2024-2025学年高中数学课时分层作业17常数与幂函数的导数导数公式表含解析新人教B版选修1-1

PAGE1-课时分层作业(十七)常数与幂函数的导数导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(3)＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(1,9)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,3)B[∵f(x)＝eq\f(1,x)，∴f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴f′(3)＝－eq\f(1,32)＝－eq\f(1,9)，故选B.]2．已知f(x)＝lnx，则f′(e)＝()A．0 B．eq\f(1,e)C．1 D．eB[∵f(x)＝lnx，∴f′(x)＝eq\f(1,x)，则f′(e)＝eq\f(1,e)，故选B.]3．已知f(x)＝xα(α∈Q)，若f′(－1)＝4，则α等于()A．3 B．－3C．4 D．－4D[∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝4.∴α＝－4.]4．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A．eq\f(1,e) B．－eq\f(1,e)C．－e D．eD[y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝keq\s\up7(x0)，,y0＝eeq\s\up7(x0)，,k＝eeq\s\up7(x0)，))∴eeq\s\up7(x0)·x0＝eeq\s\up7(x0)，∴x0＝1，∴k＝e.]5．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，则它在点A处的切线方程是()A．2x－y＝0B．2x＋y＝0C．4x－4y＋1＝0D．4x＋4y＋1＝0C[因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，所以α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up7(eq\f(1,2))，f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－eq\f(1,2)＝x－eq\f(1,4)，即4x－4y＋1＝0.]6．已知函数f(x)＝xm－n(m，n∈Q)的导数为f′(x)＝nx3，则m＋n＝________.12[∵f(x)＝xm－n，∴f′(x)＝(m－n)xm－n－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝n，,m－n－1＝3，))解得m＝8，n＝4，∴m＋n＝12.]7．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．(1,1)[因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.设P(m，n)，y＝eq\f(1,x)(x＞0)的导数为y′＝－eq\f(1,x2)(x＞0)，曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)在点P处的切线斜率为k2＝－eq\f(1,m2)(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1·k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．]8．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．21[∵y′＝2x，∴y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线方程为y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，∴ak＋1＝eq\f(1,2)ak，即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝eq\f(1,2)的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.]9．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[解](1)因为y′＝3x2，所以切线斜率k＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－2＝0，,y＝x3，))所以(x－1)(x2＋x－2)＝0，所以x1＝1，x2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)．10．若曲线y＝xeq\s\up7(－eq\f(1,2))在点(a，aeq\s\up7(－eq\f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a的值．[解]∵y＝xeq\s\up7(－eq\f(1,2))，∴y′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up7(－eq\f(3,2))，∴曲线在点(a，aeq\s\up7(－eq\f(1,2)))处的切线的斜率为k＝－eq\f(1,2)aeq\s\up7(－eq\f(3,2))，∴切线方程为y－aeq\s\up7(－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2)aeq\s\up7(－eq\f(3,2))(x－a)．令x＝0，得y＝eq\f(3,2)aeq\s\up7(－eq\f(1,2))；令y＝0，得x＝3a.由题意知，a>0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(3,2)aeq\s\up7(－eq\f(1,2))＝eq\f(9,4)aeq\s\up7(eq\f(1,2))＝9，∴a＝16.[实力提升练]1．设曲线y＝eq\r(x)在点(2，eq\r(2))处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2) D．2eq\r(2)D[∵y＝eq\r(x)＝xeq\s\up7(eq\f(1,2))，∴y′＝eq\f(1,2)xeq\s\up7(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2\r(x))，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝eq\f(1,2\r(2))，由已知，得－a＝－2eq\r(2)，即a＝2eq\r(2)，故选D.]2．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2020(x)等于()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosxA[f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，所以f2020(x)＝f505×4(x)＝sinx．]3．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．eq\f(1,2)log2e[y′＝eq\f(1,xln2)＝eq\f(1,x)·log2e，所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝log2e，切线方程为y＝(x－1)log2e，令x＝0，得y＝－log2e，令y＝0，得x＝1，因此所求三角形的面积S＝eq\f(1,2)×1×log2e＝eq\f(1,2)log2e.]4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx，0＜x＜1，))，f′(a)＝12，则实数a的值为________．eq\f(1,12)或－2[由题意得f′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2，x≤0，,\f(1,x)，0＜x＜1，))若f′(a)＝12，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,\f(1,a)＝12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,3a2＝12，))解得a＝eq\f(1,12)或a＝－2.]5．点P是曲线y＝ex上随意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[