备战2023年高考数学一轮复习-第2讲-平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示第五章平面向量、复数考向预测核心素养平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，还是高考中命题的热点内容．题型以选择题、填空题为主，中低档难度.逻辑推理、数学运算01基础知识回顾一、知识梳理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个____________结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________________________基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底不共线向量a＝λ1e1＋λ2e22.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__________________，a－b＝________________________，λa＝_________________，|a|＝___________________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔________________________．(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0

常用结论√3．(人A必修第二册P30例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．答案：(1，5)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(

)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(

)(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(

)×√√√二、易错纠偏1．(基底概念理解不清致误)设e1，e2是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是(

)A．e1与e1＋e2 B.e1－2e2与e2－2e1C．e1－2e2与4e2－2e1 D.e1＋e2与e1－e2解析：对于A，不存在实数λ，使e1＋e2＝λe1，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能构成一个基底．对于B，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1＝(2＋λ)e2，因为e1，e2不共线，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能构成一个基底．对于D，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(λ－1)e1＝(1＋λ)e2，2．(平面向量基本定理应用不清致误)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，下列结论正确的是(

)A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点OD．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)√解析：由平面向量基本定理，知A正确；例如a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．√02核心考点共研考点一平面向量基本定理的应用(综合研析)复习指导：了解平面向量的基本定理及其意义．√【答案】

(2)6运算遵法则、基底定分解(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．√考点二平面向量的坐标运算(自主练透)复习指导：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．√2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(

)A．(－23，－12) B.(23，12)C．(7，0) D.(－7，0)解析：3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12.√√√向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．考点三平面向量共线的坐标表示(多维探究)复习指导：理解用坐标表示的平面向量共线的条件．角度1利用向量共线求向量或点的坐标

(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．【答案】

(1)(2，4)

(2)(一题多解)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．【答案】

(2)(3，3)【答案】－1(1)向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．√03课后达标检测√

[A基础达标]1．设向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为(

)A．－2B.1C．－2或1D.m的值不存在解析：向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或1.当m＝1时，a＝(1，2)，b＝(1，2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2，2)，b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意，故选A.√√解析：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)．√√解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标