2025高考数学一轮复习7.7向量法求距离、探索性及折叠问题【课件】

第七章立体几何与空间向量第7节向量法求距离、探索性及折叠问题1.会求空间中点到直线、点到平面的距离.2.会用向量法探究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE图23.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(

)(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(

)(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(

)(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(

)××√解析(1)当平面α上三点在平面β的两侧时，α与β相交.(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离.(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时，l与平面α相交.×解析由题意，点F到平面ABC的距离为

4.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，

则平面AMN与平面EFBD间的距离为________.解析以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4).易知MN∥EF，MN⊂平面AMN，EF

平面AMN，∴EF∥平面AMN，又BF∥AM，AM⊂平面AMN，BF

平面AMN，∴BF∥平面AMN，∵EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一利用向量法求距离例1(1)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为(

)A解析如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，A解析以A为空间直角坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.由ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，D解析如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，感悟提升训练1(1)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，N是AD的中点，M是CC1的中点，则直线BM与B1N之间的距离为________.解析以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，2，0)，M(0，2，1)，N(1，0，0)，B1(2，2，2)，(2)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.求：①点N到直线AB的距离；②点C1到平面ABN的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，考点二探索性问题例2(2024·青岛调研)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△AB1C为等边三角形，四边形AA1B1B为菱形，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3. (1)求证：AB1⊥A1C；证明连接A1B与AB1相交于点F，连接CF，如图①所示.∵四边形AA1B1B为菱形，∴F为AB1的中点，A1B⊥AB1.∵△AB1C为等边三角形，∴CF⊥AB1，又A1B，CF⊂平面A1BC，A1B∩CF＝F，∴AB1⊥平面A1BC.∵A1C⊂平面A1BC，∴AB1⊥A1C.解假设存在，设O，G分别为AC，AB的中点，连接B1O，OG，由(1)可知AB1⊥BC，又AC⊥BC，AB1，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC＝A，∴BC⊥平面AB1C.又OG∥BC，∴OG⊥平面AB1C.∵△AB1C为等边三角形，∴B1O⊥AC，故OG，OC，OB1两两垂直.当λ＝0时，平面AB1E即平面AB1C，∵B1O⊥平面ABC，B1O⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面ABC，不满足题意.感悟提升1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB.又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.解假设存在Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD.以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB＝2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，考点三折叠问题(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；解因为AB∥平面PCD，AB⊂平面OPD，平面OPD∩平面PCD＝PD，所以AB∥PD，(2)当三棱锥P－COD的体积最大时，求平面OPD与平面CPD夹角的余弦值.所以当OD⊥OP时，三棱锥P－COD的体积最大.取y＝1，得x＝1，z＝1，得平面CPD的一个法向量为n1＝(1，1，1).易知平面OPD的一个法向量为n2＝(1，0，0)，设平面OPD与平面CPD的夹角为θ，感悟提升翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.训练3(2024·成都诊断)如图①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD为折痕把△ACD折起，使点A到达点P的位置，且∠PBD＝60°，E，F，H分别为PB，BC，PD的中点，G为CF的中点(如图②).(1)求证：GH∥平面DEF；证明连接BH，与ED相交于点M，连接MF，因为三角形ABC是等腰直角三角形，CD是斜边AB上的高，所以AD＝DB，即PD＝DB，因为∠PBD＝60°，所以△PBD是等边三角形，因为E，H分别为PB，PD的中点，所以MF∥GH，因为MF⊂平面DEF，GH

平面DEF，所以GH∥平面DEF.(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值.解因为CD⊥DB，CD⊥DP，DB∩DP＝D，DB，DP⊂平面DBP，所以CD⊥平面DBP.如图，过点D作直线垂直平面BDC，作空间直角坐标系，设PD＝DB＝DC＝2，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN解由题意知DP，DA，DC三线两两垂直.如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(1，0，0).设PD＝a(a>0)，则P(0，0，a)，易知平面CBED的一个法向量为n1＝(0，0，1).设平面PBE的法向量为n2＝(x，y，z)，(2)点C到平面PEB的距离.2.如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直线DE到平面PBC的距离.解如图，设DE的中点为O，BC的中点为F，连接OP，OF，OB，则OP⊥DE，因为平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以OP⊥平面BCDE.因为在△ABC中，点D，E分别为AC，AB边的中点，所以DE∥BC.因为DE

平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE，所以以点O为坐标原点，OE，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，3.(2024·广州调研)如图(1)，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点.将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得到四棱锥A1－EFCB，P为A1C的中点，如图(2).(1)求证：FP∥平面A1BE；证明如图，取A1B的中点Q，连接PQ，EQ，所以PQ∥EF，且PQ＝EF，则四边形EFPQ为平行四边形，则FP∥EQ.又FP

平面A1BE，EQ⊂平面A1BE，所以FP∥平面A1BE.(2)若平面A1EF⊥平面EFCB，求直线A1F与平面BFP所成的角的正弦值.解如图，取EF的中点O，BC的中点G，连接A1O，OG.由平面A1EF⊥平面EFCB，且交线为EF，A1O⊂平面A1EF，知A1O⊥平面EFCB，此时，OA1，OE，OG两两垂直，以O为坐标原点，OE，OG，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，(1)求证：MN∥平面PED；证明如图，取PB的中点Q，连接MQ，NQ.所以四边形BCDE为正方形.因为点M，N，Q分别为PC，BE，PB的中点，所以MQ∥BC∥ED，NQ∥PE.又DE，PE⊂平面PED，MQ，NQ

平面PED，所以MQ∥平面PED，NQ∥平面PED.因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PED.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PED.(2)求二面角D－MN－C的正弦值.解由题意知PE⊥EB，PE⊥ED，DE⊥EB.令x＝2，得y＝1，z＝－2，所以m＝(2，1，－2).设平面CMN的法向量为n＝(x1，y1，z1)，证明

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；解取AD中点O，连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又∵PO⊂平面PAD