高中数学四作业向量数乘运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业(二十一）1．若3x－2（x－a)＝0，则向量x等于(）A．2a B．－2aC．25a D．－25a答案B解析由题知3x－2x＋2a＝0，∴x＝－2a。2．已知向量a、b不共线,c＝ka＋b（k∈R)，d＝a－b,如果c∥d，那么(）A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且d与c反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且d与c反向答案D解析由c∥d，得c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)即eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（k＝λ，，1＝－λ，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,λ＝－1，））即c＝－a＋b且c＝－d。3．在四边形ABCD中，eq\o（AB，\s\up6(→)）＝a＋2b，eq\o(BC，\s\up6(→））＝－4a－b，eq\o（CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形答案A解析eq\o(AB，\s\up6（→))＝a＋2b，eq\o（CD,\s\up6(→)）＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以eq\o(AB,\s\up6（→））与eq\o（CD，\s\up6(→））不共线，所以AB与CD不平行．又eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→））＝－8a－2b，显然eq\o(AD,\s\up6（→)）＝2eq\o(BC，\s\up6(→)），所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形，故应选A.4．设e是与向量eq\o（AB,\s\up6(→)）共线的单位向量，eq\o（AB，\s\up6(→）)＝3e,又向量eq\o（BC，\s\up6（→)）＝－5e，若eq\o(AB，\s\up6(→））＝λeq\o（AC，\s\up6（→)）,则λ＝（）A.eq\f（2,3) B。eq\f（3，2)C．－eq\f（3,2) D．－eq\f（2,3)答案C解析eq\o（AC,\s\up6（→))＝eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6(→)）＝3e－5e＝－2e，由eq\o（AB,\s\up6（→）)＝λ·eq\o（AC,\s\up6（→))得3e＝λ·(－2）·e,∴λ＝－eq\f(3,2).5．在△ABC中,已知D是AB边上一点,若eq\o(AD,\s\up6（→)）＝2eq\o（DB，\s\up6(→）），eq\o（CD，\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA，\s\up6（→））＋λeq\o（CB，\s\up6（→)）,则λ＝(）A。eq\f（2,3) B。eq\f（1，3）C．－eq\f（1，3) D．－eq\f（2，3）答案A解析∵eq\o（CD,\s\up6（→))＝eq\o（CA,\s\up6(→））＋eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\o（CA，\s\up6（→)）＋2eq\o（DB,\s\up6（→））＝eq\o（CA,\s\up6（→)）＋2(eq\o（CB，\s\up6（→))－eq\o（CD,\s\up6(→）)）＝eq\o（CA，\s\up6（→）)＋2eq\o(CB，\s\up6（→））－2eq\o(CD,\s\up6（→)),∴3eq\o(CD,\s\up6（→))＝eq\o（CA，\s\up6（→))＋2eq\o(CB,\s\up6（→））。∴eq\o（CD，\s\up6(→）)＝eq\f(1,3）eq\o(CA，\s\up6（→)）＋eq\f(2，3）eq\o(CB,\s\up6（→）).∴λ＝eq\f(2,3)，故选A.6．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()A．e＝eq\f(a，|a｜） B．a＝｜a|eC．a＝－|a|e D．a＝±|a|e答案D解析对于A，当a＝0时，eq\f（a,|a｜）没有意义，错误对于B、C、D当a＝0时，选项B、C、D都对；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D.7．平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系：eq\o(PA,\s\up6（→）)＋eq\o(PB,\s\up6(→)）＋eq\o（PC,\s\up6（→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→）），则下列结论正确的是()A．P在CA上，且eq\o(CP,\s\up6（→)）＝2eq\o（PA,\s\up6(→）) B．P在AB上，且eq\o(AB，\s\up6（→））＝2eq\o（PB,\s\up6(→))C．P在BC上，且eq\o(BP，\s\up6(→））＝2eq\o（PC,\s\up6(→）) D．P点为△ABC的重心答案A解析∵eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o（AP,\s\up6（→）)＋eq\o（PB,\s\up6(→）)，∴eq\o（PA,\s\up6(→）)＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＋eq\o（PC，\s\up6(→))＝eq\o（AP,\s\up6（→)）＋eq\o(PB，\s\up6（→)).∴eq\o（PA，\s\up6（→）)－eq\o（AP，\s\up6(→）)＝－eq\o（PC,\s\up6（→）),∴eq\o(CP,\s\up6（→））＝2eq\o(PA,\s\up6（→)）.∴P在CA上，且eq\o(CP,\s\up6（→)）＝2eq\o(PA,\s\up6(→））,故选A。8．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o(OB，\s\up6(→)）＋eq\o（OC，\s\up6（→））＝0,那么（）A。eq\o(AO，\s\up6(→))＝eq\o（OD,\s\up6(→）） B。eq\o(AO，\s\up6(→)）＝2eq\o（OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO，\s\up6(→)）＝3eq\o（OD,\s\up6（→)） D．2eq\o(AO，\s\up6（→）)＝eq\o(OD,\s\up6(→)）答案A解析延长OD至E，使|eq\o(DE,\s\up6（→）)|＝｜eq\o（OD，\s\up6（→））｜，∵eq\o(OB,\s\up6(→)）＋eq\o(OC，\s\up6（→））＝eq\o(OE，\s\up6（→）)＝2eq\o（OD,\s\up6(→）），∴2eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\o（OB，\s\up6(→)）＋eq\o(OC，\s\up6(→)）＝2eq\o（OA，\s\up6(→））＋2eq\o（OD,\s\up6(→）)＝0.∴eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（OD,\s\up6（→）)＝0。∴eq\o(OD,\s\up6（→))＝－eq\o(OA,\s\up6（→）)＝eq\o（AO,\s\up6（→)），故选A.9．点C在线段AB上,且eq\f(AC，CB)＝eq\f(3，2），则eq\o（AC，\s\up6(→））＝________eq\o（AB,\s\up6(→))，eq\o（BC,\s\up6（→))＝________eq\o(AB，\s\up6（→)).答案eq\f（3，5）－eq\f(2，5）10．在▱ABCD中，eq\o（AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD，\s\up6（→)）＝b，eq\o(AN,\s\up6（→））＝3eq\o（NC,\s\up6（→)），M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________（用a，b表示)．答案eq\f（1，4）b－eq\f（1,4）a11．若▱ABCD的中心为O，P为该平面上一点，eq\o(PO,\s\up6(→)）＝a，则eq\o（PA,\s\up6(→））＋eq\o(PB，\s\up6(→))＋eq\o（PC，\s\up6（→)）＋eq\o(PD，\s\up6(→))＝________．答案4a解析eq\o(PA,\s\up6(→））＋eq\o（PB，\s\up6（→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD，\s\up6(→）)＝(eq\o(PO，\s\up6（→)）＋eq\o(OA，\s\up6(→)））＋（eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o（OB，\s\up6(→））)＋（eq\o（PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC，\s\up6（→））)＋（eq\o（PO,\s\up6(→））＋eq\o(OD,\s\up6（→)))＝4eq\o(PO,\s\up6（→)）＝4a。12．在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若eq\o(AC,\s\up6(→））＝λeq\o（AE,\s\up6（→）)＋μeq\o（AF，\s\up6（→)），其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．答案eq\f（4，3）解析设eq\o(AB,\s\up6(→）)＝a，eq\o（BC,\s\up6（→）)＝b，则eq\o(AF,\s\up6（→)）＝a＋eq\f（1，2）b，eq\o（AE,\s\up6(→）)＝b＋eq\f（1，2)a，eq\o(AC,\s\up6（→）)＝a＋b，所以eq\o（AC，\s\up6(→)）＝λeq\o(AE，\s\up6(→))＋μeq\o（AF，\s\up6(→））＝λ(b＋eq\f(1,2)a）＋μ(eq\f（1,2）b＋a）＝(λ＋eq\f(1，2)μ)b＋（eq\f（1，2)λ＋μ）a＝a＋b。又a，b不共线,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2）μ＝1，,\f（1，2)λ＋μ＝1，））解得λ＝μ＝eq\f(2,3),所以λ＋μ＝eq\f(4,3)，故填eq\f（4,3).13．设e1,e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB，\s\up6（→）)＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6（→)）＝e1＋3e2,eq\o（CD，\s\up6（→））＝2e1－e2，若三点A、B、D共线,求k的值．解析eq\o(BD,\s\up6（→）)＝eq\o（CD,\s\up6(→)）－eq\o（CB,\s\up6(→））＝（2e1－e2）－(e1＋3e2）＝e1－4e2，因为A、B、D共线，所以存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up6（→））＝λeq\o（BD，\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λ（e1－4e2）．所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（2＝λ，，k＝－4λ，）)所以k＝－8。►重点班·选做题14。如图所示，已知△AOB中,点C与点B关于点A对称，eq\o(OD，\s\up6(→)）＝2eq\o（DB,\s\up6（→)），DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o(OB,\s\up6（→))＝b。（1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6（→)）,eq\o（DC，\s\up6(→)）；（2)若eq\o(OE,\s\up6(→））＝λeq\o（OA,\s\up6（→)），求实数λ的值．解析（1）由题意，A是BC的中点,且eq\o(OD，\s\up6（→))＝eq\f（2，3)eq\o（OB,\s\up6(→）)，由平行四边形法则，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o（OC，\s\up6(→))＝2eq\o(OA，\s\up6（→)).∴eq\o(OC,\s\up6（→))＝2eq\o（OA，\s\up6（→))－eq\o(OB，\s\up6(→））＝2a－b,eq\o(DC，\s\up6(→)）＝eq\o（OC，\s\up6(→)）－eq\o（OD，\s\up6(→)）＝(2a－b）－eq\f（2，3)b＝2a－eq\f（5，3)b.(2）eq\o（EC,\s\up6（→））∥eq\o（DC，\s\up6(→))。又∵eq\o（EC，\s\up6（→))＝eq\o(OC，\s\up6（→））－eq\o（OE，\s\up6(→)）＝（2a－b）－λa＝（2－λ）a－b，eq\o(DC,\s\up6(→)）＝2a－eq\f（5，3)b，∴eq\f（2－λ,2）＝eq\f（1，\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4，5).15．如图所示，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq\f(1，3)BD。利用向量法证明M、N、C三点共线．分析转化为证明eq\o（MC，\s\up6(→））∥eq\o（MN，\s\up6(→)）。证明设eq\o(AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o（BC，\s\up6（→)）＝b，则eq\o（MN,\s\up6(→））＝eq\o（MB,\s\up6（→）)＋eq\o(BN，\s\up6（→)）＝eq\f（1,2）a＋eq\f（1，3）（－a＋b)＝eq\f（1，6）a＋eq\f(1,3)b，eq\o（MC，\s\up6（→））＝eq\o(MB，\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）a＋b，∴eq\o（MC,\s\up6（→））＝3eq\o(MN,\s\up6(→))。∴eq\o（MC,\s\up6(→））∥eq\o（MN,\s\up6（→）)。又∵它们有公共点M,∴M、N、C三点共线．1．已知向量a∥b，且｜a|〉|b｜〉0，则向量a＋b的方向(）A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反答案A解析a∥b且|a｜>|b｜>0，所以当a、b同向时,a＋b的方向与a相同，当a、b反向时，∵｜a｜>｜b｜,∴a＋b的方向仍与a相同．2．已知四边形ABCD是一菱形,则下列等式中成立的是（)A.eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o(CA，\s\up6（→）） B。eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AC，\s\up6(→））＝eq\o(BC,\s\up6（→))C.eq\o（AC,\s\up6（→）)＋eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\o（AD，\s\up6(→)） D。eq\o（AC，\s\up6(→))＋eq\o(AD，\s\up6（→)）＝eq\o（DC,\s\up6（→))答案C解析对于A，eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→)）＝eq\o（AC,\s\up6(→）)≠eq\o(CA,\s\up6（→)）；对于B，eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→)）≠eq\o(BC,\s\up6(→)）;对于C,eq\o（AC,\s\up6（→）)＋eq\o(BA，\s\up6(→)）＝eq\o(BA,\s\up6（→)）＋eq\o(AC,\s\up6(→)）＝eq\o(BC,\s\up6(→）),又eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\o(BC,\s\up6（→)),∴eq\o(AC,\s\up6（→）)＋eq\o(BA，\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→））；对于D，eq\o(AC，\s\up6(→)）＋eq\o（AD,\s\up6(→))≠eq\o（DC，\s\up6（→））.3．在边长为1的正三角形ABC中，|eq\o（AB,\s\up6(→）)－eq\o(BC,\s\up6（→)）|的值为（）A．1 B．2C.eq\f(\r（3），2) D.eq\r（3)答案D解析作菱形ABCD，则｜eq\o(AB,\s\up6（→)）－eq\o（BC，\s\up6(→））|＝|eq\o(AB，\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝｜eq\o（DB,\s\up6（→））｜＝eq\r（3）.4．已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是（)①λa∥a;②λa与a方向相同;③eq\f(a,｜a|)是单位向量；④若｜λa｜〉｜a｜，则λ〉1.A．①② B．①③C．③④ D．②④答案B解析∵a≠0，∴必有λa∥a，而eq\f(a，|a｜)是与a同向的单位向量,故①、③正确；对于②，当λ〉0时，λa与a同向，而λ<0时，λa与a反向；对于④，由|λa｜>|a|⇒|λ|·｜a｜〉｜a｜⇒｜λ｜>1⇒λ>1或λ〈－1，故②、④错误．5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→））＝eq\o（OA，\s\up6(→））＋λ[eq\f(\o(AB，\s\up6(→））,｜\o（AB,\s\up6（→)）｜）＋eq\f(\o（AC，\s\up6（→）），｜\o(AC,\s\up6（→）)|）],λ∈[0,＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心C．重心 D．垂心答案B解析eq\f(\o(AB，\s\up6(→)），|\o（AB，\s\up6（→))|）表示向量eq\o(AB，\s\up6（→）)上以A为始点的单位向量,记为e1；eq\f（\o（AC,\s\up6（→）），|\o(AC,\s\up6(→)）|)表示向量eq\o(AC，\s\up6（→)）上以A为始点的单位向量，记为e2，由平行四边形法则可知，当λ∈[0,＋∞）时，λ·（e1＋e2）即为∠BAC的内角平分线上以A为始点的向量，作出图形可知,应选B.6．化简：（eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o(CD，\s\up6(→）））－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD，\s\up6(→）))＝________．答案0解析解析1：(eq\o(AB,\s\up6(→)）－eq\o（CD，\s\up6（→)）)－(eq\o（AC，\s\up6(→））－eq\o（BD,\s\up6(→）））＝（eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（BD,\s\up6(→）)）＋（eq\o（DC,\s\up6（→))＋eq\o(CA,\s\up6(→）))＝eq\o（AD，\s\up6（→)）＋eq\o（DA,\s\up6（→））＝0.解析2:(eq\o(AB，\s\up6（→））－eq\o（CD，\s\up6（→)）)－(eq\o(AC，\s\up6（→))－eq\o(BD,\s\up6(→）))＝eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o（CD,\s\up6（→））－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6（→))＝(eq\o(AB，\s\up6(→）)－eq\o（AC,\s\up6(→））)＋（eq\o(DC，\s\up6（→）)－eq\o（DB,\s\up6（→)））＝eq\o(CB，\s\up6（→)）＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＝0.7．若菱形ABCD的边长为2，则｜eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\o(CB,\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6(→)）｜＝________．答案2解析∵菱形ABCD的边长为2,∴｜eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o(CB，\s\up6（→））＋eq\o(CD，\s\up6(→））|＝｜eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o（BC,\s\up6（→))＋eq\o（CD，\s\up6(→）)｜＝｜eq\o（AC,\s\up6（→）)＋eq\o(CD,\s\up6（→)）｜＝｜eq\o（AD，\s\up6（→)）｜＝2.8．设e1、e2是两个不共线向量，b＝e1＋λe2（λ∈R),a＝2e1－e2，若a、b共线,则λ＝________．答案－eq\f（1，2）解析由向量共线定理知，存在实数k,满足b＝ka，即e1＋λe2＝2ke1－ke2，∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(2k＝1,,－k＝λ,)）∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f（1,2)，,λ＝－\f(1,2）。))9．已知非零向量e1、e2不共线，若eq\o(AB，\s\up6（→）)＝e1＋e2，eq\o（BC，\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD，\s\up6（→))＝3（e1－e2)．求证：A、B、D三点共线．分析证明三点A、B、D共线等价于eq\o（AB，\s\up6（→)）∥eq\o(BD,\s\up6（→）），由向量的加减法则以及平行向量基本定理，即可寻求出它们的关系．解析eq\o(BD，\s\up6（→））＝eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6（→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5e1＋5e2＝5（e1＋e2）＝5eq\o（AB,\s\up6(→）），即存在实数λ＝5使得eq\o（BD,\s\up6(→)）＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，因此向量eq\o（BD,\s\up6(→))与eq\o（AB,\s\up6(→))共线