线性代数第5版课件：初等变换与初等矩阵

线性代数

机动

目录上页下页返回结束●初等变换的定义与性质●初等矩阵的定义与性质

初等变换与初等矩阵●初步应用二则一、问题提出

可逆矩阵

随着

n增大,计算量急剧增加!设

A

是

n阶矩阵,且|A|≠0,则实际问题情况举例:●

经济学投入产出的数学模型●

计算机图形学

●

流体动力学飞机表面气流过程伴随矩阵初等行变换法机动

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线性方程组问题1解线性方程组的方法是什么？本质是什么?如何快捷地求解线性方程组？问题2线性方程组的解集的“大小”与方程的个数的关系是什么？二、初等变换的定义与性质机动

目录上页下页返回结束初等行变换的引入《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．例如其中的第一个问题就是求解三元一次方程组。

初等行变换的背景

刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．…，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”刘徽（约公元3世纪）

古代是将它用算筹布置起来解的（如下图所示），图中各行由上而下列出的算筹表示x，y，z的系数与常数项．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．

19世纪德国数学家高斯（Gauss）把线性方程组的全部系数作为一个整体.收获：线性方程组可以用矩阵来表示初等行变换的背景刘徽注《九章算术》直除法的矩阵描述直除法：“以右行上禾遍乘中行，而以直除”

初等行变换的背景

定义1

下面三种变换称为矩阵的初等变换:

(3)对调矩阵的两行(列).

(1)以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素;

(2)把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行(列）对应的元素上去;

※矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换.机动目录上页下页返回结束三种初等变换记法：(1)倍乘变换

(2)倍加变换

(3)对换变换

显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:(3)对换变换的逆变换就是其本身.(1)倍乘变换的逆变换为;

(2)倍加变换的逆变换为;列行问题2线性方程组的解集的“大小”与方程的个数的关系是什么？第三个方程是多余的，不影响解。例如：分析：

定义2

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A

B.※矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性

A

A（2）对称性若A

B，则B

A；（3）传递性若A

B，B

C，则A

C.

※两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价.定理1:

任意矩阵经有限次初等变换可化为(等价标准形)特别地：可逆矩阵的等价标准形是E.

李尚志《线性代数》高等教育出版社（科技、北航）丘维声《高等代数》高等教育出版社（北大）相抵相似证明：若A为零矩阵，则定理显然成立，此时r=0.否则，必可经过行、列的换法变换使得第1行、第1列元素d不为零.以

乘第1行，化（1，1）元为1，在经过适当的行、列消法变换，将矩阵化为如下形式如果bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)全为零，则B便是标准形（r=1）了.如若不然，在B的第2~m行，第2~n列中进行上述初等变换，即先使B的（2，2）元非零，化为1，在用适当的消法变换，将矩阵的第2行和第2列的其余非零元素都化为0，注意到这些初等变换不改变B的第1行及第1列的元素.至此，已将矩阵A化为如此继续下去，最后必能得到一个标准形矩阵.根据等价的定义，显然A≌D.机动目录上页下页返回结束机动

目录上页下页返回结束例1求下列矩阵的等价标准形解：X-射线初等变换初等变换保留了矩阵的本质内涵—秩例2求矩阵的等价标准形.单位矩阵经过一次初等变换-31初等矩阵解：定义3

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

.三、初等矩阵的定义与性质◆

交换两行或两列;◆

以非零数k乘以某行或某列;◆

以一个常数k乘以某行(或某列)加到另一行(或列).初等变换

初等矩阵第

i列例3

判定下列矩阵中哪些是初等矩阵?答案:初等矩阵有:对A

施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘命题1

设A是一个m×

n矩阵，则对A

施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.初等矩阵的性质证明:直接验证(借助分块矩阵更简明).以相应的初等矩阵；例4．设求E(1,3)A；AE(1,3)；E(2(k))A；AE

(1,3(k)).

解:将矩阵A按行分块得按列分块得机动目录上页下页返回结束由矩阵的分块乘法运算有机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束

因为初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,所以命题2

初等矩阵是可逆矩阵,分析:故,初等矩阵是可逆矩阵.计算初等矩阵的行列式初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵.定理1(等价标准形定理)形式1：任意矩阵A经初等变换可化为使得(可操作性、易程序化)(过程性)(简洁性)命题1形式2：对于任意矩阵A，存在初等矩阵形式3：对于任意矩阵A，存在可逆矩阵

定理2

设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵从而分析:记作(初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵)四、初步应用二则于是有利用矩阵的行初等变换将A变化为

E时在相同的变化条件下,E就化为A的逆阵.原理：||||||相同的初等行变换相同的初等行变换初等行变换求逆矩阵当时，例5设

解:０-2-5-21００-2-6-3０1

即用一系列初等行变换将A化为单位矩阵E,则对B施以同样的行变换即得A-1B利用初等变换求A-1B

，记A-1B=P1P2…PkBE=P1P2…PkA∴(AB)(E

A-1B)

行变换A-1=P1P2…Pk

设A，B，X为矩阵，满足

AX=B（或XA=B

），求X.求解矩阵方程思考：利用初等变换求BA-1？

若用一系列初等列变换将A化为单位矩阵E,则对B施以同样的列变换即得BA-1BA-1=BP1P2…PkE=AP1P2…PkAB

列变换EBA-1例6：求

X

使AX=B。解：即初等行变换五、小结与思考2.单位矩阵初等矩阵，初等矩阵的性质.一次初等变换3.初等矩阵与初等变换的联系.4.用初等行变换求逆矩阵方法：1.初等行变换定义，等价标准形定理.

机动

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