高考数学第二轮专题第4讲-导数的热点问题

第4讲导数的热点问题1.[2020·全国新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.2.[2020·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;(2)证明:|f(x)|≤33(3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n单调性1已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.【规律提炼】利用函数单调性求参数的方法(1)可导函数f(x)在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,进而求出参数的取值范围;(2)可导函数f(x)在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,进而求出参数的取值范围;(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.测题1.已知函数f(x)=x2+cos2x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若x≥0,不等式f(x)≥kx+1恒成立,求实数k的取值范围.2.已知函数f(x)=x2eax-1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>13e时,求证:f(x)>ln极值与最值2已知f(x)=lnx-x2+2ax,a∈R.(1)若a=0,求f(x)在[1,e]上的最小值;(2)求f(x)的极值点.【规律提炼】1.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求定义域;(2)求导;(3)令f'(x)=0;(4)列表,检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左、右两侧的值的符号;(5)得出结论:如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.注意:只有极大值无极小值时,要指出“无极小值”.2.已知函数极值求参数时需注意的问题(1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.3.求可导函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,得出f(x)在[a,b]上的最值.测题已知函数f(x)=xlnx.若函数F(x)=f(x)-ax2有两个极值点,求实数a的取值范围.存在性问题与任意性问题3已知函数f(x)=ax-alnx(a≠0),g(x)=-x-1x(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a>0时,若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围.【规律提炼】1.含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a≥f(x)对x∈D能成立,则a≥f(x)min;若a≤f(x)对x∈D能成立,则a≤f(x)max.2.含全称、存在量词的不等式能成立问题(1)存在x1∈A,对于任意x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;(2)对于任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.3.恒成立问题与存在性问题的关系恒成立问题与存在性问题的求解过程是“互补”的,即f(x)≥g(a)对x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.应特别关注等号能否取到,注意端点值的取舍.测题已知函数f(x)=12x2,g(x)=aln(1)若曲线y=f(x)-g(x)在x=1处的切线的方程为6x-2y-5=0,求实数a的值;(2)设h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不等的正数x1,x2,ℎ(x1)-ℎ(x2(3)若在[1,e]上存在一点x0,使得f'(x0)+1f'(x0)<g(x0)-g'(x0)成立不等式的证明角度1单变量不等式的证明4已知函数f(x)=ex-1-ln(x+a)+(1)若x=1是f(x)的极值点,求a的值,并求f(x)的单调区间;(2)当a≤3时,证明:f(x)>-1.【规律提炼】用导数法证明不等式一般有以下方法:(1)构造函数法;(2)通过对函数的变形,利用分析法证明不等式;(3)分成两个函数进行研究;(4)利用图像的特点证明不等式;(5)利用放缩法证明不等式.角度2双变量不等式的证明5已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-b-1)x+b+1(a,b∈R).(1)若a=0,试讨论f(x)的单调性;(2)若0<a<2,b=1,实数x1,x2为方程f(x)=m-ax2的两不等实根,求证:1x1+1x2>【规律提炼】1.含参不等式的证明方法对于含参数的不等式,如果易分离参数,那么可先分离参数、构造函数,直接转化为求函数的最值;否则应进行分类讨论,在解题过程中,必要时可作出函数图像(草图),借助几何图形分析转化.2.破解含双参不等式的证明问题的关键一是转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不等式转化为含单参的不等式;二是构造函数,借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值;三是回归含双参的不等式的证明,把所求的最值应用到含双参的不等式中,即可证得结果.测题已知函数f(x)=lnx-ax+1有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,f'(x)为f(x)的导函数,证明:f'(x1·x2)<1-a.零点(方程的解)判断6已知函数f(x)=x2-2alnx+4,g(x)=f(x(1)若f(x)在x=1处取得极值,求f(x)的单调区间;(2)若g(x)在[1,e]上没有零点,求a的取值范围.【规律提炼】已知零点个数求参数范围(1)根据区间上零点的个数情况估计函数图像的大致形状,从而推导出导数需要满足的条件,进而求出参数满足的条件;(2)也可以先求导,通过导数分析函数的单调性,再依据函数在区间内的零点情况,推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,通过多次求导,层层推理得解.测题已知函数f(x)=x3-alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,求实数a的取值范围.公切线7已知函数f(x)=ex+1+x1(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明:曲线y=ex在A(x0,ex0)处的切线也是曲线y=lnx【规律提炼】求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点P(x0,y0),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程:先求出切线的斜率f'(x0),再由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k,求曲线y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求曲线y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.测题已知函数f(x)=lnx.(1)若函数t(x)=12x2-(a+2)x+2af(x)(a≠0),讨论t(x)的单调性(2)若函数g(x)=x3(x>0)的图像在点P处的切线为l,是否存在这样的点P使得直线l与曲线y=f(x)也相切?若存在,求满足条件的点P的个数;若不存在,请说明理由.数列型不等式的证明8已知函数f(x)=x-ln(x+a),a∈R.(1)若对定义域内的任意x,都有f(x)>0,求a的取值范围;(2)求证:对于任意大于1的正整数n,1+1221+132…1+1n2<e,其中e为自然对数的底数.【规律提炼】证明与数列有关的不等式的策略(1)根据已知的不等式,用关于正整数n的式子代替函数不等式中的自变量,得到关于n的不等式,通过多次求和证明.此类问题一般至少有两问,已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到.(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式),而待证不等式为与对数有关的不等式