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，轴交抛物线于点，抛物线的对称轴是直线，，轴交直线于点，

，，，当时，取得最大值7，此时；（3）解：或平移后的抛物线的解析式为：，整理得，∵，∴，∵，∴，，∴，，同理，直线的解析式为：，当点为直角顶点时，如图，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，

则，，∴，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，同理，直线的解析式为：，联立，，解得，．．当为直角顶点时，同理，直线的解析式为：．联立，，解得，．．或．【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．15．(1)(2)①；②，最大值6；③或【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．（1）设，将点代入即可求解；（2）①由，则，求出，，代入解答即可；②再由即可求解；③分两种情况讨论：当时，；当时，过点作交于，则为的中点，分别求出的值即可．【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、，抛物线与轴的另一交点为，设所求抛物线的函数表达式为，把点代入，得，解得，所求抛物线的函数表达式为，即；（2）解：①，则，，，当时，，解得：或（与重合，舍去），当时，，故；②，，，，，当时，有最大值6；③，，以为腰，分两种情况讨论：当时，，解得或（舍；当时，过点作交于，则为的中点，如图1，，解得或（舍）；综上所述：满足条件的的值为或．16．(1)，(2)(3)点P的坐标为或或或【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线与对称轴的交点为M，根据轴对称性质可知，由此可知，即最小时的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，∴，设抛物线的表达式为，将代入上式得：，解得，∴抛物线的解析式为：；把，代入得：，解得，∴直线的解析式为；（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，把代入直线得，故，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为；（3）设，∵，，∴，若点B为直角顶点时，则，即，解得；若点C为直角顶点时，则，即解得，若P为直角顶点时，则，∴，解得，综上，点P的坐标为或或或．17．(1)二次函数的解析式为(2)存在的周长最小时，点的