711角的推广课件-高一下学期数学人教B版

7.1.1角的推广第七章三角函数1.理解任意角的概念.2.理解象限角的概念.3.能写出与任一已知角终边相同角的集合.扳手在拧动螺母过程中转体几周,角的范围如何来表示?问题1：如图，当摩天轮在持续不断地转动时，（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？只要时间足够长，摩天轮所转过的角度大小一定会超过360°（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转.概念讲解角的分类：按一条射线绕其端点的旋转方向，角可以分为三类：正角：按逆时针方向旋转形成的角，如图∠α；负角：按顺时针方向旋转形成的角，如图∠β

；零角：没有做任何旋转形成的角；OABα正角O1A1B1β负角注意：如果角α

与角β

的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β；用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.练习1：说出下列α、β的大小.OABOABα=450°，β=-630°问题2：如图，类比实数的加减运算，说说将α

的终边再次逆时针旋转β

后该如何表示？αβ把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β；思考：若将α

的终边顺时针旋转β

后又该如何表示？顺时针旋转的角β为负角，这时终边所对应的角是α–|β|；注：字母α、β

表示任意角，本身即是带有符号的.任意角的运算当α，β的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针；为了方便，可用|α|、|β|表示相应的旋转量；

按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角；

即：角α的相反角记为–α.OAB1αB2-αOAB1-αB2α归纳总结练习2：射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD大小.解:由题意知∠AOB=-80°，∠BOC=250°，∠COD=-270°，因此∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=-80°

+

250°-270°=-100°.Oα=25°β=–120°xy问题3：如图，角α

是第一象限角，角β

是第三象限角，试计算α+β的值，并说说结果所得的角位于第几象限？α+β=25°+(-120°)=-95°；

-95°的角位于第三象限.象限角：将角放在平面直角坐标系中来讨论，约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x

轴的正半轴上，此时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.思考：若角α

的终边在坐标轴上，那么角α

还是象限角吗？若角的终边在坐标轴（x/y）上，那么这个角不属于任何一个象限，我们把这样的叫轴线角，如右图的角γ.OxyγOxyB–30°330°–390°问题4：分别将30°、–390°及

330°的角，画在坐标系中，结合图象说说你有什么发现？即：

30°、–390°及330°是终边相同的角.由图可知，角的终边OB

除了可以表示-30°的角之外，还可以表示-390°，330°等角；思考：结合上述问题，你发现了终边相同的角的变化规律吗？一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即：任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：（1）α是任意角；（2）集合中α与k·360°间用“+”连接；如：k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，表示与-30°角终边相同的角.概念讲解

D【解析】第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°；小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知，选D.例2

写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.

所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.例2

写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.(1)所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．(2)在0°到360°范围内找出与直线y＝x终边相同的角，再推广到任意角．(3)终边相同的角的取值是由k的取值决定的．方法归纳例3

已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}变式：若将例3改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．表示区间角的三个步骤先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步第一步方法归纳根据今天所学，回答下列问题：（1）按照旋转方向不同，可以将角分为几类？相等的角有什么特征？（2）象限角是如何定义的？（3）如何表示终边相同的角？1．思考辨析(1)第二象限角大于第一象限角．(

)(2)第二象限角是钝角．(

)(3)终边相同的角一定相等．(

)(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(

)×××√2．下列各个角中与2024°终边相同的是(

)A．－154°B．684°C．324°D．224