2024-2025学年高中数学第3章不等式3.1不等关系与不等式学案新人教A版必修5

PAGE1-3.1不等关系与不等式学习目标核心素养1.了解不等式的性质(重点).2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)．通过学习用不等式表示不等关系、比较两数(式)的大小及不等式的性质，培育学生的逻辑推理素养.1．不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤思索：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？[提示]①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．3．比较两实数a，b大小的依据思索：x2＋1与2x两式都随x的变更而变更，其大小关系并不自不待言．你能想个方法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有劝服力吗？[提示]作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.4．不等式的性质名称式子表达性质1(对称性)a>b⇔b<a性质2(传递性)a>b，b>c⇒a>c性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c推论a＋b>c⇒a>c－b性质4(可乘性)a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bc性质5(不等式同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d性质6(不等式同向正数可乘性)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd性质7(乘方性)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)性质8(开方性)a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)思索：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？(1)a>b且c>d，则a－c>b－d.(2)a>b，则ac>bc.(3)a>b>0，且c>d>0则eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)a>b>0，则an>bn.(5)a>b，则eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2).[提示]对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，(1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错．(2)中当c≤0时，不成立．(3)中例如5>3且4>1，则eq\f(5,4)>eq\f(3,1)是错的，故(3)错．(4)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－1>2－1明显错，故(4)错．(5)因为eq\f(1,c2)>0，所以a·eq\f(1,c2)>b·eq\f(1,c2)，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．1．大桥头直立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要平安通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥40C[限重就是不超过，可以干脆建立不等式T≤40.]2．已知a>b，c>d，且cd≠0，则()A．ad>bc B．ac>bcC．a－c>b－d D．a＋c>b＋dD[a，b，c，d的符号未确定，解除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，解除C项，故选D项．]3．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．m≥n[m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.]4．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正确的不等式有________个．1[由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正确；由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故③错误．]用不等式表示不等关系【例1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．[解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，这时菜园的另一条边长为eq\f(30－x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)．因此菜园面积S＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))，依题意有S≥110，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110.))1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．2．当问题中同时满意几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．1．某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可来回6次，乙型卡车每辆每天可来回8次，写出满意上述全部不等关系的不等式．[解]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，x∈N，,0≤y≤7，y∈N，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,5x＋4y≥30，,0≤x≤4，x∈N，,0≤y≤7，y∈N.))比较两数(式)的大小【例2】已知a，b为正实数，试比较eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))与eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．思路探究：留意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小．[解]法一：(作差法)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a)))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(（a－b）（\r(a)－\r(b)）,\r(ab))＝eq\f(（\r(a)－\r(b)）2（\r(a)＋\r(b)）,\r(ab)).∵a，b为正实数，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\f(（\r(a)－\r(b)）2（\r(a)＋\r(b)）,\r(ab))≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(当且仅当a＝b时取等号)．法二：(作商法)eq\f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(（\r(b)）3＋（\r(a)）3,\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）)＝eq\f(（\r(a)＋\r(b)）（a＋b－\r(ab)）,\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）)＝eq\f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝eq\f(（\r(a)－\r(b)）2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,\r(ab))≥1，当且仅当a＝b时取等号．∵eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(当且仅当a＝b时取等号)．法三：(平方后作差)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))eq\s\up20(2)＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))eq\s\up20(2)－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,ab).∵a>0，b>0，∴eq\f(（a＋b）（a－b）2,ab)≥0，又eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，故eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(当且仅当a＝b时取等号)．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类探讨．2．假如两实数同号，亦可采纳作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.2．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[解](x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up20(2)＋\f(3,4))).因为x<1，所以x－1<0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up20(2)＋eq\f(3,4)>0，所以(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up20(2)＋\f(3,4)))<0.所以x3－1<2x2－2x.不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你认为正确吗？为什么？[提示]不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向变更，在本题中只知道－6<a<8.不明确a值的正负．故不能将eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？[提示]不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不行随意“创建”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.这怎么与－2<a＋b<2冲突了呢？[提示]利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要留意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次运用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【例3】已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).思路探究：①如何证明eq\f(c,a)<eq\f(c,b)？②由eq\f(c,a)<eq\f(c,b)怎样得到eq\f(c－a,a)<eq\f(c－b,b)？[证明]∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0⇒\f(1,a)<\f(1,b),c>0))⇒eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒\f(c－a,a)<\f(c－b,b),c－a>0,c－b>0,a>0,b>0))⇒eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).1．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”证明：eq\f(c,a)>eq\f(c,b).[证明]因为a>b>0，所以ab>0，eq\f(1,ab)>0.于是a×eq\f(1,ab)>b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)>eq\f(1,a).由c<0，得eq\f(c,a)>eq\f(c,b).2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6<a<8，2<b<3”如何求出2a＋b，a－b及eq\f(a,b)的取值范围．[解]因为－6<a<8，2<b<3，所以－12<2a<16，所以－10<2a＋b<19.又因为－3<－b<－2，所以－9<a－b<6.又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)当0≤a<8时，0≤eq\f(a,b)<4；(2)当－6<a<0时，－3<eq\f(a,b)<0.由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.1．利用不等式的性质证明不等式留意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题肯定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，且不行省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．利用不等式性质求代数式的范围要留意的问题(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实留意不等式性质的前提条件，切不行用好像是很明显的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．(3)精确运用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；其次步：变形，常采纳配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分状况探讨)；最终得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并留意不等式推导所需条件是否具备．1．推断正误(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．