2024-2025学年高中数学第2讲直线与圆的位置关系第1课时圆周角定理课后提能训练新人教A版选修4-1

PAGE1-第1课时圆周角定理素养训练1．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，则∠BCD＝()A．140° B．110°C．70° D．20°【答案】B【解析】∠BCD＝eq\f(1,2)(360°－∠BOD)＝110°，故选B．2．(2024年衡水期末)如图，已知∠DEC＝80°，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))的度数与eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度数的差为20°，则∠A的度数为()A．35° B．45°C．55° D．70°【答案】B【解析】∵eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))的度数与eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度数的差为20°，∴2(∠A－∠D)＝20°，即∠A－∠D＝10°.∵∠DEC＝80°，∴∠DEC＝∠D＋∠A＝80°.∴∠A＝45°，∠D＝35°.故选B．3．在半径为5的⊙O中，弦AB＝5eq\r(2)，弦AC＝5，则∠BAC的度数是()A．15°B．210°C．105°或15°D．210°或30°【答案】C【解析】由已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.如图1，∠BOC＝90°＋60°＝150°，则∠BAC＝eq\f(1,2)(360°－∠BOC)＝105°；如图2，∠BOC＝90°－60°＝30°，则∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝15°.故选C．4．(2024年重庆模拟)如图所示，圆的直径AB＝13cm，C为圆周上一点，CD⊥AB，垂足为D且CD＝6cm，则AD的长是__________cm.【答案】4【解析】∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.由直角三角形射影定理得CD2＝AD·BD，即36＝AD·(13－AD)，解得AD＝4或AD＝9(舍去)．5．(2015年韶关期中)如图所示，圆O的半径为3，∠BAC＝30°，则弦BC＝________.【答案】3【解析】连接OB，OC．∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴BC＝OB＝OC＝3.6．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，AD＝6，则BC＝________.【答案】6【解析】由已知△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，则∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠ADB＝30°.∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，AB＝ADtan∠ADB＝2eq\r(3).∴BC＝2ABcos30°＝6.7．如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AF,\s\up10(︵))，BF和AD相交于E，求证：AE＝BE.【证明】连接AB，延长AD交圆于G点，∴eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(BG,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AF,\s\up10(︵)).∴∠BAG＝∠ABF.∴AE＝BE.8．如图所示，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，求证：D是AB的中点．【证明】如图所示，连接DO，BE，∠ADO＝∠ABE＝90°.∴DO∥BE.又O为直径AE中点，∴D为AB的中点．实力提升9．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为BC上一点，E是直线AD和⊙O的另一个交点．(1)求证：AB2＝AD·AE；(2)若D为CB延长线上一点时(如图所示)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，试说明理由．【证明】(1)∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC．∴∠E＝∠C＝∠ABC．又∠BAE＝∠DAB，∴△AEB∽△ABD．∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AB,AD).∴AB2＝AD·AE.(2)结论仍旧成立．理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC．又∠AEB＋∠C＝180°