2018年数学（北师大版必修4）练习第1章9三角函数的简单应用

第一章§91．一树干被台风折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20m，A．10eq\r(3)m B．20eq\r(3)mC．30eq\r(3)m D．40eq\r(3)m解析：如图所示，BC＝20tan30°＝eq\f(20\r(3),3)，AB＝eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(40\r(3),3)，所以树干原来的高度为AB＋BC＝20eq\r(3)(m)．答案：B2．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωt＋b的图像，根据以上的数据，可得函数y＝f(t)的近似表达式为________.解析：由已知数据，可得y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝13－10＝3，b＝10，所以函数y＝f(t)的近似表达式为y＝3sineq\f(π,6)t＋10.答案：y＝3sineq\f(π,6)t＋103．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？解：(1)列表如下.t…0eq\f(2,12)eq\f(5,12)eq\f(8,12)eq\f(11,12)…2πt＋eq\f(π,6)…eq\f(π,6)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π…s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))…360－60…描点并用光滑的曲线顺次连接这些点，得函数s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的图像，如图所示．(2)当t＝0时，s＝6sineq\f(π,6)＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm.(3)s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.4．如图，表示电流I(A)与时间t(s)的关系式：I＝Msin(ωt＋φ)(M＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．(1)根据图像写出I＝Msin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝Msin(ωt＋φ)中的t在任意一个eq\f(1,100)s的时间段内电流I能同时取得最大值与最小值，正整数ω的最小值应是多少？解：(1)由图可知，M＝300，设t1＝－eq\f(1,300)，t2＝eq\f(1,150).因为T＝2(t2－t1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,150)＋\f(1,300)))＝eq\f(1,50)，故ω＝eq\f(2π,T)＝100π.由ωt1＋φ＝0，可知φ＝－ωt1＝eq\f(π,3)，所以I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))).(2)问题等价于T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)，也即ω≥200π，故正整数ω的最小值为629.5.如图为一辆观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m,60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设(1)求h与θ之间的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过ts到达OB，求h与t之间的函数解析式．解：(1)由题意作图，如图所示，过点O作与地面平行的线段ON交⊙O于点N，过点B作ON的垂线BM，交ON于点M，当θ＞eq\f(π,2)时，∠BOM＝θ－eq\f(π,2).h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝4.8＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))；当0≤θ≤eq\f(π,2)时，上述解析式也适合．综上所述，函数解析式为h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)(rad/s