微专题05 数列经典题型精练-2025年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分方案

PAGE1微专题05数列经典题型精练【秒杀总结】1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩．3、几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．【典型例题】例1．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）记为数列的前n项积，已知(1)证明:数列是等差数列；(2)若将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列求数列的前项和;(3)已知等比数列的首项为1，公比为若对任意的恒成立，求的值.【解析】（1）因为，时，有，为数列的前n项积，所以，代入上式有；又由，有，所以，即，，所以，所以为首项为，公差为的等差数列，所以，，代入，解得：，，所以数列是等差数列.（2），数列的为首项，公差为的等差数列，设其前项和为，令，数列的首项为，公差为的等差数列，设其前项和为，设数列与数列中相的同项构成的数列，设其前项和为；因为，即有：，，因为，互质，所以必为的倍数，即，，，所以有：，为首项，公差为的等差数列；因为，，所以两个数列对应相同的两项之间中有个数，中有个数，所以，，，，所以.（3）根据已知有：当时，，则有，对任意的上式恒成立恒成立；当时，，则有，由二项式定理有：即，即，当无限增大时，指数函数的增长速度大于二次函数的增长速度，所以时，对任意的，不恒成立，综上例2．（2024·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，．(1)求证是等比数列，并求数列和的通项公式；(2)设数列满足，的前n项和为，求．【解析】（1）当时，故，又，故是等比数列，且公比为2，首项为所以，故，设的公差为，则由，，解得，，故，（2）故，而，故，其中，当为偶数时，，当为奇数时，，例3．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.(1)求数列的通项和数列的通项；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，所以解得，故，因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，因为，所以，得，又，所以，即，又，解得，从而，所以；（2）由（1）得，所以，所以数列的前项和为（或）.例4．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．①求q的取值范围；②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”【解析】（1）公差为2的等差数列，设，由，所以公差为2的等差数列符合条件．（2）①首项为1，公比为q的正项等比数列，，对恒成立，若，则，符合．若，数列单调递增，不妨设，，，设，由（*）式中的m，n任意性得数列不递增，，，但当，，矛盾．若，则数列单调递减，不妨设，，即，设，由（**）式中m，n的任意性得，数列不递减，，，时，单调递增，，，，综上，公比q的取值范围为．②：由①得，，，当时，，要存在使得，只需即可；当时，要证数列符合“条件”，只要证存在，使得，，不妨设，则只要证：，只要证：，设，由m，n的任意性，不递减，只要证，只要证：，，，存在上式对成立．存在正数使数列符合条件．例5．（2024·全国·高三校联考专题练习）已知等差数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．（说明：）【解析】（1）设等差数列的公差为，由得：，解得：，.（2）由（1）得：，，；则当时，；当时，；当时，；综上所述：.例6．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的．(1)试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？(2)设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值；(3)证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．【解析】（1）不是的，理由如下：如等差数列，所以不是任意一个无穷等差数列对前项之积是封闭的．（2）是等比数列，其首项，公比，所以，所以，由已知得，对任意正整数，总存在正整数，使得成立，即对任意正整数，总存在正整数，使得成立，即对任意正整数，总存在正整数，使得成立，①当时，得，所以；②当时，得，且，综上，或.（3）对任意的无穷等比数列，，令，，则，下面证明：是对前项之积是封闭的．因为，所以，取正整数得，，所以对前项之积是封闭的，同理证明：也对前项之积是封闭的，所以对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．例7．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【解析】（1）由，可得，又，故数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．【过关测试】1．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）己知数列的前项积为，且．(1)证明：是等差数列；(2)从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和．【解析】（1）因为数列的前项积为，所以，又因为，所以，化简可得，当时，，解得：，所以是等差数列，首项为3，公差为2.（2）由（1）可得,所以，故，令数列的前项和为，则①②①②可得：化简可得：，所以数列的前项和2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为．(1)求数列的前n项和;(2)令，求的前9项之和．【解析】（1）正项数列的前n项和为，满足，可得，两式相减可得，所以，因为，所以，又因为，解得，所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列，则数列的通项公式为，可得.（2）由（1）知，可得，所以．3．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知函数．(1)若恒成立，求实数的值；(2)证明：．【解析】（1）因为，所以，当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，且，所以恒大于等于零不成立；当时，由得，，易知当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.则，若恒成立，则令，则，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以所以当时，.综上，若恒成立，则；（2）由（1）得，当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立，令，则，，，

所以，，，令，则恒成立，所以函数在上单调递增，故当时，，即．所以，，，所以.4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数．(1)求函数的极值；(2)证明：．【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，所以函数在处取得极小值，无极大值.（2）证明：由（1）知，，即，，因此，当且仅当时取等号，令，，则，，而，所以.5．（2024·河南·高三校联考开学考试）记数列的前项和为.(1)证明为等比数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.【解析】（1）由，得，即，所以，变形得，又，故数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即.（2）因为，所以，.因为，所以，即.设函数.因为，所以单调递增.又，所以，所以使成立的最大正整数的值为6.6．（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)令，记为的前项和，证明：时，.【解析】（1）因为，所以，作差可得，变形为，即，即，化简为，因为，所以，因为，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以，，作差可得，所以，，设，则在给定区间上递减，又故在是减函数，，所以当时，.7．（2024·安徽黄山·统考一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．【解析】（1）因为，所以，因为，，，故，，显然，所以不是等差数列；因为，则，，所以是首项为12，公差为6的等差数列.（2）因为数列是以1为公差的等差数列，所以，故，所以数列是以公比为的正项等比数列，，所以，且对任意的，都存在，使得，即，所以，因为，所以，①若，则，解得（舍），或，即当时，对任意的，都存在，使得.②若，则，对任意的，不存在，使得.综上所述，.（3）因为为常数列，则是等差数列，设的公差为，则，若，则，与题意不符；若，所以当时，，与数列的各项均为正数矛盾，所以，由等差数列前项和公式可得，所以，因为，所以，因为，故，所以则当时，不等式恒成立，另一方面，当时，令，，，则，，则，因为，，当时，，即，不满足不等式恒成立，综上，的最大值为2.8．（2024·山东日照·统考一模）己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差．(1)求及的通项公式；(2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和．【解析】（1）因为，，成等差，则，且，当时，可得，解得或（舍去）；当时，可得，两式相减得，整理得，且，则；可知数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.（2）因为，由（1）可得，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，可知；当时，因为，所以；综上所述：.所以数列的前50项和为.9．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；(2)已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．【解析】（1）是“集”;不是“集”.理由：当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足，当，则；当，则；当，则；当，则；综上是“集”.对于向量，若存在，使得.则，故中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合，则不是“集”.（2）(i)因为中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为，公差为2，故.则向量的坐标中必含，设另一坐标为，则或.所以或，故或，所以或，所以或，所以或即.此时，不满足;或，满足;所以只可能为.经检验是“集”，所以.(ii)设.由，得，由条件可变形为.设集合设集合则是“集”当且仅当关于原点对称.因为是中唯一负数，共个数，所以也只有个数.由于，所以，已有个数.对以下三角数阵：注意到，所以.又为常数)，故有穷数列为等比数列，且通项公式.10．（2024·广东深圳·统考一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．(1)求证：数列为等差数列；(2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，即，①因为，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，当时，，当时，，上式也成立，所以，所以数列是等差数列．（2）由（1）可知，当时，，因为满足上式，所以．，因为当时，，所以．11．（2024·全国·校联考模拟预测）数列的前项和满足．(1)证明：是等差数列；(2)若，证明：数列的前项和满足．【解析】（1）由题意（*），两边同加项，得：，由（*）式可得：，所以，得，即成立，当时，，得；综上，恒成立，所以是以2为公差的等差数列．（2）由第（1）问及题意，得等差数列中，，公差为，其前项和为：，，当时，成立；当时，则，即易知，，其中，所以；综上所述，对于，恒成立．12．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．(1)若，求数列的最小项；(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；(3)若，求证：数列具有性质．【解析】（1），当且仅当，即时，等号成立，数列的最小项为．（2）数列具有性质．，，数列满足条件①．为单调递增数列，数列满足条件②．综上，数列具有性质．（3）先证数列满足条件①：．当时，则，数列满足条件①．再证数列满足条件②：（，等号取不到）为单调递增数列，数列满足条件②．综上，数列具有性质.13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）设整数满足，集合.从中选取个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有个，设它们的和为.例如.(1)若，求；(2)记.求和的整式表达式；(3)用含，的式子来表示.【解析】（1）（2）因为，，两式相除，，，两式相除，（3）因为①，所以，因为②，所以，由（2）和①可得，③，由②和③，比较的系数，可得④，因为，由②比较的系数可得⑤，由④⑤消去可得，所以.14．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．（i）求；（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．【解析】（1），则，即，解得，则，，，，故.（2）（i），，故，，.（ii），，，故，故，，即，取验证不成立，整理得到，，当时，，不成立；当时，；当时，；现说明当时不成立：设，，，则，，故单调递增，，设，，，，，故单调递减，，，，，故时，不成立，综上所述：使成立的所有的正整数对为，.15．（2024·浙江·校联考一模）已知数列满足，记数列的前项和为．(1)求；(2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．【解析】（1）①②②-①得，，得．当时，①式为，得，也满足上式．，数列是等差数列，所以．（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，又，得，得．令，即，即．当时，经验证，（*）式满足要求．令，则，所以当时，，即当时，式不成立．使得成立的的取值范围是．16．（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.【解析】（1）均是周期数列，理由如下：因为，所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）.因为，所以.所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）.（2）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件.假设，即对于，都有.因为，所以，即，及.又时，，所以，与的最小值是矛盾.其次证明存在数列满足条件.取及，对于，都有.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件.假设，即对于，都有.因为，所以，即，及.又时，，所以，与的最小值是矛盾.其次证明时存在数列满足条件.取及对于，都有.综上，当是奇数时，的最大值为；当是偶数时，的最大值为.17．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知数列满足，正项数列满足．当时，记．(1)证明：是等比数列；(2)求．【解析】（1）由数列的通项公式，可知数列为单调递减数列，所以当时，，则．所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列；（2）因为，即，则，或（舍），当时，，①则，②①-②：，所以，即．18．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求【解析】（1）当时，，则.当时，由，得，则，则.因为，所以从第2项起成等比数列，.（2），当为大于1的奇数时，，当为偶数时，..，则，则，，则，则.19．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考开学考试）已知有限数列，若满足，m是项数，则称满足性质.(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质，请说明理由；(2)若数列是，公比为的等比数列，项数为10，且具有性质，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以数列3，2，5，1满足性质，，所以数列4，3，2，5，1不满足性质；（2）由题意可得，，，，两边平方得，整理得，（*）当时，得，此时关于恒成立，所以等价于时，，所以，所以或，所以取；当时，，，得，此时关于（*）恒成立，所以等价于时，，所以，所以，所以取，当时，，当为奇数时，，，则（*）成立，当为偶数时，，，则（*）不成立，所以当时，不符合题意，舍去；当时，，若为奇数时，，，则（*）成立，若为偶数时，，要使（*）恒成立，即使恒成立，即当时恒成立，解得或，所以取，综上，20．（2024·四川德阳·统考模拟预测）（）.(1)当时，证明：；(2)证明：.【解析】（1）当时，，令，，故为偶函数，，令，，故为奇函数，其中恒成立，故在上单调递增，其中，故在恒成立，故在上单调递增，其中，故在上恒成立，结合为偶函数，故在上恒成立，故在上恒成立；（2）由（1）知，，即，当且仅当时，等号成立，令，且，所以，故，即，由（1）可知，当时，，当且仅当时，等号成立，当且时，，故，故，即，所以，故.21．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足.规定，.(1)试证明：；(2)求数列的通项公式；(3)试证明：时，.【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以，设，即，则，解得或，将代入得，则①，同理代入得，所以②，①②联立解得，经检验也满足上述式子，所以的通项公式为.（3）方法一：观察发现：，，，，，设，则时，认为，解得：或舍去，即，所以.方法二：分别代入、通项公式：得，所以时，.22．（2024·山西吕梁·统考一模）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【解析】（1）由题意，得当当，适合上式.（2）所以.23．（2024