533最大值与最小值课件-高二上学期数学选择性

第5章<<<最大值与最小值1、函数极值的定义

一般地，设函数y＝

f(x)在x＝x0

及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0

的函数值都大，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极

值，记作y极大值＝f(x0)，x0为极大值点；

如果f(x0)的值比x0

的函数值都小，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极

值，记作y极小值＝f(x0)，x0为极小值点。附近点大附近点小复习巩固2、利用导数求函数y＝

f(x)极值的方法步骤(1)确定函数y＝

f(x)的定义域；(2)求函数y＝

f(x)的导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(方程的根为可能极值点)(4)用函数的导数为0的根(极值点)，顺次将函数的定义区间分成若干个小区间，列成表格，求出极大值和极小值。复习巩固提示最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？问题1数学建构1、函数最值(最大值与最小值)的定义

如果在定义域I内存在x0使得对

的x∈I,总有

，则称

f(x0)为函数f(x)在定义域内的最大值；

如果在定义域I内存在x0使得对

的x∈I，总有

，则称

f(x0)为函数f(x)在定义域内的最小值。最大值和最小值统称为

。

最值是相对函数

而言的，如果存在最值，那么最值

。任意的f(x)≥f(x0)任意的f(x)≤f(x0)最值定义域整体唯一(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的整个定义区间(即整体)而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值至多有一个.(3)极大值和极小值没有明显的大小关系，但最大值一定不小于最小值最值与极值的区别与联系

反思感悟连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最值吗？问题2连续函数f(x)在开区间（a，b）上必有最值吗？问题3在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。最值可能是极值，也可能是端点值提示不一定有连续函数f(x)在开区间（a，b）上必有最值吗？问题3容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到.连续函数与最值的关系(1)闭区间上的连续函数一定有最值；若有最值，则最值在极值点或区间端点处取得.(2)开区间上的连续函数不一定有最值；若有最值，则最值在极值点处取得.函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最值吗？问题4

如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.例

1

设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点跟踪训练

1√

函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)A.有最值，但无极值B.有最值，也有极值C.既无最值，也无极值D.无最值，但有极值f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是减函数，无最大值和最小值，也无极值.√1234变式拓展

1二求函数的最值求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的_____；(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的_______与_______.极值最大值最小值

求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；例

2

求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；跟踪训练

2因为f(0)＝1，f(2π)＝π＋1，所以当x＝2π时，f(x)取得最大值π＋1，令f′(x)＝0，解得x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗↘所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，活动探究类型二已知最值求参数的值例3、已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求函数

f(x)在该区间上的最小值。变式拓展已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，若f(x)在[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，求实数a和b的值。用导数解决实际问题四

如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.例

4令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.

反思感悟(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.解决最优问题应从以下几个方面入手

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；跟踪训练

4由题设可知，隔热层厚度为xcm，又建造费用为C1(