人教版多选题单元专项训练检测试题

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1.已知函数/(x)=["nxl'x>2,若函数y=/(『(x))+4有6个不同零点，则实数〃

x+1,x<0

的可能取值是()

11

A.0B.C.—1D.——

23

【答案】BD

【分析】

分别代入各个选项中〃的值，选解出f(f(x))+a=O中的/*),然后再根据数形结合可

得出答案.

【详解】

画出函数"x)=F八的图象：

3+1,元，0

函数y=f(.f*))+。有零点，即方程/(/(外)+。=0有根的问题.

对于A：当〃=0时，/(/(x))=o,

故/(x)=-l,/(x)=l,故x=0,x=-2,x=i,x=e,

故方程/(/(幻)+a=。有4个不等实根；

对于3：当。=一不时,/(/(x))=—,

故/(1)=一3，f(x)=yfe,f(x)=-J=,

当/(幻二-3时，由图象可知，有1个根，

当/(%)=&时，由图象可知，有2个根，

当/")=9时，由图象可知，有3个根，

故方程/(/(x))+。=0有6个不等实根；

对于C：当〃=一1时，/(/«)=1,

故f(x)=O，fM=ef(x)=-

fet

当f(x)=O时，由图象可知，有2个根，

当f(x)=e时，由图象可知，有2个根，

当时，由图象可知，有3个根，

e

故方程/(/(X))+。=0有7个不等实根；

对于0：当〃=一;时，/(/(x))=1,

故/。)=一§，/(X)=yfe,/*)=亚，

2

当/。)=-可时，由图象可知，有1个根，

当/“)=及时，由图象可知，有2个根，

当‘")=七时，由图象可知，有‘3个根，

故方程/(一(幻)+。=。有6个不等实根；

故选：BD.

【点睛】

关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出/(力的值，三是根据数形

结合得到每一个新的方程的根.

2.已知“X)为定义在R上且周期为5的函数，当％《0,5)时，/(力=任-©+3］.则下

列说法中正确的是()

A./(x)的增区间为(l+5Z,2+5Z)u(3+5女,5+5女)，keZ

B.若丁=。与〉=/(力在［—5,7］上有10个零点，则。的范围是(0,1)

C.当"«0,同时,/(力的值域为［0,3］,则〃的取值范围［1,4］

D.若、二依-2(々>0)与)，=〃戈)有3个交点，则Z的取值范围为

【答案】BC

【分析】

首先作出了(力的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A不正确；利

用数形结合可判断选项B、C；举反例如2=1时经分析可得y="-2(%>0)与y=/(x)

有3个交点，可判断选项D不正确，进而可得正确选项.

【详解】

对于选项A：单调区间不能用并集，故选项A不正确；

对于选项B：由图知若>与在［-5,7］上有10个零点，则。的范围是（0,1）,

故选项B正确；

对于选项C：/（1）=0,/（4）=3,由图知当人目0,可时，/（力的值域为［0,3］,则〃的

取值范围［1,4］,故选项c正确：

对于选项D：当左=1时，直线为了=不一2过点（5,3）,/（力也过点（5,3）,当％=10

时，y=10-2=8,直线过点（10,8）,而点（10,8）不在/（力图象上，由图知：当

2=1时，直线为>=%-2与y=/（x）有3个交点，由排除法可知选项D不正确，

故选：BC

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围：

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

“、x+ax,x<0

3.已知函数/（力=<,则（）

2—1,x>0

A./（力的值域为（-1,位）

B.当时，/(X)>/(^+1)

C.当a>0时，存在非零实数为,满足/(一/)+/(，％)=。

D.函数g(X)=/(%)+4可能有三个零点

【答案】BC

【分析】

A.考虑。=2时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B.先根据条件分析/(X)的单

调性，再根据炉+i与X的大小关系进行判断；C.作出

y=d+ar,y=-犬+ar,y=-犬+ar的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；

D.根据条件先分析出。w(0』)，再根据有三个零点确定出。满足的不等式，由此判断出

。是否有解，并判断结论是否正确.

【详解】

A.当x>0时，y=2-x-l>0-l=-l,当xWO时，y=x2+ax=^x+^一^，取

4=2,此时y=(x+l)2-1之一1,

所以此时的值域为［-1,+8),故A错误；

B.当心0时，y=x2+ar=fx+j^一手的对称轴为工=一台0,所以〃力在

(YO,0］上单调递减，

又因为“力在(0,+8)上单调递减，且02+0xa=2"-l，所以〃力在R上单调递

减，

又因为V+l—x=—+(>°，所以Y+l>x，所以/(x)>f(d+l)，故B正

确；

C.作出函数)，=12+0¥,丫=一/+公；,旷=2-，-1的图象如下图所示：

由图象可知：y=x2+G；,y=-x2+公关于原点对称，且》=-x2+or与y=2r-1相

交于（b％），

因为点（而,%）在函数y=/।如的图象上，所以点（一七）,一%）在函数y="2।公的图

象上，

所以/（玉）+/（-/）=%+（-%）=0，

所以当白>0时，存在/使得/（-毛）+/（%）=0,故c正确；

D.由题意知：/（6=一。有三个根，所以/（X）不是单调函数，所以4>0,

又因为丁=2一*一1«—1,0）,所以一4£（-1,0）,所以a«0」），

■2\2

且y=f+ore——»+€°,若方程有三个根，则有―〃>一幺，所以a>4或〃<0,这

L4）4

与〃£（0,1）矛盾，

所以函数g（x）=/（x）+a不可能有三个零点，故D错误，

故选：BC.

【点睛】

思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相

互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

（1）确定方程根的个数；

（2）求参数范围；

（3）求不等式解集；

（4）研究函数性质.

4.对于函数/（力定义域中任意的不,工（%。々），有如下结论，当/（%）=lgx时，上

述结论中正确结论的序号是（）

A./（百+9）=/6）•/（%）B.7（X,-^）=/（X,）+/（X2）

/（%）—..（Xi+X2\/（A|）+/（X2）

I2J2

【答案】BC

【分析】

由对数的运算性质判断A,B,由对数函数的单调性判断C,由对数的运算结合基本不等式

判断D.

【详解】

对于A,Q/（X+9）=lg（x+与）Wlg%・lgW，即/（入+±）。/（%）・/（与），故A

错误；

对于B,（3/（%・毛）=吆（4¥2）=电内+电工2=/（占）+/（无2），故B正确；

对于c,Q/（x）=lgx在定义域中单调递增，.•./））―/伍）>0,故c正确；

王一工2

对于D,Qx，w>0（凡工看），利用基本不等式知

/（牛）M号上怆卮，又

/G）+"%）jga+lgX2=]fel=国,则

2227।2

/（空尸叫）㈤,故D错误；

故选：BC

【点睛】

关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，

解决本题的关键点是将对数形式亿为根式，即lg》；lgX2二坨后,利用对数的运算结

合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属

于中档题.

5.已知5“=3，8〃=5，则（）

11

<B-+->2cD

A.4b--…乜”

【答案】ABD

【分析】

根据条件求得。力表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正

确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正碓.

【详解】

解：・/5"=3，8”=5，

/.a=log；,b=logg,

3

因为3’<5=>3<5i=>log53<log55^=-,

又由54>8?n5>8?nloggSAlogg/=q,所以a<b,选项A正确；

0<〃=log；<l,0<b=log^<1,则，>1,所以2+!>2,选项B正确;

abah

因为0<a<b<\,则8—>1,此时

ab

1，k\b-a(11

a+——b+—=(a-b)+----=(b-a)------1>0,

ayb)ah\ab)

所以a+：>b+*,故选项C不正确；

i33

由5<a<］和W<〃<1知/(力=优与g(x)=匕'均递减，

再由*b的大小关系知—</=4+片<6+/,故选项D正确.

故选:ABD

【点睛】

本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法.

2—4x—0<%<1

6.已知函数”"二'2'"一’其中下列关于函数/(x)的判断正确

af(x-l)9x>1,

的为()

A.当。=2时，/(3=4

B.当时<1时，函数〃%)的值域[-22]

/ry_.\

C.当〃=2且工£[九一1,〃](〃€叶)时，/(x)=2w-12-4x一一--

\2,

D.当〃>0时，不等式在[°，x°)上恒成立

【答案】AC

【分析】

对于A选项，直接代入计算即可；对于B选项，由题得当工€。几机+l],mcN*时，

m

f(x)=af(x-ni)t进而得当rw(m»/n+l],mwN*时,/(x)e(-2,2),故/(x)的

值域(-2,2]：对于C选项，结合B选项得当4=2且矶时,

/(0=2"一"("一〃+1)进而得解析式；对于D选项，取特殊值即可得答案.

【详解】

11、

解：对于A选项，当。=2时，==2-4---=4,故A选项正确:

22

对于B选项，由于当函数的值域为[0,2],所以当xw(机加+l],mwN”时，

m

f{x}=af(x-ni)t由于所以-㈤«0,2],因为同<1,所以

am€(-1,1),所以当《¥£(〃?,m+1],机£“时，/(X)G(-2»2),综上，当时<1时，函

数/(%)的值域(一2,2],故B选项错误；

对于C选项，由B选项得当冗«加,加+l],weN*时，=故当0=2

且xs[〃-时，

/(x)=2"-"(x—〃+l)=2”-(2—4x—〃+1—北

fI\

=2〃T2-4x-n+-=2"T2-4x一一—，故C选项正确;

22

”3噌卜2一42」二i,

对于D选项，取。=,，x=

442

2人=2管j2=28=2x(2-“=2x2-2=(不满足式“上2一，故口

选项错误.

故选：AC.

【点睛】

木题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.木题解题的关键在于根

据题意得当m+1],加£.时，f(x)=amf(x-m),且当OWxWl,函数的值域

为[0,2],进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.

7.下列结论正确的是()

A.函数y=的定义域为[1,3],则函数y=〃2x+l)的定义域为[0,1]

B.函数/(力的值域为[L2],则函数〃x+l)的值域为[2,3]

C.若函数丁=一/+奴+4有两个零点，一个大于2,另一个小于」，则〃的取值范围是

(。，3)

D.已知函数〃%)=卜2+3乂/€/?,若方程/(%)—4]-1|=0恰有4个互异的实数

根，则实数。的取值范围为(0,1)。(9,母)

【答案】ACD

【分析】

根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A,利用函数图象的平移可判

断函数值域的变换情况，判断B,利用数形结合及零点的分布求解判断C,作出函数

“力=卜2+3%|与丁=如一1|的图象，数形结合即可判断》

【详解】

对于A,y=f(x)的定义域为[1,3],则由1W2X+1K3可得y=/(2x+l)定义域为

[0,1],故正确；

对于B,将函数/(力的图象向左平移一个单位可得函数/(1+1)的图象，故其值域相

同，故错误；

对于C,函数丁=8。)=一X2+公+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-1只需

g(2)＞。

1.八z解得0＜”3,故正确；

1^(-1)＞0

对于D,作出函数/(工)=32+3耳与—的图象，如图，

由图可以看出，时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置〃=1或

4=9,观察图象可知，当0＜。＜1有4个交点，当时，两条射线分别有2个交点，

综上知方程/(力―〃上一1|=0恰有4个互异的实数根时，〃w(0,l)U(9,+8)正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，/(X)=|X2+3X|

图象确定，而、=々,一1|是过(1,0)关于1=1对称的两条射线，参数。确定两射线张角的

大小，首先结合图形找到关键位置，即。=1时左边射线与抛物线部分相切，〃=9时右边

射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.

|log(l-.v)|,x<l(]

5-2)=〃的实根个数可能为

8.已知函数=FJ，则方程/x+一

-(x-2)<2,x>l1%

()

A.8B.7C.6D.5

【答案】ABC

【分析】

以/(工)=1的特殊情形为突破口，解出x=l或3或1•或-4,将4+■!■—2看作整体，利

X

用换元的思想进一步讨论即可.

【详解】

由基本不等式可得

x+--2>0^x+--2<-4t

XX

，/、10g5(l-X)|,A<1

作出函数/(》)=12的图像，如下：

-(x-2)+2,xNl

一一…y1

：

y=|log5(l-x)|;y=-(x-2)+2

1

①当a>2时，工+!-2工一24或0<工+!-2<1,

XX

故方程f(X+：-2)=a的实数根个数为4：

②当时，彳+一二或或」-

a=222—240<x+2—2<1X+-2=2,

XXX

故方程/(x+g-2)=a的实数根个数为6；

③当lva<2时，-24<工+1—2<-4或0<1+,一2<1或j1<xH-----2<2

XXX

或2<工十二2<3,

X

故方程f(x+：-2)=a的实数根个数为8；

④当a=l时，x+2-2=-4或0<x+2-2<1或x+2-2=1或3+2-2=3,

XXXX

故方程/（X+g-2）=〃的实数根个数为7；

⑤当0<〃vl时，-4<x+——2<0或3<工+,—2<4,

xx

故方程/〃的实数根个数为2；

⑥当〃=0时，工+,一2=0或3<工+」一2<4,

XX

故方程/^x+i-2j=a的实数根个数为3；

当a<0时，xH---2>3,

X

故方程/（工+:一2）=4的实数根个数为2；

故选：ABC

【点睛】

本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.

2X+\X<0

9.已知函数“力=・9,则方程尸（力一2/（切+片_1=0的根的个数可

|log2x|-l,x>0

能为（）

A.2B.6C.5D.4

【答案】ACD

【分析】

先画出了⑶的图象，再讨论方程/（司一2〃司+/-1=0的根，求得了（%）的范围，再

数形结合，得到答案.

【详解】

画出了（幻的图象如图所示：

令f=f（x）,则尸一2，+/一1=0，则A=4（2-

当△=（）,即/=2时，t=\,此时/（尤）=1,由图y=l与y=/。）的图象有两个交

点，

即方程/2(尤)一2/(工)+。2—1=0的根的个数为2个，A正确；

当/>0时，即/<2时，，=1二，2一/，则0vJ2-/4行

故1<1+，2-a~《1+\/2,1—\/241-，2-<I'

当，=1一亚f时，即/(x)=l-j2-/则工有2解，

当，=1+，2-片时,若，6(1,2],则“有3解；若/w(2,l+&],则X有2解，

故方程/(力-2〃同+。2_1=0的根的个数为5个或4个，CD正确；

故选：ACD

【点睛】

本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思

想，难度较大.

10.设函数g(x)=sM3x(w>0)向左平移2个单位长度得到函数/(X),已知/(x)在[0,2m上有

且只有5个零点，则下列结论正确的是()

A./W的图象关于直线x对称

B./(x)在(0,2m上有且只有3个极大值点，f(x)在(0,2m上有且只有2个极小值点

C.7W在(0,专)上单调递增

1229

D.g的取值范围是[三,而)

【答案】CD

【分析】

利用正弦函数的对称轴可知，A不正确；由图可知〃x)在(0,2乃)上还可能有3个极小值

37c

点、,8不正确；由“AW2乃</解得的结果可知，。正确；根据/*•)在(0，k)上递

1()69

增，且工<王，可知C正确.

1010G

【详解】

依题意得/(x)=g(xH----)=sin[<y(xH---)]=sin(d>xH—),T——,如图：

5CD5co5co

rrjrK.7T17T

对于A,令。工+—=攵乃+—，keZ,得工=—+—,keZ,所以/（幻的图象关于

52co10ry

直线x=^+£（&wZ）对称，故A不正确;

co10。

对于8,根据图象可知，xA<2n<x^/V）在（0,2团有3个极大值点，/（x）在（0,2力

有2个或3个极小值点，故8不正确，

rL十LAl兀5—7T52万24万

对于O,因1为x.=------1—T--------H—x—=-------

5co25co2co5<o

7i4r2乃294,.24^,.29乃5用12/29

Xg=-------1-3T=-------F3X—=-----,所dr以-----W2〃<-------,解得——,

5co5coco5（o5co5co510

所以。正确；

jrIir12TI3713冗

对于C,因为——+-T=一一+-X—,由图可知/*）在（0,二一）上递增,

5co45a）4co10<y10G

因为公<々<3,所以々一?=々（1一3）<0,所以/（X）在（0,二）上单调递增，故

101010。10（O10

C正确；

故选：CD.

【点睛】

本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极

值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

二、导数及其应用多选题

11.关于函数/（x）=ae'-cosx,㈤下列说法正确的是（）

A.当。=1时，/（力在x=0处的切线方程为了=%

B.若函数/（力在（一兀㈤上恰有一个极值，则4=0

C.对任意4>0,，（力N0恒成立

D.当a=1时,/（力在（一兀,兀）二恰有2个零点

【答案】ABD

【分析】

直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数

法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构

造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.

【详解】

解：对于A,当0=1时，Z（X）=eX-COSX,XG（-7l,7C）,

所以/（0）=e°-cos0=0,故打点为（0,0）,

则/'（x）=e'+sinx,所以/'（0）=e°+sin0=l,故切线斜率为1,

所以“力在4=0处的切线方程为：y-0=lx（x-0）,即）=匕故A正确：

对于B,f（x）=aex-cosx,xG（-n,7t）,则r（x）=oe'+sinx,

若函数/（Y）在（一兀九）上恰有一个极值，即/（丫）=0在（一冗,九）上恰有一个解,

令/'（x）=0,即ae"+sinx=0在（一兀,兀）上恰有一个解，

则a=，尸在（-元,兀）上恰有一个解，

苦岁的图象在（-兀,兀）上恰有一个交点

,/\^111A人/\

g（x）="，兀兀），

令g'（x）=。,解得：入i=——»x2=—>

当xw一肛一,）u仔4时，g<x）>0,当y个’?）时'g，（x）<。’

二.g（x）在卜乃，一竿）上单调递胤在（一节，（

上单调递减，在了,乃上单调递增,

）（4）

也

所以极大值为gj_包］=3>o,极小值为gH。，

而g（_%）=0,g（T）=Og（0）=0,

作出8（工）=二券，XW（一兀，兀）的大致图象，如下：

由图可知，当a=0时，丁=。与g（x）=二弊的图象在（一兀兀）上恰有一个交点，

即函数“X）在（一兀㈤上恰有一个极值，则。=0,故B正确；

对于C,要使得f（x）20恒成立，

即在xe（一兀，兀）上，〃力=oe'一cosxNO恒成立，

即在工«-兀㈤上，。之上学恒成立，即2芋］,

e、©）max

…、cosx/、…〃\-sinx-cosx/、

设/z（x）=-^—,XG（-7l,7l）,UlJh（jf）=-----------,XW（一冗,兀），

令"（x）=0,解得：％=-5，/=与，

当xe一肛时，//（x）＞0,当时，"（x）＜0,

.,.人（力在卜凡一上单调递增：在卜：,子）上单调递减，在（,,乃）上单调递增,

及

Z\---1I

所以极大值为力—I=_2_＞o»〃（一4）=二^,〃（万）二下，

4.£ee

也

所以力(力=等在X«F，兀)上的最大值为〃(一?)=3>0,

也

所以时，在xw(一兀，兀)上，f(x)=ae'-cosxN。恒成立,

叵

即当〃之2时，/(x)N0才恒成立,

7

所以对任意。>0，""N0不恒成立，故C不正确;

对于D,当0=1时，/（X）=ex-CQSX,XG（-7t,7t）,

令f(x)=0,则/(x)=e*-cosx=0,即e'=cosx，

作出函数)，="和，=CQSX的图象，可知在%«一码元)内，两个图象恰有两个交点,

则/(%)在(一兀㈤上恰有2个零点,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法

的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运

算能力和数形结合思想.

X1

12.已知函数/。)=~以幻=1〃二+；；的图象与直线片m分别交于A、8两点，则()

乙2

A._flx)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+/n2

B.3m使得曲线g(x)在B处的切线平行于曲线"x)在A处的切线

C.函数/(x)-g(x)+m不存在零点

D.Bm使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线/(x)的切线

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在与g(x)取两点求距离，即可判断出A选项的正误；解方程

/，S加)=g，(2j4),可判断出3选项的正误；利用导数判断函数y=/(x)-g(x)+m的单

调性，结合极值的符号可判断出c选项的正误；设切线与曲线)，=却工)相切于点c(〃，

g(〃))，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出。选项

的正误.进而得出结论.

【详解】

在函数/(x)=e，g(x)=l吗+g上分别取点P(0,l),Q(2,g),则|尸Q|=孚，而

而

—<2+ln2(注In2ao.7),故4选项不正确；

2

r|1

Q/(x)=er,g(x)=ln-+-,则/'(不)=炉，g")=一,

22x

曲线)=fM在点A处的切线斜率为fVnm)=m,

m-\

曲线》=g(x)在点"处的切线斜率为g(2e2)=­r,

m—

2e2

令八加)=gQ'W)，即加二士,即2痴*=「则"总满足方程2机j4=i，

一.协使得曲线y=在A处的切线平行于曲线y=g(x)在B处的切线，B选项正确;

Y11

构造函数尸(X)=/(x)-g(x)+m=eK-ln-+m--,可得尸'(x)=/一一，

22x

函数k(%)="-■!■在(0,+8)上为增函数，由于尸(3一人一240,k(1)=^-1>0,

xe

则存在reg,1),使得尸。)="一；=0,可得f=

当0cxe/时，r(x)<0；当时，F\x)>0.

尸"),而=尸(。=d一加;+加一g=d-Int++ln2——

2

=-+t+m+ln2--+m+ln2--=—+ln2+m>0

t2Vt22

二•函数F(x)=f(x)-g@)+m没有零点，。选项正确；

设曲线y=/(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)相切于点。(〃，g(”))，

则曲线)=/*)在点A处的切线方程为y-6=elnn,(x-lnm),即)，=皿+m[\-Inm),

同理可得曲线y=g(x)在点C处的切线方程为y=:彳+/〃5-：，

n22

巾=3j

,消去〃得加一(加一1)/，加+妨2+—=0,

m(\-lnm)=ln---2

22

I-\1

令G(x)=x-(x-\)lnx+ln2+—,则Gf(x)=1---x-------lnx=——Inx,

2xx

函数y=G'(x)在(0,+oo)上为减函数，QG'(1)=1>0,G'(2)=g-加2<0,

则存在“(1,2),使得GG)=1-加=0,且c—

当0<XVS时，G(x)>0,当X>S时，G(x)<0.

二.函数y=G(x)在(2,+8)上为减函数，

517

QG(2)=->0,G(8)=-—20。2<0,

由零点存定理知，函数y=G(x)在(2,+8)上有零点，

即方程相一-1)/〃〃?+/〃2+—=0有解.

2

・•・加使得曲线)=/(X)在点A处的切线也是曲线>=g(x)的切线.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转

化思想和数形结合思想，属难题.

YI

13.已知函数=的图象与直线y=m分别交于A、B两点,则

()

A.|A目的最小值为2+ln2

B.4n使得曲线/(%)在A处的切线平行于曲线g(x)在8处的切线

C.函数/(X)-g(x)+m至少存在一个零点

D.6九使得曲线/(力在点A处的切线也是曲线g(x)的切线

【答案】ABD

【分析】

求出A、8两点的坐标，得出|A却关于用的函数表达式，利用导数求出|4邳的最小值，

(JU-\-\

即可判断出A选项的正误；解方程/'(In机)=g'2e2,可判断出B选项的正误；利用

导数判断函数y=/G)-g(x)+机的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误;

设切线与曲线y=g(x)相切于点C(〃,g(〃))，求出两切线的方程，得出方程组，判断方

程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误.进而得出结论.

【详解】

JC1।

令〃x)=e'=m,得x=lnm,令g(x)=ln]+2=/w,得工=2J5

令力(/w)=2e2-Intn1则=则函数y=〃'(加)单调递增，且

m

(1\I1

”—J=0,当OvmV/时，然/n)vO,当机时，h^nij>0.

所以，函数〃(m)=2/T_lnM在(°，；)上单调递减，在上单调递增，

<1\I

所以，|A6Ln=，|5=2—In—=2+In2,A选项正确;

、乙)乙

v/(x)=e\^(x)=ln^+1,则r(x)=，,g'(x)=L

乙乙X

曲线y=/(力在点A处的切线斜率为/,(ln/n)=tn,

(1

2

曲线y=g(x)在点8处的切线斜率为g2e=­r,

I)2en，2

(吁口1,

令/'(lnm)=g'2c2,即加二:],即

kJ2e2

则m=g满足方程，所以，5k使得曲线y=/(x)在A处的切线平行于曲线

y=g(x)在5处的切线，B选项正确;

Y1I

构造函数尸(x)=f^x)-g[x)+m=ex-\n—+m--,可得/(力=6、——,

函数F(x)="-g在(0,+。)上为增函数，由于F(g)=五一2<0,

/[1)=6-1>0,

则存在使得/'(9二一一1二。，可得f=—hW,

I，，t

当0cxvr时，F(x)v0；当时，F(x)>0.

.*.F(x),=F(t)=el-—+=-\nt+m+\n2--=-+i+tn+\n2--

\7m.n「222t2

r1~7八

>2J/,一+"z+In2—=—FIn/+"2>0,

Vt22

所以，函数/(力=/(力一g(x)+m没有零点，C选项错误；

设曲线y=/(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)相切于点C(%g(〃))，

则曲线y=/(x)在点A处的切线方程为y—m=*用(工一Inm)，即

y=nvc+m(\-\nm)，

同理可得曲线y=g("在点C处的切线方程为y=%+1吗-g,

rn=­

n

所以,消去〃得“一(m-l)lnAzz+In24—=0

2

令G(x)=x-(x-l)lnx4-ln2+—,贝iJG[x)=1-――--Inx=--In.r,

2xx

函数y=G'(x)在(0,+8)上为减函数，・・・G'⑴=l>0,Gr(2)=^-ln2<o,

则存在sw(l,2),使得G'(s)=」—lns=0,且$

s

当0vx<s时，d(x)>0,当x>s时，G(x)<0.

所以，函数y=G(x)在(2,长o)上为减函数，:6(2)=^|>0,

17

G(8)=y-201n2<0,

由零点存在定理知，函数y=G(x)在(2,十8)上有零点,

即方程m—(m-l)lnm+ln2+g=0有解.

所以，为"使得曲线y="力在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.

InX

14.函数f(x)==,则下列说法正确的是()

X

A./(2)>/(3)B.ln/r>

C.若=有两个不相等的实根X]、X2,则即与＜/D.若2]=5，,不、y均为正

数，则2x＜5y

【答案】BD

【分析】

求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判

断各选项.

由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A,由函数性质判断BC,设

25

r=y=k＞且乂＞均为正数，求得21=丁丁1。幺5)，=—in/,再由函数/(冷性质判

In2In5

断D.

【详解】

,Inx八㈤、1-lnx

由/(x)x=——/＞0得：/(x)=-z—

XX

令广(幻=0得，x=e

当x变化时，r(x)j(x)变化如下表:

X(0,e)e®+8)

f1(x)十0—

极大值」

/(X)单调递增单调递减

e

故，/(幻=色'在(O,e)上递增，在(e,+8)上递减，/(e)='是极大值也是最大值,

xe

时，时，/(x)f0,且x>e时/(x)>0,Ovxvl时，f(x)<0,

/(D=0,

]2--

A./(2)=—n=ln22,/(3)=ln33

(/J,j£

・.・35>22y>21/./(3)>/(2)，故A错

B.・・・G<6<e，且f。)在(0,e)单调递增

.•"(五)</(向,必<如但，华<字故…正确

e7tIeN兀Ve

c.vf(x)=m有两个不相等的零点大，w•・•/(%)=./*(&)=m

不妨设O<X<e<x2

2

/e

2

要证