2022北京海淀高一(下)期末数学(教师版)

1/12022北京海淀高一（下）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为A．2 B．4 C．6 D．122．向量，，则A． B． C．4 D．133．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值是A． B． C． D．4．A． B． C． D．5．已知直线和平面，，则下列四个命题中正确的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则6．函数的最小正周期与其图象的对称中心分别是A． B． C． D．7．已知向量，是两个单位向量，则“，为锐角”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是A． B． C．，， D．9．底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得的值是A． B． C． D．10．在中，，则的形状是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则其侧面积为．12．向量，，，则实数．13．在正方形中，是的中点，则．14．函数，的值域是．15．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论：①三棱锥的体积为定值；②存在点，使得平面；③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面；④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（9分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．17．（10分）在中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积．18．（11分）如图，在直棱柱中，底面是菱形，，，，，分别是棱，的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）是否存在正数，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．（10分）若点，在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．（Ⅰ）判断是否是函数的点，并说明理由；（Ⅱ）若函数的集为，求的最大值；（Ⅲ）若定义域为的连续函数的集满足，求证：．选做题：（本题满分0分。所得分数可计人总分，但整份试卷得分不超过100分）20．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：，其中表示正弦信号的瞬时大小电压（单位：是关于时间（单位：的函数，而表示正弦信号的幅度，是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为，，，（单位：和是两个输入信号，表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，与和的关系为：．例如当，输入信号，时，输出信号：．（Ⅰ）若，输入信号，，则的最大值为；（Ⅱ）已知，，，输入信号，．若（其中则；（Ⅲ）已知，，，且，．若的最大值为，则满足条件的一组电阻值，分别是．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】正四棱锥中，，，利用体积公式求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥中，，，所以．故选：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．2．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标，再由模的坐标运算求解即可．【解答】解：因为向量，，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查向量的坐标运算，及模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．3．【分析】由函数的平移变换及诱导公式即可求解．【解答】解：将将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，所以，，即，，当时，取得最小值为．故选：．【点评】本题主要考查三角函数图象的变换，诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．4．【分析】直接利用三角函数的诱导公式的变换求出三角函数的值．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的诱导公式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可．【解答】解：对于选项，若，，则可能与平行，故错误；对于选项，若，，则，可能平行或者相交，则错误；对于选项，若，，则可能与平行或者在平面内，故错误；对于选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，正确；故选：．【点评】本题主要考査了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题．6．【分析】根据余弦函数的倍角公式化简函数的解析式，然后根据周期公式即可求出周期，再利用余弦函数的对称性整体代换即可求解．【解答】解：因为，所以函数的最小正周期为，令，，解得，所以函数的对称中心为，，，故选：．【点评】本题考查了三角函数的周期性和对称性，考查了余弦函数的性质，属于基础题．7．【分析】根据充分与必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．【解答】解：向量，是两个单位向量，由，为锐角可得，，反过来，由两边平方可得，，，，，不一定为锐角，故“，为锐角”是“”的充分不必要条件，故选：．【点评】本题考查充分与必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质，属基础题．8．【分析】先根据的范围求出的范围，根据函数在区间上的最小值为，可得到，即，然后对分大于0和小于0两种情况讨论最值可确定答案．【解答】解：当时，，由题意知，即，当时，，由题意知，即，综上知，的取值范围是．故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题．考查三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点一定要强化复习．9．【分析】利用已知条件求出的值，然后利用二倍角公式，诱导公式求解即可．【解答】解：由题意可知：把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比，该三角形被认为是最美的三角形．如图，则可得：，可得，即，所以，所以，所以．故选：．【点评】本题考查二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．10．【分析】直接利用正弦定理整理得，进一步利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：利用正弦定理：转换为，整理得，故或；所以或；故三角形为等腰三角形或直角三角形．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．【分析】利用圆柱侧面积公式直接求解．【解答】解：圆柱的底面半径为1，高为2，则其侧面积为．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的结构特征、圆柱的侧面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．【分析】可求出，然后根据可得出的值．【解答】解：，，，解得．故答案为：．【点评】本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．13．【分析】根据向量加法的三角形法则化简计算即可求得向量的数量积．【解答】解：如图，因为，所以；故答案为：0．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于基础题．14．【分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：；由于，所以，故．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15．【分析】对于①，由，得平面，从而点到平面的距离为，再由，由此能求出三棱锥的体积为定值；对于②，当为棱的中点时，取的中点为，连接，推导出，由正方体性质得不成立，从而不存在点，使得平面，故；对于③，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交；对于④，推导出，由余弦定理、截面面积能求出结果．【解答】解：对于①，如图，在棱长为1的正方体中，，平面，平面，平面，点是棱上的一个动点，点到平面的距离为，，三棱锥的体积，故①正确；对于②，当为棱的中点时，取的中点为，连接，如图，则，又，，，平面，又平面，，由正方体性质得是矩形，不是正方体，不成立，又，不存在点，使得平面，故②错误；对于③，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交，故③错误；对于④，根据题意，作图如下，正方体中，平面，，设，则，，则△中，，，则该截面面积，，，当时，，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．【分析】利用线面平行的性质定理进行证明即可，证明，且，即可证明直线与直线的位置关系．【解答】证明：因为平面，平面，平面平面，所以．证明：直线与直线相交．理由如下：连接，，，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以，且，因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以，且，因为，所以，因为，所以，所以四边形是梯形，所以直线与直线相交．【点评】本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，两角和的正弦，即可解出；（Ⅱ）由正弦定理以及三角形面积公式，即可解出．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，，，，，；（Ⅱ），，，，，，，．【点评】本题考查了解三角形，正余弦定理，面积公式，学生的数学运算能力，属于基础题．18．【分析】根据线面垂直的判定定理及性质定理证明；根据线面平行的判定定理证明；假设存在正数，使得平面平面，根据面面垂直的判定定理得，在直角三角形中，由，得与已知为正数矛盾，进而得证．【解答】证明：如图，连接，因为底面是菱形，所以，直棱柱中，平面，所以，且，所以平面，所以；证明：取的中点，连接、，则为三角形的中位线，所以且，又因为且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；解：不存在正数，使得平面平面，证明如下：因为平面，所以，在直角△中，，所以，假设存在正数，使得平面平面，如图，过作且与交于点，连接，平面平面，所以平面，所以，在直角△中，，同理，因为底面是菱形，，，所以，在直角三角形中，，得，化简得与已知为正数矛盾，所以不存在正数，使得平面平面．【点评】本题考查线面垂直，考查学生的分析能力，属于中档题．19．【分析】直接求出，再判断出，即可得到，即可得到结论；先说明，若，则，由题设得到，推出矛盾，再说明的值可以等于，令，利用三角函数的值域加以证明即可；由题设知，必存在，使得，结合零点存在定理说明函数必存在零点，即可证明．【解答】解：不是函数的点，理由如下：设，则，因为，所以，所以，所以不是函数的点；先证明，若，则函数的最小正周期，因为函数的集为，所以对，是的零点，令，则，因为函数的值域为，，所以当，时，必有，即对于，恒成立，所以，即的最小正周期，与矛盾；再证明的值可以等于，令，对，当，时，，，；当，时，，，，所以是的点，即函数的集为，综上所述，的最大值是；因为函数的集满足，所以存在，使得且，即，因为若，则，所以，因为函数的图象是连续不断的，不妨设，由零点存在定理知，必存在，使得，所以存在零点，即．【点评】本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于难题．选做题：（本题满分0分。所得分数可计