2024-2025学年河北省邢台市部分学校高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市部分学校2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章第二节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，，则（）A.10 B.13 C.37 D.118【答案】C【解析】因为，，所以，所以.故选：.2.直线与直线平行，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】由两直线平行可知，即，此时两直线方程分别为，，满足两直线平行，综上所述，故选：A.3.抛物线上一点与焦点的距离为7，则点的坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为抛物线的标准方程为，则，所以，解得，故，解得或，故点的坐标为或.故选：B.4.在三棱台中，，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故选：.5.在平面直角坐标系内，原点到直线的距离为，且点到直线的距离为，则满足条件的直线共有（）A.条 B.条 C.条 D.条【答案】D【解析】与原点距离为的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆，即；与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即；因为圆心距，所以圆与圆外离，这两圆共有条公切线，所以适合条件的直线共有条，故选：D.6.已知点，，，，则三棱锥的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易得，，，，则，所以的面积，设平面的法向量为，则，可取，所以点到平面的距离，则三棱锥的体积是.故选：.7.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为边作等边三角形,的两边,分别交该椭圆于两点.若，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，则，得，由，得，故该椭圆的离心率为.故选：D.8.已知点，直线与直线交于点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，当时，直线与互相垂直，当时，，直线与互相垂直，且直线经过定点，直线经过定点，所以.设，则，即，则点在以点为圆心，5为半径的圆（挖去与）上，所以的最大值为，最小值为.故的取值范围是，故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线经过点，，则下列命题是真命题的是（）A.是直线的一个方向向量B.若平面的一个法向量是，则C.若平面的一个法向量是，且，则D.若为坐标原点，且，则，，，四点共面【答案】ACD【解析】A选项：因为，所以A选项正确；B选项：因为，所以，则或，B选项错误；C选项：因为，所以，即，又，所以，C选项正确；若为坐标原点，则，，因为，所以，即，则，，，四点共面，D选项正确；故选：ACD.10.已知双曲线的左、右顶点分别为，，点（，）是双曲线上的点，直线，的倾斜角分别为，，则（）A.双曲线的实轴长为16B.当时，C.的最小值为3D.当取最小值时，的面积为16【答案】BCD【解析】由双曲线方程知，.对于选项A，易得双曲线实轴长为，故A错误；对于选项B，.由题意知，，又由，得，所以，当时，，又因为，所以，故B正确；对于选项C，D，由图形得，则,又同号，所以，，所以，当且仅当，即，即，时，等号成立，此时的面积为，故C，D正确.故选：BCD11.已知数列的前项和为，（，且）.若，，则下列结论正确的是（）A.数列为等差数列B.数列中的最小项为C.D.若，，则【答案】ACD【解析】对A，由，得，则，即，即为，且，又，满足上式，则，，，，等式左右分别相乘可得，即，所以，数列是首项为，公差为的等差中项，A选项正确；对B，，又，当且仅当，即时等号成立，又，当时，，当时，，且当时，单调递增，所以当时，取最小值为，即数列的最小项为，B选项错误；对C，因为an所以a12a对D，因为=14n+3所以数列，单调递增，则当时，取得最小值，最小值为，则，得，D选项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线的焦点坐标为______，准线方程为______.【答案】；【解析】抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为，准线方程为.故答案为：；.13.“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此即著名的“孙子问题”，最早载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将到这个数中，被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有__________项.【答案】【解析】由题意可知，既是的倍数，又是的倍数，即，所以，令，即，解得，因为，所以，故该数列共有项，故答案为：.14.在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是______.【答案】【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A0,0,0，，，，所以，，，，，则.由已知可得是平面的一个法向量.，平方得：，整理得：.因为，，所以，当且仅当时，等号成立令，则不等式可转化为，解得或（舍去），则，故的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，.（1）求数列的通项公式；（2）求.解：（1）设等差数列的公差为，由是，的等差中项，得，即，解得，由，得，解得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，，所以.16.如图，在直三棱柱中，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的大小.解：（1）由直三棱柱性质以及可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：又可得则,所以，可得，即；所以，又平面，可得平面（2）易知，设平面的一个法向量为，则，令，解得，即；由（1）可知为平面的一个法向量，所以，又，可得.所以平面与平面夹角的大小为.17.已知圆的圆心在直线上,直线.（1）求的值；（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（3）过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程.解：（1）由已知圆，则圆心，又圆心在直线上，即，解得；（2）由（1）得圆，即，即，半径，设，则中点为，且，所以由对称可知，解得，即，所以圆；（3）根据题意可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为，即，则，解得或，故直线的方程为或，即一般式方程为或.18.已知椭圆的焦距为4,点在上，直线与交于，两点.（1）求的方程.（2）若，求的最大值.（3）若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解：（1）依题意可得解得故的方程为.（2）依题意可得直线的方程为，设，，联立可得，则，，，，由弦长公式可得，当时，取得最大值，且最大值为.（3）根据题意可得直线的方程为，设，由得，则，得，，设直线的方程为，.由得，则，得，，直线的斜率为，故直线的斜率是定值，且定值为.19.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转角，利用公式，可得到点（到原点的距离不变）.现将双曲线绕原点逆时针旋转（到原点的距离不变）得到双曲线.（1）求双曲线的方程.（2）若点在直线上，过点作斜率为的直线，与双曲线交于，两点，且为线段的中点，求点的纵坐标.（3）过双曲线的右焦点作斜率不为0的直线，与双曲线的两支交于，两点.试问是否存在定直线，与轴交于点，与直线交于点，使得恒成立？若存在，求出该定直线；若不存在，请说明理由.解：（1）设曲线上任意一点绕原点逆时针旋转后的坐标为，则，即，得，则，故所求双曲线的方程为；（2）设Ax1,根据题意可得，两式作差，可得，因为，，所以，得，经检验，此时直线与双曲线有两个交点，故点的纵坐标为3；（3）根据题意易得直线的斜率存在，且不为，设直线的方程为，其中或，因为恒成立，所以为的角平分线，设，，假设存，由，得，，，，因为，所以，即，，即，因为，整理可得，即，所以存在定直线，使得恒成立.河北省邢台市部分学校2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章第二节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，，则（）A.10 B.13 C.37 D.118【答案】C【解析】因为，，所以，所以.故选：.2.直线与直线平行，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】由两直线平行可知，即，此时两直线方程分别为，，满足两直线平行，综上所述，故选：A.3.抛物线上一点与焦点的距离为7，则点的坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为抛物线的标准方程为，则，所以，解得，故，解得或，故点的坐标为或.故选：B.4.在三棱台中，，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故选：.5.在平面直角坐标系内，原点到直线的距离为，且点到直线的距离为，则满足条件的直线共有（）A.条 B.条 C.条 D.条【答案】D【解析】与原点距离为的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆，即；与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即；因为圆心距，所以圆与圆外离，这两圆共有条公切线，所以适合条件的直线共有条，故选：D.6.已知点，，，，则三棱锥的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易得，，，，则，所以的面积，设平面的法向量为，则，可取，所以点到平面的距离，则三棱锥的体积是.故选：.7.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为边作等边三角形,的两边,分别交该椭圆于两点.若，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，则，得，由，得，故该椭圆的离心率为.故选：D.8.已知点，直线与直线交于点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，当时，直线与互相垂直，当时，，直线与互相垂直，且直线经过定点，直线经过定点，所以.设，则，即，则点在以点为圆心，5为半径的圆（挖去与）上，所以的最大值为，最小值为.故的取值范围是，故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线经过点，，则下列命题是真命题的是（）A.是直线的一个方向向量B.若平面的一个法向量是，则C.若平面的一个法向量是，且，则D.若为坐标原点，且，则，，，四点共面【答案】ACD【解析】A选项：因为，所以A选项正确；B选项：因为，所以，则或，B选项错误；C选项：因为，所以，即，又，所以，C选项正确；若为坐标原点，则，，因为，所以，即，则，，，四点共面，D选项正确；故选：ACD.10.已知双曲线的左、右顶点分别为，，点（，）是双曲线上的点，直线，的倾斜角分别为，，则（）A.双曲线的实轴长为16B.当时，C.的最小值为3D.当取最小值时，的面积为16【答案】BCD【解析】由双曲线方程知，.对于选项A，易得双曲线实轴长为，故A错误；对于选项B，.由题意知，，又由，得，所以，当时，，又因为，所以，故B正确；对于选项C，D，由图形得，则,又同号，所以，，所以，当且仅当，即，即，时，等号成立，此时的面积为，故C，D正确.故选：BCD11.已知数列的前项和为，（，且）.若，，则下列结论正确的是（）A.数列为等差数列B.数列中的最小项为C.D.若，，则【答案】ACD【解析】对A，由，得，则，即，即为，且，又，满足上式，则，，，，等式左右分别相乘可得，即，所以，数列是首项为，公差为的等差中项，A选项正确；对B，，又，当且仅当，即时等号成立，又，当时，，当时，，且当时，单调递增，所以当时，取最小值为，即数列的最小项为，B选项错误；对C，因为an所以a12a对D，因为=14n+3所以数列，单调递增，则当时，取得最小值，最小值为，则，得，D选项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线的焦点坐标为______，准线方程为______.【答案】；【解析】抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为，准线方程为.故答案为：；.13.“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此即著名的“孙子问题”，最早载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将到这个数中，被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有__________项.【答案】【解析】由题意可知，既是的倍数，又是的倍数，即，所以，令，即，解得，因为，所以，故该数列共有项，故答案为：.14.在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是______.【答案】【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A0,0,0，，，，所以，，，，，则.由已知可得是平面的一个法向量.，平方得：，整理得：.因为，，所以，当且仅当时，等号成立令，则不等式可转化为，解得或（舍去），则，故的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，.（1）求数列的通项公式；（2）求.解：（1）设等差数列的公差为，由是，的等差中项，得，即，解得，由，得，解得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，，所以.16.如图，在直三棱柱中，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的大小.解：（1）由直三棱柱性质以及可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：又可得则,所以，可得，即；所以，又平面，可得平面（2）易知，设平面的一个法向量为，则，令，解得，即；由（1）可知为平面的一个法向量，所以，又，可得.所以平面与平面夹角的大小为.17.已知圆的圆心在直线上,直线.（1）求的值；（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（3）过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程.解：（1）由已知圆，则圆心，又圆心在直线上，即，解得；（2）由（1）得圆，即，即，半径，设，则中点为，且，所以由对称可知，解得，即，所以圆；（