高中数学集合逻辑函数向量数列不等式立体几何综合测试题

高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1.若非空集合，且若，则必有，则所有满足上述条件的集合共有 A．个B．个C．个D．个2.命题：若函数有反函数，则为单调函数；命题：是不等式与(均不为零)同解的充要条件，则以下是真命题的为A．且B．且C．或D．或3.若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则A．B．C．D．4.如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为A. B. C. D.5.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为,则的值为A．B．C．D．6.若，当时，恒成立，则的最大值为A．B．C．D．7.已知、是不共线的向量，，那么三点共线的充要条件为 A．B．C．D．8.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（则的形状是 A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形9.设函数则函数的各极大值之和为A.B.C.D.10.的定义域为R，且在上只有，则在上的零点个数为 A．B．C．D．11.函数的反函数为，则使不等式成立的的取值范围为A． B． C．D．12.已知函数，，关于方程（为正实数）的根的叙述有下列四个命题 ①存在实数，使得方程恰有个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有个不同的实根； 其中真命题的个数是 A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13.定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围．14.已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为．15.已知正项数列的前项和满足：；设，则数列的前项和的最大值为___________．16.如图，直线，垂足为，已知长方体中，该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）;（2）,则两点间的最大距离为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合，，，，求集合和.18.（本题满分12分）设数列的前项和为,,点(,)在直线()上.a1=2（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设证明：19.（本题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:；(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)ABCCB第20题图20ABCCB第20题图（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若动点在底面三角形上，二面角的余弦值为，求的最小值.21.（本题满分12分）已知正数数列和满足：对任意，成等差数列，且总有成立．（1）判断数列是否为等差数列；（2）若求数列和的通项公式．22.（本题满分12分）已知函数,是上的奇函数，且当时，．（Ⅰ）求函数在上的解析式；（Ⅱ）若函数在上是增函数，且，求的取值范围．试题答案1-5BCBCD6-10DABDD11-12DA13.14.15.16.17.由，，得…….3分由，，得………….6分………….8分……….10分18.解：（I）上，…………1分∴{}构成以S1=a1=2为首项，公差为1的等差数列，证明：（II）∴原不等式成立.……………………12分19.解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①，------②…1分①-②得.------③……2分令有，代入③得.………………5分(Ⅱ)由二倍角公式,可化为,…………………7分所以.…………………10分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得.………………11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为，…………………7分因为A,B,C为的内角，所以，所以.又因为，所以,所以.从而.……………10分又,所以，故.……11分所以为直角三角形.………………12分20.(满分12分)解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面4分（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),5分∴设平面PBC的法向量，由得方程组，取6分∴∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。8分（2）由