2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布讲义新人教A版选修2-3

PAGE1-2.4正态分布学问点正态曲线1．正态曲线函数，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为eq\o(□,\s\up3(01))正态分布密度曲线，简称eq\o(□,\s\up3(02))正态曲线．2．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴eq\o(□,\s\up3(03))上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线eq\o(□,\s\up3(04))eq\a\vs4\al(x＝μ)对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\o(□,\s\up3(05))eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为eq\o(□,\s\up3(06))1；(5)当σ肯定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的改变而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：学问点正态分布一般地，假如对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满意P(a<X≤b)＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X听从正态分布．正态分布完全由参数eq\o(□,\s\up3(02))eq\a\vs4\al(μ)和eq\o(□,\s\up3(03))eq\a\vs4\al(σ)确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，假如随机变量X听从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．学问点3σ原则(1)正态总体在三个特别区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝eq\o(□,\s\up3(01))0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝eq\o(□,\s\up3(02))0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝eq\o(□,\s\up3(03))0.9974.(2)通常听从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取eq\o(□,\s\up3(04))(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．正态分布是概率统计中最重要的一种分布，它由参数μ，σ唯一确定，常记作N(μ，σ2)，其中μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计，σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．参数μ，σ可由正态曲线的对称性求得：正态曲线关于x＝μ对称，当x＝μ时达到峰值eq\f(1,\r(2π)σ).理论上可以证明，正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974，由于正态分布在(－∞，＋∞)内取值的概率为1，可以推出它在区间(μ－2σ，μ＋2σ]之外的取值的概率为0.0456，在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的取值的概率为0.0026，于是正态变量的取值几乎都在x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的改变而改变的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．(2)设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有μ1________μ2，σ1________σ2.(3)在某项测量中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．答案(1)0eq\r(2π)(2)＜＜(3)0.8解析(1)比照正态分布密度函数f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，可得μ＝0，σ＝eq\r(2π).(2)可知N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合所给图象知μ1＜μ2，且N(μ1，σeq\o\al(2,1))的密度曲线较N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲线“高瘦”，因此σ1＜σ2.(3)可知正态分布N(1，σ2)的密度曲线关于直线x＝1对称．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(1))正态分布密度曲线例1如图所示是一个正态曲线，试依据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．[解]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是概率密度函数的解析式是φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.拓展提升利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质性两点：一是对称轴x＝μ，另一个是最值eq\f(1,\r(2π)σ).这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式．eq\a\vs4\al([跟踪训练1])若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π)).(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]上的概率．解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(2))利用正态分布求概率例2若随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975[解析]∵随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，得μ＝0，∴其图象关于y轴对称，∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.[答案]C拓展提升利用正态密度曲线图象的性质，即正态曲线关于直线eq\a\vs4\al(x＝μ)对称．例3已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.6826，则σ＝________，P(|ξ－2|<4)＝________.[解析]∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)＝0.6826，∴μ＝4，结合“3σ”原则可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|ξ－2|<4)＝P(－2<ξ<6)＝P(－2<ξ<2)＋P(2<ξ<6)＝eq\f(1,2)[P(－2<ξ<10)－P(2<ξ<6)]＋P(2<ξ<6)＝eq\f(1,2)P(－2<ξ<10)＋eq\f(1,2)P(2<ξ<6)＝eq\f(1,2)[P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.9974＋0.6826)＝0.84.[答案]20.84拓展提升求在某个区间内取值的概率的方法(1)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解．(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)；P(X<μ－a)＝P(X>eq\a\vs4\al(μ)＋a)．eq\a\vs4\al([跟踪训练2])设ξ～N(2,1)，试求：(1)P(1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤4)；(3)P(ξ≤0)．解∵ξ～N(2,1)，∴μ＝2，σ＝1.(1)P(1<ξ≤3)＝p(2－1<ξ≤2＋1)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3<ξ≤4)＝P(0<ξ≤1)＝eq\f([P0<ξ≤4－P1<ξ≤3],2)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)[0.9544－0.6826]＝0.1359.(3)∵P(ξ≤0)＝P(ξ>4)，∴P(ξ≤0)＝eq\f(1,2)[1－P(0<ξ≤4)]＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(3))正态分布的应用例4某年级的一次数学测验成果近似听从正态分布N(70,102)，假如规定低于60分为不及格，那么(1)成果不及格的人数占总人数多少？(2)成果在80～90分内的学生占总人数多少？[解](1)设学生的得分为随机变量X，则X～N(70,102)，其中μ＝70，σ＝10.成果在60～80分之间的学生人数的概率为P(70－10<X<70＋10)＝0.6826，∴不及格的人数占eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587.即成果不及格的学生人数占总人数的15.87%.(2)P(70－20<X<70＋20)＝0.9544，∴成果在80～90分内的学生占eq\f(1,2)[P(50<X<90)－P(60<X<80)]＝0.1359.即成果在80～90分内的学生占总人数的13.59%.拓展提升求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法(1)依据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．eq\a\vs4\al([跟踪训练3])某厂生产的圆柱形零件的外直径X听从正态分布N(4,0.52)(单位：cm)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7cm，该厂生产的这批零件是否合格？解由于X听从正态分布N(4,0.52)，由正态分布的性质可知，正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)内，即(2.5,5.5)之外的取值的概率只有0.0026.而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不行能发生的小概率事务，因此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的．1．设随机变量X听从正态分布，且相应的函数φ(x)＝，则()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)答案C解析由φ(x)＝，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故选C.2．设随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于()A．a B．1－aC．2a D．1－答案B解析因为X听从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X>4－c)＝P(X<c)＝1－P(X>c)＝1－a.3．已知一次考试共有60名同学参与，考生成果X～N(110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为()A．(90,100] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]答案C解析∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又eq\f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)．4．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.答案①②③解析在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．