新高考Ⅱ卷专用黄金卷03备战2025年高考数学模拟卷含答案及解析

试卷第=page22页，共=sectionpages2222页【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）黄金卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（

）A． B．2 C． D．4．已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．6．设函数，若存在使得成立，则的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．7．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（

）A．圆和圆关于直线对称B．圆和圆的公共弦长为C．的取值范围为D．若为直线上的动点，则的最小值为8．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若（），则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．B．C．在上为增函数D．函数在上有且只有2个零点10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（

）A．该内切球的球面面积为B．存在点，使得平面C．平面被球截得的截面圆的面积为D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为11．已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线D．两个曲线在P点处的切线互相垂直第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若的展开式中的常数项为24，则实数a的值为．13．如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为．14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．(1)若Q为的中点，证明：平面；(2)若直线与平面所成的角正弦值为，求．16．（15分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：关注不关注合计男生5560女生合计75(1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？(2)为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.82817．（15分）在中，为的中点，，记，.(1)证明：或；(2)若，且，求的最大值.18．（17分）已知函数．(1)若，证明：；(2)记数列的前n项和为．（i）若，证明：．（ii）已知函数，若，证明：．19．（17分）给出如下的定义和定理：定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．定理：过抛物线上一点处的切线方程为．完成下述问题：已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，(1)若，求线段的长度；(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）黄金卷03·参考答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678AAACBADC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDACDABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，因为为直三棱柱，所以平面平面，，，又分别为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，(2分)又因为平面平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面，(3分)同理可得平面，(4分)因为平面，且，所以平面平面，(5分)又平面，所以平面．(6分)

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，所以，(7分)由直三棱柱可得，为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，由得，，取，则，(10分)因为直线与平面所成的角正弦值为，所以，(12分)整理得，，解得或（不合题意舍），所以．(13分)

16．（15分）【详解】（1）列联表如下：关注不关注合计男生55560女生201030合计751590(3分)，(6分)能有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关.(7分)（2）记这4个问题为，记振华答对的事件分别记为，分别记按方案一､二晋级的概率为，则，(10分)，(13分)因为，振华选择方案一晋级的可能性更大.(15分)17．（15分）【详解】（1）∵，∴，∴，(2分)

在中，则；(3分)在中，则，(4分)∵，∴，∴，(5分)∵，∴或，即或.(7分)（2）时，

∵，∴，∴，由已知，矛盾；(10分)时，，

∴，∴，∴，(12分)∴，∵，∴的最大值为.(15分)18．（17分）【详解】（1）设，当时，，所以在上为增函数，(1分)故当时，，所以当时，(2分)设，当时，，所以在上单调递增，(3分)故当时，，所以当时，(4分)故当时，(5分)因为，当时，，所以在上为增函数，(6分)因为当时，，且由，可得，所以，即，所以(7分)（2）（i）因为，所以，则，(8分)所以，即，(9分)所以(10分)（ii）函数，因为当时，，所以当时，，(11分)所以当时，，因此，(12分)故，即(13分)因为，所以当时，，综上，，所以，(16分)所以，即.(17分)19．（17分）【详解】（1）由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，设，因为，，(2分)不妨设，则方程为，即，，，所以线段CF的长度为.(4分)

（2）设，直线，联立，可得.(6分)在轴两侧，，，所以点处的切线方程为，整理得，(8分)同理可求得点处的切线方程为，(9分)由，可得，又在直线上，，直线过定点.(10分)

（3）由（2）可得在曲线上，.(12分)

由（1）可知，，(13分)(15分)令在单调递减，(16分)∴四边形的面积的范围为(17分)【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）黄金卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，求得集合，结合集合的交集、并集和补集的运算，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，解得，所以，又由不等式，解得，所以，可得，且或，则，，或，或.故选：A.2．已知，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由，，，得，，于是，由，取，满足，显然“，”不成立，所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式列方程求公比.【详解】设等比数列an的公比为q，且，由，，成等差数列，得，整理得，则.故选：A4．已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.【详解】因为，，所以，由已知，，所以，所以的取值范围是.故选：C.5．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小.【详解】令，求导得，即函数在上单调递减，则，即，因此；令，求导得，函数在上单调递增，则，即，因此，所以.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.6．设函数，若存在使得成立，则的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】首先求出和的值域范围，根据建立等式关系，然后将表示为一个关于其中一个变量的函数，最后求这个函数的最大值.【详解】对求导，所以.当时，，，所以，在上单调递增.当时，，当时，，所以的值域是.对求导，所以.令，即，解得.当时，，，所以在上单调递增.当时，，当时，，所以的值域是.由可得，则.因为，所以，那么.令，，则，又因为，，所以.设，，对求导，所以.令，即，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得最大值.故选：A.7．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（

）A．圆和圆关于直线对称B．圆和圆的公共弦长为C．的取值范围为D．若为直线上的动点，则的最小值为【答案】D【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D.【详解】对于A，和圆，圆心和半径分别是，则两圆心中点为，若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，但两圆心中点不在直线上，故A错误；对于B，到直线的距离，故公共弦长为，B错误；对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大为，故的取值范围为，C错误；对于D，如图，设关于直线对称点为，

则解得即关于直线对称点为，连接交直线于点，此时最小，，即的最小值为，D正确.故选：D.8．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若（），则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】设圆的半径为，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过点作轴垂线为轴建立直角坐标系，其中，其中，由，即，整理得，解得，则，，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．B．C．在上为增函数D．函数在上有且只有2个零点【答案】ABD【分析】根据函数的周期判断A，根据函数的对称轴判断B，根据正弦型函数的单调性判断C，根据数形结合判断D.【详解】由题意得函数的最小正周期为，所以成立，A项正确；因为，所以是的最小值，所以直线是图象的一条对称轴，所以成立，B项正确；当时，，当时，为减函数，C项错误；由题意知在有两个不等实根，设，由函数的图象，如图，易知与直线有两个不同的交点，D项正确.故选：ABD10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（

）A．该内切球的球面面积为B．存在点，使得平面C．平面被球截得的截面圆的面积为D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD【分析】根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可判断B，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断C，确定当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用面积公式求面积判断D.【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，内切球的球面面积为，A正确；对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则由题意可得，，，，设点，其中，对于，，，设平面法向量为，，，则，令，则y=−1，，为平面的一个法向量，若存在点，使平面，只需，因为不成立，所以B错误；对于C：设平面法向量为m=x1,，，则，令，则，，为平面的法向量，又因为，则到平面的距离为，则，设平面被球截得的截面圆的半径为，，所以平面被球截得的截面圆的面积为，C选项正确；对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，在中，，所以边长，所以截面面积，D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状.11．已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线D．两个曲线在P点处的切线互相垂直【答案】ABD【分析】A选项，根据得到⊥，由椭圆定义和双曲线定义得到，由勾股定理得到方程，求出，故A正确；B选项，由余弦定理得到方程，求出，即，由基本不等式求出的最小值；C选项，作出辅助线，得到，得到H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；D选项，先得到椭圆和双曲线在P点处的切线的斜率，得到椭圆在Px0,y0点处的切线斜率为，双曲线在Px0,y0点处的切线斜率为，又，化简得，从而得到斜率乘积为-1，得到D正确.【详解】A选项，因为，所以，又，故，则⊥，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，由勾股定理得，即，化简得，即，又，所以，A正确；B选项，若，由余弦定理得，即，由（1）得，代入上式得，即，即，因为又，所以，由基本不等式得，即，解得，当且仅当时，等号成立，则的最小值为，B正确；C选项，过作直线的垂线，垂足为H，延长交于点，因为平分，由三线合一得，为的中点，则，连接，由中位线性质得，故点H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；D选项，下面证明椭圆在Px0,y当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，代入椭圆方程得：，由，化简得：，所以，把代入，得：，于是，则椭圆的切线斜率为，切线方程为，整理得到，其中，故，即，当时，此时或，当时，切线方程为，满足，当时，切线方程为，满足，综上：椭圆在Px0,y下面证明：上一点的切线方程为，理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，，由化简得，因为，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因为，，所以，联立，两式相乘得，，从而，故，即，令，则，即，解得，即，故椭圆：在Px0,y双曲线在Px0,y又，故，化简得，又，所以，故则斜率乘积为，故两曲线在点处的切线互相垂直，D正确.故选：ABD【点睛】过圆上一点的切线方程为：，过圆外一点的切点弦方程为：.过椭圆上一点Px0,y过双曲线上一点Px0,第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若的展开式中的常数项为24，则实数a的值为．【答案】【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式展开式的通项公式是，令；令（舍去）所以.故答案为：13．如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为．【答案】【分析】设直线倾斜角为，，可得，，，用表示，结合题意运算求解即可.【详解】设直线倾斜角为，，可知：，且，解得，则，同理可得，可知：，，，因为，则，整理得，解得或，且，则，可得，所以直线的斜率为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义可得，利用表示其他量，结合题意运算求解.14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为．【答案】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，，所以，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．

(1)若Q为的中点，证明：平面；(2)若直线与平面所成的角正弦值为，求．【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，因为为直三棱柱，所以平面平面，，，又分别为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，(2分)又因为平面平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面，(3分)同理可得平面，(4分)因为平面，且，所以平面平面，(5分)又平面，所以平面．(6分)

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，所以，(7分)由直三棱柱可得，为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，由得，，取，则，(10分)因为直线与平面所成的角正弦值为，所以，(12分)整理得，，解得或（不合题意舍），所以．(13分)

16．（15分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：关注不关注合计男生5560女生合计75(1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？(2)为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828【详解】（1）列联表如下：关注不关注合计男生55560女生201030合计751590(3分)，(6分)能有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关.(7分)（2）记这4个问题为，记振华答对的事件分别记为，分别记按方案一､二晋级的概率为，则，(10分)，(13分)因为，振华选择方案一晋级的可能性更大.(15分)17．（15分）在中，为的中点，，记，.(1)证明：或；(2)若，且，求的最大值.【详解】（1）∵，∴，∴，(2分)

在中，则；(3分)在中，则，(4分)∵，∴，∴，(5分)∵，∴或，即或.(7分)（2）时，

∵，∴，∴，由已知，矛盾；(10分)时，，

∴，∴，∴，(12分)∴，∵，∴的最大值为.(15分)18．（17分）已知函数．(1)若，证明：；(2)记数列的前n项和为．（i）若，证明：．（ii）已知函数，若，证明：．【详解】（1）设，当时，，所以在上为增函数，(1分)故当时，，所以当时，(2分)设，当时，，所以在上单调递增，(3分)故当时，，所以当时，(4分)故当时，